章末复习 知识整合与能力提升
核心 目标 1. 通过安培力与洛伦兹力的学习进一步认识场的概念，解决简单的实际问题．
2. 能分析带电粒子在磁场中运动的问题，能进一步应用磁感线、匀强磁场等模型分析磁场问题．
考点1 复杂的临界、极值问题求解
(2025·揭阳一中)如图所示，平面直角坐标系y轴的左侧存在沿x轴正方向电场强度为E的匀强电场，一质量为m，带电荷量为＋q的质子从P点由静止开始加速，P点的坐标为(－d，0)，从坐标原点射入圆形匀强磁场区域(图中未画出)，磁场方向垂直纸面向外，质子飞出磁场区域后，经过y轴上的M点再次进入电场，此时质子速度与y轴负方向夹角为θ＝30°，M点的坐标为(0，－1.5d)，质子重力不计，求：
(1) 磁感应强度的大小．
(2) 圆形匀强磁场区域的最小面积．
(3) 在圆形磁场面积最小时，质子第三次经过y轴的y坐标．
考点2 磁场中的多解问题
(2025·佛山普通高中教学质量检测)如图甲所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场，其边界a点处有一电子枪，可沿磁场半径方向发射电子．圆形磁场的磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图乙所示(T恒定且满足T＝2t0＋Δt，t0、Δt均未知)；0～t0时间，磁场方向垂直纸面向里(如图甲).已知电子在电子枪中初速度为零、重力不计，比荷为k.
甲 乙
(1) 电子经电压U0加速后，于t＝0时刻进入磁场，运动t0时间速度偏转90°打到边界上．
① 求磁场的磁感应强度B0的大小．
② 当Δt＝2t0时，调节加速电压使电子能击中磁场边界上的b点，则加速电压U应满足什么关系？
(2) 调节加速电压，电子仍于t＝0时刻进入磁场，经过一个电流周期T后恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求Δt与t0满足的关系和加速电压U1.
考点3 带电粒子在周期性变化场中的运动
(2024·广州二中)如图甲所示，建立xOy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁场，方向垂直于xOy平面向里，位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连接发射质量为m、电荷量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响).
已知t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场，上述m、q、l、t0、B为已知量，不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况．
甲
乙
(1) 求电压U0的大小．
(2) 求t0时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
(3) 何时入射的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间tmin.
1. (2023·广东卷)某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV.根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10-19 J)( )
A. 3.6×106 m/s B. 1.2×107 m/s
C. 5.4×107 m/s D. 2.4×108 m/s
2. (2022·广东卷)(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点．已知M、P在同一等势面上，下列说法中正确的有( )
A. 电子从N到P，电场力做正功
B. N点的电势高于P点的电势
C. 电子从M到N，洛伦兹力不做功
D. 电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
3. (2023·山东卷)如图所示，在0≤x≤2d，0≤y≤2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场(不计粒子重力).
(1) 若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小．
(2) 若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场，离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开．
(i) 求改变后电场强度E′的大小和粒子的初速度v0.
(ii) 通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场．
4. (2024·广东卷)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压．金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场．磁感应强度大小为B.一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场且水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场．已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m.忽略粒子所受的重力和场的边缘效应．
甲
乙
(1) 判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q.
(2) 求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v.
(3) 求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W.章末复习 知识整合与能力提升
核心 目标 1. 通过安培力与洛伦兹力的学习进一步认识场的概念，解决简单的实际问题．
2. 能分析带电粒子在磁场中运动的问题，能进一步应用磁感线、匀强磁场等模型分析磁场问题．
考点1 复杂的临界、极值问题求解
(2025·揭阳一中)如图所示，平面直角坐标系y轴的左侧存在沿x轴正方向电场强度为E的匀强电场，一质量为m，带电荷量为＋q的质子从P点由静止开始加速，P点的坐标为(－d，0)，从坐标原点射入圆形匀强磁场区域(图中未画出)，磁场方向垂直纸面向外，质子飞出磁场区域后，经过y轴上的M点再次进入电场，此时质子速度与y轴负方向夹角为θ＝30°，M点的坐标为(0，－1.5d)，质子重力不计，求：
(1) 磁感应强度的大小．
答案：2
解析：质子从O点进入磁场的速度为v，则有
qEd＝mv2
质子进入磁场后的运动轨迹如图所示，反向延长M点的速度方向与x轴交点为C，作∠OCM的角平分线交y轴于O1，O1即为运动轨迹的圆心，OO1即为运动轨迹的半径，设为r.
