课时3 带电粒子在匀强磁场中的运动
核心 目标 1. 知道带电粒子垂直射入时，会在匀强磁场中做匀速圆周运动，能推导出半径公式和周期公式，解决有关问题．
2. 知道周期与速度无关，能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，分析、解决有关问题．
要点梳理
要点1 带电粒子在匀强磁场中的运动
用洛伦兹力演示仪直观可见：不加磁场时，电子束的径迹是一条直线，加磁场后电子束的径迹是一个__ __(如图所示).
要点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1. 半径和周期公式：质量为m、带电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．
(1) 半径：由qvB＝m 得r＝__ __．
(2) 周期：由T＝ 得T＝__ __．
2. 特点
(1) 带电粒子的轨迹半径跟质量和速度大小成正比；跟匀强磁场的磁感应强度和粒子所带电荷量成反比．
(2) 带电粒子的运动周期跟粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而跟速率v和半径r__ __．
即学即用
1. 易错辨析
(1) 带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关．( )
(2) 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速率越大，周期越大．( )
(3) 带电粒子进入匀强磁场中一定做匀速圆周运动．( )
(4) 带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场，若只考虑洛伦兹力，则粒子的加速度不变. ( )
2. 洛伦兹力使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列各图中均标有带正电荷粒子的运动速度、洛伦兹力及磁场B的方向，实线圆表示粒子的轨迹，其中可能正确的是( )
A B C D
考向1 带电粒子及其在匀强磁场中的运动
1. 带电粒子与带电微粒
(1) 带电粒子：一般指电子、质子、α粒子、正负离子等．这些粒子所受重力和洛伦兹力相比小得多，除非有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不能忽略质量).
(2) 带电微粒：如带电小球、液滴、尘埃等．除非有说明或明确暗示以外，一般都考虑重力．
2. 带电粒子在匀强磁场中运动形态、求解方法
(1) 运动形态
①沿磁场方向射入时，带电粒子做匀速直线运动．
②垂直磁场方向射入时，带电粒子做匀速圆周运动．
③不垂直射入磁场方向时，带电粒子一边沿磁场方向做匀速运动，一边做匀速圆周运动，如下图：
(2) 求解方法
①画出轨迹示意图，找出圆心的位置．
②根据几何图形，找出运动时间、速度、偏转角的关系．
③根据速度的变化确定偏转角的变化，进一步求出运动时其他物理量的变化．
(2025·广东省名校联盟)正电子是电子的反粒子，正电子与电子的质量相等，带的电荷量也相等，与电子不同的是正电子带正电．在云室中有垂直于纸面的匀强磁场(方向未画出)，从P点先后发出两个电子和一个正电子，三个粒子的运动轨迹如图中1、2、3所示．下列说法中正确的是( )
A. 轨迹1对应的粒子初速度最大
B. 磁场方向垂直于纸面向里
C. 轨迹3对应的粒子运动速度越来越大
D. 轨迹2对应的粒子做匀速圆周运动的周期最大
如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为＋q、速度大小均为v的粒子．MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为( )
A. B.
C. D.
考向2 带电粒子在匀强磁场中的简单运动问题
1. 两种确定轨迹圆心的方法
(1) 已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两点速度方向的垂线，交点即为圆心，如图甲所示．
(2) 已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙所示．
甲 乙
2. 三种求半径的方法
(1) 根据半径公式r＝ 求解．
(2) 根据勾股定理求解．如图丙所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足 r2＝d2＋(r－x)2.
丙
(3) 根据三角函数求解．如图丙所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝.
3. 两种求时间的方法
(1) 利用圆心角求解．若求出这部分圆弧对应的圆心角θ，则 t＝T．
(2) 利用弧长s和速度v求解，即t＝.
(2024·广州白云中学)如图所示，一电荷量为q的带电粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角θ＝30°，求：
(1) 带电粒子在磁场中运动的轨道半径r.
(2) 带电粒子的质量m.
(3) 带电粒子穿过磁场的时间t.
一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示．
(1) 求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径．
(2) 求粒子从a点运动到b点的时间．
(3) 其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小．
有关圆的四种角度的关系
1. 如图所示，速度的偏向角φ等于圆心角α.
2. 圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的两倍(φ＝α＝2θ＝ωt).
3. 相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°.