由几何关系可得r＋＝1.5d
质子在磁场中由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m
联立解得B＝2
(2) 圆形匀强磁场区域的最小面积．
答案：πd2
解析：最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，设圆的半径为r1，则有r1＝r cos 30°
最小圆形区域的面积S＝πr
解得S＝πd2
(3) 在圆形磁场面积最小时，质子第三次经过y轴的y坐标．
答案：－(1.5＋)d
解析：质子从M点进入电场后，有vx＝v sin θ，vy＝v cos θ
设质子从M点进入电场到质子第三次经过y轴的运动时间为t，在x方向qEt＝2mvx
在y方向的位移y1＝vyt
联立解得y1＝d
质子第三次经过y轴的坐标为y＝－(1.5＋)d
考点2 磁场中的多解问题
(2025·佛山普通高中教学质量检测)如图甲所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场，其边界a点处有一电子枪，可沿磁场半径方向发射电子．圆形磁场的磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图乙所示(T恒定且满足T＝2t0＋Δt，t0、Δt均未知)；0～t0时间，磁场方向垂直纸面向里(如图甲).已知电子在电子枪中初速度为零、重力不计，比荷为k.
甲 乙
(1) 电子经电压U0加速后，于t＝0时刻进入磁场，运动t0时间速度偏转90°打到边界上．
① 求磁场的磁感应强度B0的大小．
② 当Δt＝2t0时，调节加速电压使电子能击中磁场边界上的b点，则加速电压U应满足什么关系？
答案：① ② (n＝1，2，3，…)
解析：① 设电子进磁场时速度大小为v，由动能定理有eU0＝mv2
又因为＝k
联立解得v＝
由于电子运动t0时间速度偏转90°打到边界上，可知电子轨道半径r与磁场圆半径R相等，即r＝R
又因为电子在磁场中evB＝m
联立解得B0＝
② 为使电子能击中磁场边界上的b点，且当Δt＝2t0时，电子需运动n个整周期才能回到虚线ab，故4nr＝2R
因为电子在磁场中evB＝m
由①可得v＝
联立解得U＝(n＝1，2，3，…)
(2) 调节加速电压，电子仍于t＝0时刻进入磁场，经过一个电流周期T后恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求Δt与t0满足的关系和加速电压U1.
答案：t0＝Δt
解析：经过一个电流周期T后恰能回到发射点，由图可知
△ABC为等边三角形，故t0＝Δt
且运动过程中恰好不打到磁场上边界，故2r sin 60°＋r＝2R且T＝Te
又因为v＝且v＝
联立解得U1＝
考点3 带电粒子在周期性变化场中的运动
(2024·广州二中)如图甲所示，建立xOy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁场，方向垂直于xOy平面向里，位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连接发射质量为m、电荷量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响).
已知t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场，上述m、q、l、t0、B为已知量，不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况．
甲
乙
(1) 求电压U0的大小．
答案：
解析：t＝0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t0时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为l，则有El＝U0，Eq＝ma，l＝at
联立解得两极板间偏转电压为U0＝
(2) 求t0时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
答案：
解析：t0时刻进入两极板的带电粒子，前t0时间在电场中偏转，后t0时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动，带电粒子沿x轴方向的分速度大小为v0＝
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为
vy＝a·t0
带电粒子离开电场时的速度大小为v＝
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有Bvq＝m
联立解得R＝
(3) 何时入射的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间tmin.