4. 进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等．
1. (2024·东莞麻涌中学)质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动，已知 α 粒子的质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍．则下列说法中正确的是( )
A. 质子和α粒子的速度大小之比为1∶2
B. 质子和α粒子的周期之比为2∶1
C. 质子和α粒子的动量大小之比为1∶2
D. 质子和α粒子的动能之比为2∶1
2. 如图所示，在0≤x≤h，－∞(1) 若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bmin和粒子在磁场中的运动时间．
(2) 如果磁场方向不变，磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．
配套新练案
考向1 带电粒子及其在匀强磁场中的运动
1. (2024·云浮罗定期中)月球探测器通过测量运动电子在月球磁场中的轨迹来推算磁场强弱分布．下列各图是在月球上不同位置所探测到的电子运动轨迹的照片，设在各位置电子速率相同，且电子进入磁场时速度方向均与磁场方向垂直．则由照片可判断这四个位置中磁场最强的是( )
A B C D
2. 如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图所示．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法中正确的是( )
A. 三个粒子都带负电荷
B. c粒子运动速率最小
C. c粒子在磁场中运动时间最短
D. 它们做圆周运动的周期Ta3. (多选)如图所示，质子以一定初速度从ad的中点平行ab边方向进入立方体区域abcd-a′b′c′d′，立方体区域存在竖直向下垂直于abcd平面的匀强磁场，则质子可能从哪条边界射出立方体( )
A. ad边
B. b′c′边
C. cd边
D. a′d′边
4. (2024·广州广雅中学)如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图．励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直．电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节(电流越大，磁场越强).下列说法中正确的是( )
A. 仅增大励磁线圈中电流，电子束径迹的半径变大
B. 仅提高电子枪加速电压，电子束径迹的半径变大
C. 仅增大励磁线圈中电流，电子做圆周运动的周期将变大
D. 仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将变大
考向2 带电粒子在匀强磁场中的简单运动问题
5. (2024·佛山12月联考)(多选)如图所示，薄铅板两侧存在磁感应强度大小为B、方向相反的两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场方向与薄铅板平行．一个质量为m、电荷量为q的粒子，从薄铅板上某点以一定的速度垂直于薄铅板开始运动，经过一段时间，从b点穿透薄铅板(能量有损失)进入另一区域，运动一段时间之后打在薄铅板上另一点后便不再运动．铅板上的三个点为a、b、c，且a、b间距离为L，b、c间距离为，则( )
A. 粒子从c点开始射入
B. 粒子带负电
C. 粒子在两区域运动的时间相等
D. 粒子在区域Ⅰ的速度大小为
6. (2024·揭阳期末)(多选)如图所示，直角坐标系xOy中的第一象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.有一质量为m、电荷量为－q的粒子从y轴上的P点沿着与y轴正方向成45°角的方向射入磁场，不考虑粒子的重力，下列说法中正确的是( )
A. 粒子不可能从坐标原点O离开磁场
B. 粒子有可能从坐标原点O离开磁场
C. 粒子在磁场中运动的时间可能为
D. 粒子在磁场中运动的时间可能为
7. 如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在磁感应强度方向垂直纸面向里的匀强磁场．一带正电的粒子在P点以与x轴正方向成α＝60°的方向以速度v0垂直磁场射入，一段时间后粒子从y轴上的Q点(图中未画出)射出磁场，带电粒子在Q点的速度方向与y轴负方向的夹角β＝60°.已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，OP＝a，不计粒子所受重力．求：
(1) 匀强磁场的磁感应强度大小B.
(2) 带电粒子在第一象限内运动的时间．
8. 如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法中正确的是( )
A. 若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B. 若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越近
C. 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D. 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度变大
9. (2024·广州期末)如图所示，在xOy坐标系的第一、四象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场(未画出).一质量为m、电荷量大小为q的带电粒子，从y轴上的A点沿平行于x轴的方向射入第一象限，经C点与x轴成30°角进入第四象限．已知第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小为B，C点到O点的距离为a，不计粒子的重力．
(1) 判断带电粒子电性．
(2) 求粒子从A点射出时的速度大小．
(3) 若粒子刚好不能进入第三象限，求粒子在第四象限内运动的时间．课时3 带电粒子在匀强磁场中的运动
核心 目标 1. 知道带电粒子垂直射入时，会在匀强磁场中做匀速圆周运动，能推导出半径公式和周期公式，解决有关问题．
2. 知道周期与速度无关，能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，分析、解决有关问题．
要点梳理
要点1 带电粒子在匀强磁场中的运动
用洛伦兹力演示仪直观可见：不加磁场时，电子束的径迹是一条直线，加磁场后电子束的径迹是一个__圆__(如图所示).
要点2 带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
1. 半径和周期公式：质量为m、带电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．
(1) 半径：由qvB＝m 得r＝____．
(2) 周期：由T＝ 得T＝____．
2. 特点
(1) 带电粒子的轨迹半径跟质量和速度大小成正比；跟匀强磁场的磁感应强度和粒子所带电荷量成反比．
(2) 带电粒子的运动周期跟粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而跟速率v和半径r__无关__．
即学即用
1. 易错辨析
(1) 带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关．( √ )
(2) 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速率越大，周期越大．( × )
(3) 带电粒子进入匀强磁场中一定做匀速圆周运动．( × )
(4) 带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场，若只考虑洛伦兹力，则粒子的加速度不变. ( × )
2. 洛伦兹力使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列各图中均标有带正电荷粒子的运动速度、洛伦兹力及磁场B的方向，实线圆表示粒子的轨迹，其中可能正确的是( C )
A B C D
解析：由正电粒子的速度和磁场方向，根据左手定则判断得知，洛伦兹力向左背离圆心，粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，A错误；洛伦兹力方向不指向圆心，正电粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，B错误；由正电粒子的速度和磁场方向，根据左手定则判断得知，洛伦兹力指向圆心，提供向心力，C正确；由正电粒子的速度和磁场方向，根据左手定则判断得知，洛伦兹力向上背离圆心，粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，D错误．
考向1 带电粒子及其在匀强磁场中的运动
1. 带电粒子与带电微粒
(1) 带电粒子：一般指电子、质子、α粒子、正负离子等．这些粒子所受重力和洛伦兹力相比小得多，除非有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不能忽略质量).
(2) 带电微粒：如带电小球、液滴、尘埃等．除非有说明或明确暗示以外，一般都考虑重力．
2. 带电粒子在匀强磁场中运动形态、求解方法
(1) 运动形态
①沿磁场方向射入时，带电粒子做匀速直线运动．
②垂直磁场方向射入时，带电粒子做匀速圆周运动．
③不垂直射入磁场方向时，带电粒子一边沿磁场方向做匀速运动，一边做匀速圆周运动，如下图：
(2) 求解方法
①画出轨迹示意图，找出圆心的位置．
②根据几何图形，找出运动时间、速度、偏转角的关系．
③根据速度的变化确定偏转角的变化，进一步求出运动时其他物理量的变化．
(2025·广东省名校联盟)正电子是电子的反粒子，正电子与电子的质量相等，带的电荷量也相等，与电子不同的是正电子带正电．在云室中有垂直于纸面的匀强磁场(方向未画出)，从P点先后发出两个电子和一个正电子，三个粒子的运动轨迹如图中1、2、3所示．下列说法中正确的是( B )
A. 轨迹1对应的粒子初速度最大
B. 磁场方向垂直于纸面向里
C. 轨迹3对应的粒子运动速度越来越大
D. 轨迹2对应的粒子做匀速圆周运动的周期最大
解析：根据题图可知，1和3粒子转动方向一致，则1和3粒子为电子，2为正电子，电子带负电且顺时针转动，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，B正确；电子在云室中运动，洛伦兹力不做功，但粒子受到云室内填充物质的阻力作用，所有粒子的速度越来越小，C错误；带电粒子若仅在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，则有qvB＝m，解得半径为r＝，根据题图可知轨迹3对应的粒子运动的半径最大，速度最大，A错误；根据周期表达式有T＝可知三个粒子的周期相同，D错误．故选B.
如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为＋q、速度大小均为v的粒子．MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为( B )
A. B.
C. D.
解析：粒子在磁场中运动 qvB＝m，半径R＝ ，从O点垂直MN向上射出的粒子达到MN时距离O点最远，最远距离为dmax＝2R＝，从O点水平向右射出的粒子在磁场中做完整的圆周运动后回到O点，则感光照相底片上的感光长度为 .故选B.