答案：2t0
解析：2t0时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短，带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为v′y＝at0
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则tan α＝
联立解得α＝
带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示
圆弧所对的圆心角为2α＝，所求最短时间为tmin＝T
带电粒子在磁场中运动的周期为T＝
联立解得tmin＝
1. (2023·广东卷)某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV.根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10-19 J)( C )
A. 3.6×106 m/s B. 1.2×107 m/s
C. 5.4×107 m/s D. 2.4×108 m/s
解析：由R＝，Ek＝mv2＝1.5×107 eV，联立解得v＝5.4×107 m/s，C正确．
2. (2022·广东卷)(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点．已知M、P在同一等势面上，下列说法中正确的有( BC )
A. 电子从N到P，电场力做正功
B. N点的电势高于P点的电势
C. 电子从M到N，洛伦兹力不做功
D. 电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
解析：电子从M点由静止释放，从M到N，电场力做正功．由于M、P在同一等势面上，电子从N到P，电场力做负功，A错误； 根据沿电场线方向，电势降低，可知N点电势高于P点电势，B正确；根据洛伦兹力方向与速度方向垂直，可知电子从M到N，洛伦兹力不做功，C正确；由于洛伦兹力不做功，M、P在同一等势面上，电子在M点和P点速度都是零，所以电子在M点和P点都是只受到电场力作用，则电子在M点所受的合力等于在P点所受的合力，D错误．
3. (2023·山东卷)如图所示，在0≤x≤2d，0≤y≤2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场(不计粒子重力).
(1) 若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小．
答案：6
解析：粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有qE·2d＝mv2
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m
粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知R＝
联立可得B＝6
(2) 若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场，离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开．
(i) 求改变后电场强度E′的大小和粒子的初速度v0.
(ii) 通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场．
答案：(i) 36E 9 (ii) 不会
解析：(i) 由题意可知，作出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图所示
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
R＝(2d)2＋(R1－d)2
解得R1＝d
所以有θ＝53°，α＝37°
洛伦兹力提供向心力qv1B＝m
带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有qE′·2d＝mv－mv
再一次进入电场后做类斜抛运动，沿x方向有2d＝v1cos α·t
沿y方向上有2d＝v1sin α·t＋at2
根据牛顿第二定律有qE′＝ma
联立解得E′＝36E，v1＝15，v0＝9
(ii) 粒子从P到Q根据动能定理有
qE′·2d＝mv－mv
可得从Q射出时的速度为v2＝
此时粒子在磁场中的半径R2＝＝d
根据几何关系可知对应的圆心坐标为x＝d，y＝4d
而圆心与P的距离为
l＝＝d≠R2
故不会再从P点进入电场
4. (2024·广东卷)如图甲所示，两块平行正对的金属板水平放置，板间加上如图乙所示幅值为U0、周期为t0的交变电压．金属板左侧存在一水平向右的恒定匀强电场，右侧分布着垂直纸面向外的匀强磁场．磁感应强度大小为B.一带电粒子在t＝0时刻从左侧电场某处由静止释放，在t＝t0时刻从下板左端边缘位置水平向右进入金属板间的电场内，在t＝2t0时刻第一次离开金属板间的电场且水平向右进入磁场，并在t＝3t0时刻从下板右端边缘位置再次水平进入金属板间的电场．已知金属板的板长是板间距离的倍，粒子质量为m.忽略粒子所受的重力和场的边缘效应．
甲
乙
(1) 判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q.
答案：正电
解析：根据带电粒子在右侧磁场中的运动轨迹结合左手定则可知，粒子带正电；粒子在磁场中运动的周期为T＝2t0
根据T＝
则粒子所带的电荷量q＝
(2) 求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v.
答案： π
解析：若金属板的板间距离为D，则板长
粒子在板间运动时＝vt0
出电场时竖直速度为零，则竖直方向y＝2×(0.5t0)2
在磁场中时qvB＝m
其中y＝2r＝
联立解得D＝，v＝π
(3) 求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W.