考向2 带电粒子在匀强磁场中的简单运动问题
1. 两种确定轨迹圆心的方法
(1) 已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两点速度方向的垂线，交点即为圆心，如图甲所示．
(2) 已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙所示．
甲 乙
2. 三种求半径的方法
(1) 根据半径公式r＝ 求解．
(2) 根据勾股定理求解．如图丙所示，若已知出射点相对于入射点侧移了x，则满足 r2＝d2＋(r－x)2.
丙
(3) 根据三角函数求解．如图丙所示，若已知出射速度方向与入射方向的夹角为θ，磁场的宽度为d，则有关系式r＝.
3. 两种求时间的方法
(1) 利用圆心角求解．若求出这部分圆弧对应的圆心角θ，则 t＝T．
(2) 利用弧长s和速度v求解，即t＝.
(2024·广州白云中学)如图所示，一电荷量为q的带电粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角θ＝30°，求：
(1) 带电粒子在磁场中运动的轨道半径r.
答案：2d
解析：由几何关系可知，粒子的轨迹半径为
r＝＝2d
(2) 带电粒子的质量m.
答案：
解析：由牛顿第二定律得qvB＝m
解得m＝
(3) 带电粒子穿过磁场的时间t.
答案：
解析：由几何知识得到，轨迹的圆心角为θ＝30°，故穿过磁场的时间
t＝T＝×＝
一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示．
(1) 求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径．
答案：2L
解析：粒子运动的轨迹如图所示．
由几何知识可知R cos 60°＋L＝R
解得R＝2L
(2) 求粒子从a点运动到b点的时间．
答案：
解析：粒子运动的周期为T＝＝
粒子从a点运动到b点的时间为t＝T＝
(3) 其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小．
答案：v
解析：要使该粒子恰从O点射出磁场，则应满足R′＝
由洛伦兹力提供向心力可得qBv′＝
解得v′＝v
有关圆的四种角度的关系
1. 如图所示，速度的偏向角φ等于圆心角α.
2. 圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的两倍(φ＝α＝2θ＝ωt).
3. 相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°.
4. 进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等．
1. (2024·东莞麻涌中学)质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动，已知 α 粒子的质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍．则下列说法中正确的是( C )
A. 质子和α粒子的速度大小之比为1∶2
B. 质子和α粒子的周期之比为2∶1
C. 质子和α粒子的动量大小之比为1∶2
D. 质子和α粒子的动能之比为2∶1
解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝，因为α粒子的质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍，做半径相同的圆周运动，所以质子和α粒子的速度大小之比为2∶1，A错误； 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期T＝，所以质子和α粒子的周期之比为1∶2，B错误；因为粒子的动量大小为p＝mv＝qBr，所以质子和α粒子的动量大小之比为1∶2，C正确；粒子的动能Ek＝mv2＝，所以质子和α粒子的动能之比为1∶1，D错误．故选C.
2. 如图所示，在0≤x≤h，－∞(1) 若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bmin和粒子在磁场中的运动时间．
答案：磁场方向垂直于纸面向里
解析：(1) 由题意可知，粒子刚进入磁场时受到沿y轴正方向的洛伦兹力，由左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向里．
粒子在磁场中有qv0B＝m
由此可得R＝
粒子从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，穿过y轴正半轴离开磁场，故其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h
由题意可知，当磁感应强度最小为Bmin时，粒子的运动半径最大，由此可得Bmin＝
粒子在磁场中运动半圈t＝，T＝，R＝h
解得t＝
(2) 如果磁场方向不变，磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．
答案： (2－)h
解析：若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，此时粒子的运动半径为R′＝＝2h
粒子会通过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示．
设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系得sin α＝＝
即α＝
由几何关系可得，P点到x轴的距离为y＝2h(1－cos α)
解得y＝(2－)h
配套新练案
考向1 带电粒子及其在匀强磁场中的运动
1. (2024·云浮罗定期中)月球探测器通过测量运动电子在月球磁场中的轨迹来推算磁场强弱分布．下列各图是在月球上不同位置所探测到的电子运动轨迹的照片，设在各位置电子速率相同，且电子进入磁场时速度方向均与磁场方向垂直．则由照片可判断这四个位置中磁场最强的是( A )
A B C D
解析：根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可得B＝，电子速率相等，可知电子的轨迹半径越小，磁场越强，由几何关系可知，A图中电子的轨迹半径最小，磁场最强．故选A.
2. 如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图所示．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法中正确的是( C )
A. 三个粒子都带负电荷
B. c粒子运动速率最小
C. c粒子在磁场中运动时间最短
D. 它们做圆周运动的周期Ta解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动时，由洛伦兹力提供向心力，结合左手定则可知，三个粒子都带正电荷，A错误；根据qvB＝m可得r＝，三个带电粒子的质量、电荷量相同，在同一个磁场中，当速度越大时，轨道半径越大，则由图知，a粒子的轨迹半径最小，c粒子的轨迹半径最大，则a粒子速率最小，c粒子速率最大，B错误；三个带电粒子的质量和电荷量都相同，由粒子运动的周期T＝，可知三粒子运动的周期相同，即Ta＝Tb＝Tc，D错误；粒子在磁场中运动时间t＝T，θ是粒子轨迹对应的圆心角，也等于速度的偏转角，由图可知，a在磁场中运动的偏转角最大，运动的时间最长，c在磁场中运动的偏转角最小，运动时间最短，C正确．
3. (多选)如图所示，质子以一定初速度从ad的中点平行ab边方向进入立方体区域abcd-a′b′c′d′，立方体区域存在竖直向下垂直于abcd平面的匀强磁场，则质子可能从哪条边界射出立方体( AC )
A. ad边
B. b′c′边
C. cd边
D. a′d′边
解析：根据qvB＝m，令边长为L，当半径 R≤，即v≤时，根据左手定则可知，质子从ad边飞出，A正确；若在上述基础上，增大速度，半径增大，质子将随后从cd边飞出，C正确；根据左手定则，质子始终在abcd平面向里偏转，不可能从b′c′边或a′d′边飞出，B、D错误．
4. (2024·广州广雅中学)如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图．励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直．电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节(电流越大，磁场越强).下列说法中正确的是( B )
A. 仅增大励磁线圈中电流，电子束径迹的半径变大
B. 仅提高电子枪加速电压，电子束径迹的半径变大
C. 仅增大励磁线圈中电流，电子做圆周运动的周期将变大
D. 仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将变大
解析：根据电子所受洛伦兹力的方向结合右手定则判断励磁线圈中电流方向是逆时针方向，电子在加速电场中加速，由动能定理有eU＝mv，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有eBv0＝m，解得r＝＝，仅增大励磁线圈中电流，磁感应强度B增大，电子束径迹的半径变小，仅提高电子枪加速电压U，电子束径迹的半径变大，A错误，B正确；由电子做圆周运动的周期T＝，仅增大励磁线圈中电流，磁感应强度B增大，电子做圆周运动的周期将变小，仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将不变，C、D错误．故选B.
考向2 带电粒子在匀强磁场中的简单运动问题
5. (2024·佛山12月联考)(多选)如图所示，薄铅板两侧存在磁感应强度大小为B、方向相反的两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，磁场方向与薄铅板平行．一个质量为m、电荷量为q的粒子，从薄铅板上某点以一定的速度垂直于薄铅板开始运动，经过一段时间，从b点穿透薄铅板(能量有损失)进入另一区域，运动一段时间之后打在薄铅板上另一点后便不再运动．铅板上的三个点为a、b、c，且a、b间距离为L，b、c间距离为，则( BCD )
A. 粒子从c点开始射入
B. 粒子带负电
C. 粒子在两区域运动的时间相等
D. 粒子在区域Ⅰ的速度大小为
解析：由左手定则可知，粒子带负电，且从a点开始射入才能满足题中示意图的运动轨迹，A错误，B正确；粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ内运动的周期均为T＝，且在两区域运动的弧对应的圆心角均为π，则粒子在两区域运动的时间相同，C正确；粒子在区域Ⅰ运动的轨迹半径为r1＝，由Bqv＝m可知，粒子在区域Ⅰ的速度大小为v＝，D正确．
6. (2024·揭阳期末)(多选)如图所示，直角坐标系xOy中的第一象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.有一质量为m、电荷量为－q的粒子从y轴上的P点沿着与y轴正方向成45°角的方向射入磁场，不考虑粒子的重力，下列说法中正确的是( AD )
A. 粒子不可能从坐标原点O离开磁场
B. 粒子有可能从坐标原点O离开磁场
C. 粒子在磁场中运动的时间可能为
D. 粒子在磁场中运动的时间可能为
解析：粒子在磁场中做圆周运动，粒子速度较小时从y轴离开磁场，当粒子速度为某一值v时与x轴相切，此时粒子不过坐标原点，当速度大于v时，粒子从x轴离开磁场，如图所示，所以粒子不可能从坐标系的原点O离开磁场，A正确，B错误；根据周期公式T＝可知，C选项的圆心角为45°，D选项的圆心角为180°，随着v的增大，粒子从x轴离开磁场，可以取到180°，但是最小的圆心角一定会大于45°，C错误，D正确．故选A、D.