答案：
解析：带电粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图，由(2)的计算可知金属板的板间距离D＝3r，则粒子在3t0时刻再次进入中间的偏转电场，在4t0时刻进入左侧的电场做减速运动速度为零后反向加速，在6t0时刻再次进入中间的偏转电场，6.5t0时刻碰到上极板，因粒子在偏转电场中运动时，在时间t0内电场力做功为零，在左侧电场中运动时，往返一次电场力做功也为零，可知整个过程中只有开始进入左侧电场时电场力做功和最后0.5t0时间内电场力做功，则
W＝mv2＋Eq×＝＋＝(共38张PPT)
第一章
章末复习 知识整合与能力提升
安培力与洛伦兹力
核心 目标 1. 通过安培力与洛伦兹力的学习进一步认识场的概念，解决简单的实际问题．
2. 能分析带电粒子在磁场中运动的问题，能进一步应用磁感线、匀强磁场等模型分析磁场问题．
核心知识 整合建构
素养生成 综合应用
复杂的临界、极值问题求解
考点
1
(2025·揭阳一中)如图所示，平面直角坐标系y轴的左侧存在沿x轴正方向电场强度为E的匀强电场，一质量为m，带电荷量为＋q的质子从P点由静止开始加速，P点的坐标为(－d，0)，从坐标原点射入圆形匀强磁场区域(图中未画出)，磁场方向垂直纸面向外，质子飞出磁场区域后，经过y轴上的M点再次进入电场，此时质子速度与y轴负方向夹角为θ＝30°，M点的坐标为(0，－1.5d)，质子重力不计，求：
(1) 磁感应强度的大小．
1
(2) 圆形匀强磁场区域的最小面积．
(3) 在圆形磁场面积最小时，质子第三次经过y轴的y坐标．
磁场中的多解问题
考点
2
(2025·佛山普通高中教学质量检测)如图甲所示，圆心为O、半径为R的圆形有界磁场，其边界a点处有一电子枪，可沿磁场半径方向发射电子.圆形磁场的磁感应强度B在一个周期T内的变化规律如图乙所示(T恒定且满足T＝2t0＋Δt，t0、Δt均未知)；0～t0时间，磁场方向垂直纸面向里(如图甲).已知电子在电子枪中初速度为零、重力不计，比荷为k.
2
甲
乙
(1) 电子经电压U0加速后，于t＝0时刻进入磁场，运动t0时间速度偏转90°打到边界上．
① 求磁场的磁感应强度B0的大小．
② 当Δt＝2t0时，调节加速电压使电子能击中磁场边界上的b点，则加速电压U应满足什么关系？
(2) 调节加速电压，电子仍于t＝0时刻进入磁场，经过一个电流周期T后恰能回到发射点，且运动过程中恰好不打到磁场边界，求Δt与t0满足的关系和加速电压U1.
甲
乙
带电粒子在周期性变化场中的运动
考点
3
(2024·广州二中)如图甲所示，建立xOy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁场，方向垂直于xOy平面向里，位于极板左侧的粒子源沿x轴向右连接发射质量为m、电荷量为＋q、速度相同、重力不计的带电粒子．在0～3t0时间内两板间加上如图乙所示的电压(不考虑极板边缘的影响).
3
已知t＝0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t0时刻经极板边缘射入磁场，上述m、q、l、t0、B为已知量，不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况．
(1) 求电压U0的大小．
甲
乙
甲
乙
(3) 何时入射的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间tmin.
甲
乙
链接高考 真题体验
1. (2023·广东卷)某小型医用回旋加速器，最大回旋半径为0.5 m，磁感应强度大小为1.12 T，质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV.根据给出的数据，可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应，1 eV＝1.6×10-19 J) ( )
A. 3.6×106 m/s B. 1.2×107 m/s
C. 5.4×107 m/s D. 2.4×108 m/s
C
2. (2022·广东卷)(多选)如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场．电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点．已知M、P在同一等势面上，下列说法中正确的有 ( )
A. 电子从N到P，电场力做正功
B. N点的电势高于P点的电势
C. 电子从M到N，洛伦兹力不做功
D. 电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
BC
解析：电子从M点由静止释放，从M到N，电场力做正功．由于M、P在同一等势面上，电子从N到P，电场力做负功，A错误； 根据沿电场线方向，电势降低，可知N点电势高于P点电势，B正确；根据洛伦兹力方向与速度方向垂直，可知电子从M到N，洛伦兹力不做功，C正确；由于洛伦兹力不做功，M、P在同一等势面上，电子在M点和P点速度都是零，所以电子在M点和P点都是只受到电场力作用，则电子在M点所受的合力等于在P点所受的合力，D错误．
3. (2023·山东卷)如图所示，在0≤x≤2d，0≤y≤2d的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场(不计粒子重力).
(1) 若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小．
(2) 若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场，离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开．
(i) 求改变后电场强度E′的大小和粒子的初速度v0.
(ii) 通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场．
(1) 判断带电粒子的电性并求其所带的电荷量q.
甲
乙
(2) 求金属板的板间距离D和带电粒子在t＝t0时刻的速度大小v.
甲
乙
(3) 求从t＝0时刻开始到带电粒子最终碰到上金属板的过程中，电场力对粒子做的功W.
甲
乙
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