7. 如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在磁感应强度方向垂直纸面向里的匀强磁场．一带正电的粒子在P点以与x轴正方向成α＝60°的方向以速度v0垂直磁场射入，一段时间后粒子从y轴上的Q点(图中未画出)射出磁场，带电粒子在Q点的速度方向与y轴负方向的夹角β＝60°.已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，OP＝a，不计粒子所受重力．求：
(1) 匀强磁场的磁感应强度大小B.
答案：
解析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
qv0B＝m
解得r＝
由几何关系得r sin α＋r cos β＝a
解得B＝
(2) 带电粒子在第一象限内运动的时间．
答案：
解析：设带电粒子的轨迹的圆心角为θ，则由几何关系得
θ＝
有qvB＝mr，t＝T
解得t＝
8. 如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法中正确的是( A )
A. 若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B. 若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越近
C. 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D. 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度变大
解析：粒子在磁场中做圆周运动，运动轨迹如图所示，由几何关系可知，轨迹对应的圆心角为α＝2π－2θ，粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝·＝，则粒子在磁场中的运动时间与粒子速率无关，若θ一定，粒子在磁场中运动的时间相等；若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短，C错误，A正确；洛伦兹力提供向心力得qvB＝mωv，解得ω＝，粒子在磁场中运动的角速度与θ、v无关，D错误；设粒子的轨迹半径为r，则qvB＝，r＝，如图所示，由几何知识得AO＝2r sin θ＝，v一定，若θ是锐角，θ越大，AO越大，若θ是钝角，θ越大，AO越小，B错误．
9. (2024·广州期末)如图所示，在xOy坐标系的第一、四象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场(未画出).一质量为m、电荷量大小为q的带电粒子，从y轴上的A点沿平行于x轴的方向射入第一象限，经C点与x轴成30°角进入第四象限．已知第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小为B，C点到O点的距离为a，不计粒子的重力．
(1) 判断带电粒子电性．
答案：带正电
解析：由左手定则可知，带电粒子带正电．
(2) 求粒子从A点射出时的速度大小．
答案：
解析：运动轨迹如图所示
设粒子圆周运动的半径为R1，由几何关系得
R1＝
解得R1＝2a
又因为qvB＝m
代入数据解得v＝
(3) 若粒子刚好不能进入第三象限，求粒子在第四象限内运动的时间．
答案：
解析：刚好不进入第三象限，轨迹如图所示
根据几何关系R′＋R′sin 30°＝a
又因为qvB′＝m
根据几何关系可知粒子在磁场中转过轨迹弧长为
s＝·2πR′
所以粒子运动时间为t＝
联立解得t＝(共58张PPT)
第一章
课时3 带电粒子在匀强磁场中的运动
安培力与洛伦兹力
核心 目标 1. 知道带电粒子垂直射入时，会在匀强磁场中做匀速圆周运动，能推导出半径公式和周期公式，解决有关问题．
2. 知道周期与速度无关，能用洛伦兹力分析带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，分析、解决有关问题．
必备知识 记忆理解
圆
带电粒子在匀强磁场中的运动
要点
1
用洛伦兹力演示仪直观可见：不加磁场时，电子束的径迹是一条直线，加磁场后电子束的径迹是一个______(如图所示).
带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
要点
2
1. 半径和周期公式：质量为m、带电荷量为q、速率为v的带电粒子，在磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力．
2. 特点
(1) 带电粒子的轨迹半径跟质量和速度大小成正比；跟匀强磁场的磁感应强度和粒子所带电荷量成反比．
(2) 带电粒子的运动周期跟粒子的质量成正比，与电荷量和磁感应强度成反比，而跟速率v和半径r________．
无关
1. 易错辨析
(1) 带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速度的大小有关，而周期与速度、半径都无关． ( )
(2) 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速率越大，周期越大． ( )
(3) 带电粒子进入匀强磁场中一定做匀速圆周运动． ( )
(4) 带电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场，若只考虑洛伦兹力，则粒子的加速度不变. ( )
√
×
×
×
2. 洛伦兹力使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，下列各图中均标有带正电荷粒子的运动速度、洛伦兹力及磁场B的方向，实线圆表示粒子的轨迹，其中可能正确的是 ( )
C
解析：由正电粒子的速度和磁场方向，根据左手定则判断得知，洛伦兹力向左背离圆心，粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，A错误；洛伦兹力方向不指向圆心，正电粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，B错误；由正电粒子的速度和磁场方向，根据左手定则判断得知，洛伦兹力指向圆心，提供向心力，C正确；由正电粒子的速度和磁场方向，根据左手定则判断得知，洛伦兹力向上背离圆心，粒子不可能沿图示轨迹做匀速圆周运动，D错误．
把握考向 各个击破
带电粒子及其在匀强磁场中的运动
考向
1
1. 带电粒子与带电微粒
(1) 带电粒子：一般指电子、质子、α粒子、正负离子等．这些粒子所受重力和洛伦兹力相比小得多，除非有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力(但并不能忽略质量).
(2) 带电微粒：如带电小球、液滴、尘埃等．除非有说明或明确暗示以外，一般都考虑重力．
2. 带电粒子在匀强磁场中运动形态、求解方法
(1) 运动形态
①沿磁场方向射入时，带电粒子做匀速直线运动．
②垂直磁场方向射入时，带电粒子做匀速圆周运动．
③不垂直射入磁场方向时，带电粒子一边沿磁场方向做匀速运动，一边做匀速圆周运动，如右图：
(2) 求解方法
①画出轨迹示意图，找出圆心的位置．
②根据几何图形，找出运动时间、速度、偏转角的关系．
③根据速度的变化确定偏转角的变化，进一步求出运动时其他物理量的变化．
(2025·广东省名校联盟)正电子是电子的反粒子，正电子与电子的质量相等，带的电荷量也相等，与电子不同的是正电子带正电．在云室中有垂直于纸面的匀强磁场(方向未画出)，从P点先后发出两个电子和一个正电子，三个粒子的运动轨迹如图中1、2、3所示．下列说法中正确的是 ( )
A. 轨迹1对应的粒子初速度最大
B. 磁场方向垂直于纸面向里
C. 轨迹3对应的粒子运动速度越来越大
D. 轨迹2对应的粒子做匀速圆周运动的周期最大
1
B
如图所示，O点有一粒子发射源，能沿纸面所在的平面发射质量均为m、电荷量均为＋q、速度大小均为v的粒子．MN为过O点的水平放置的足够大的感光照相底片，照相底片上方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用，则感光照相底片上的感光长度为 ( )
2
B
带电粒子在匀强磁场中的简单运动问题
考向
2
1. 两种确定轨迹圆心的方法
(1) 已知粒子运动轨迹上两点的速度方向时，作这两点速度方向的垂线，交点即为圆心，如图甲所示．
(2) 已知粒子轨迹上的两点和其中一点的速度方向时，画出粒子轨迹上的两点连线(即过这两点的圆的弦)，作它的中垂线，并画出已知点的速度方向的垂线，则弦的中垂线与速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙所示．
甲
乙
丙
(2024·广州白云中学)如图所示，一电荷量为q的带电粒子，以速度v垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的有界匀强磁场中，射出磁场时的速度方向与入射方向的夹角θ＝30°，求：
(1) 带电粒子在磁场中运动的轨道半径r.
答案：2d
3
(2) 带电粒子的质量m.
(3) 带电粒子穿过磁场的时间t.
一个重力不计的带电粒子以大小为v的速度从坐标为(0，L)的a点，平行于x轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，并从x轴上的b点射出磁场，射出磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，如图所示．
(1) 求带电粒子在磁场中运动的轨迹半径．
答案：2L
4
解析：粒子运动的轨迹如图所示．
由几何知识可知R cos 60°＋L＝R
解得R＝2L
(2) 求粒子从a点运动到b点的时间．
(3) 其他条件不变，要使该粒子恰从O点射出磁场，求粒子的入射速度大小．
有关圆的四种角度的关系
1. 如图所示，速度的偏向角φ等于圆心角α.
2. 圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的两倍(φ＝α
＝2θ＝ωt).
3. 相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°.
4. 进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等．
随堂内化 即时巩固
1. (2024·东莞麻涌中学)质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动，已知 α 粒子的质量是质子的4倍，电荷量是质子的2倍．则下列说法中正确的是 ( )
A. 质子和α粒子的速度大小之比为1∶2
B. 质子和α粒子的周期之比为2∶1
C. 质子和α粒子的动量大小之比为1∶2
D. 质子和α粒子的动能之比为2∶1
C
2. 如图所示，在0≤x≤h，－∞(1) 若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bmin和粒子在磁场中的运动时间．
配套新练案
考向1 带电粒子及其在匀强磁场中的运动
1. (2024·云浮罗定期中)月球探测器通过测量运动电子在月球磁场中的轨迹来推算磁场强弱分布．下列各图是在月球上不同位置所探测到的电子运动轨迹的照片，设在各位置电子速率相同，且电子进入磁场时速度方向均与磁场方向垂直．则由照片可判断这四个位置中磁场最强的是 ( )
A
2. 如图所示，圆形区域内有垂直纸面向内的匀强磁场，三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c，以不同的速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场，其运动轨迹如图所示．若带电粒子只受磁场力的作用，则下列说法中正确的是 ( )
A. 三个粒子都带负电荷
B. c粒子运动速率最小
C. c粒子在磁场中运动时间最短
D. 它们做圆周运动的周期TaC
3. (多选)如图所示，质子以一定初速度从ad的中点平行ab边方向进入立方体区域abcd-a′b′c′d′，立方体区域存在竖直向下垂直于abcd平面的匀强磁场，则质子可能从哪条边界射出立方体 ( )
A. ad边
B. b′c′边
C. cd边
D. a′d′边
AC
4. (2024·广州广雅中学)如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图．励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直．电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节(电流越大，磁场越强).下列说法中正确的是 ( )
A. 仅增大励磁线圈中电流，电子束径迹的半径变大
B. 仅提高电子枪加速电压，电子束径迹的半径变大
C. 仅增大励磁线圈中电流，电子做圆周运动的周期将变大
D. 仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将变大
B
BCD
6. (2024·揭阳期末)(多选)如图所示，直角坐标系xOy中的第一象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.有一质量为m、电荷量为－q的粒子从y轴上的P点沿着与y轴正方向成45°角的方向射入磁场，不考虑粒子的重力，下列说法中正确的是 ( )
AD
7. 如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在磁感应强度方向垂直纸面向里的匀强磁场．一带正电的粒子在P点以与x轴正方向成α＝60°的方向以速度v0垂直磁场射入，一段时间后粒子从y轴上的Q点(图中未画出)射出磁场，带电粒子在Q点的速度方向与y轴负方向的夹角β＝60°.已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，OP＝a，不计粒子所受重力．求：
(1) 匀强磁场的磁感应强度大小B.
(2) 带电粒子在第一象限内运动的时间．
8. 如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处与x轴正方向成θ角(0<θ<π)，以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)，则下列说法中正确的是 ( )
A. 若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B. 若v一定，θ越大，则粒子离开磁场的位置距O点越近
C. 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D. 若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度变大
A
9. (2024·广州期末)如图所示，在xOy坐标系的第一、四象限内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小不同的匀强磁场(未画出).一质量为m、电荷量大小为q的带电粒子，从y轴上的A点沿平行于x轴的方向射入第一象限，经C点与x轴成30°角进入第四象限．已知第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小为B，C点到O点的距离为a，不计粒子的重力．
(1) 判断带电粒子电性．
答案：带正电
解析：由左手定则可知，带电粒子带正电．
(2) 求粒子从A点射出时的速度大小．
(3) 若粒子刚好不能进入第三象限，求粒子在第四象限内运动的时间．
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