专题：竖直平面内的圆周运动 (2)

“竖直平面内圆周运动中的临界问题”导学案（2）
【学习目标】
会在具体问题中分析向心力的来源。
知道向心力和向心加速度的公式也适用于变速圆周运动，会求在竖直平面内圆周运动的物体在特殊点的向心力和向心加速度等问题。
3、通过对竖直平面内圆周运动中的临界问题分析，提高综合分析、解决问题的能力。
【学习重点】在具体问题中找出向心力的来源，并结合牛顿运动定律求解有关问题。
【学习难点】对竖直平面内圆周运动的临界问题的思考和分析，并结合牛顿运动定律求解有关问题。
【自主复习】（要求课前完成）
1、汽车过拱形桥问题（只分析在最高点，做出力的示意图）：
设拱形桥面所在圆的半径为R，汽车质量为m，在最高点的速度为v，推导出汽车对桥面的压力FN的表达式，并指出随速率的变化汽车对桥的压力FN的取值范围（用汽车重力mg表示取值范围）？
2、汽车过凹形桥问题（只分析在最低点，做出力的示意图）：
设凹形桥面所在圆的半径为R，汽车质量为m，在最低点的速度为v，推导出汽车对桥面的压力FN的表达式，并指出随速率的变化汽车对桥的压力FN的取值范围（用汽车重力mg表示取值范围）？
如图：做圆周运动的物体，在所受的合外力突然
或
提供圆周运动所需要的向心力时，将沿圆周
方向飞出（如图中
的情况）或逐
渐
圆心运动（如图中
的情况），这种运动叫做离心运动。其实质是物体具有
的表现，并不是物体受到离心力的作用。若物体正做匀速圆周运动，突然需要的向心力Fn的情况）做
运动。
【探究学习】竖直平面内的圆周运动（演示：观察与思考）
物体在竖直面内的圆周运动通常是一种变速圆周运动，一般只研究物体在最高点和最低点时的两种情形。这类运动常有临界问题（伴有“最大”、“最小”、“恰好”等词语），常见的两种模型：轻绳（圆环）模型和轻杆（圆管）模型。
1、轻绳（圆环）模型：
如图示：已知小球质量为m，轨道半径为r，在最高点时的速度为v,分析小球在最高点时的受力情况并推导小球所受弹力FN的表达式？
（2）若小球恰好能通过最高点时，应满足弹力FN
=0，则此时小球的速度（临界速度）v临=
。
（3）若小球的速度vv临时，各会出现什么情况？并总结小球能通过最高点的条件是：
。
（4）若已知轻绳能承受的最大拉力为Fm
,为了使轻绳不被拉断，则小球通过最低点时的最大速度
vm=
（即为最低点的临界速度）。
2、轻杆（圆管）模型：
(1)想想：轻杆（圆管）和轻绳（圆环）对小球的作用力有什么区别？
（2）如图示：已知小球质量为m，轨道半径为r，在最高点时的速度为v,分析小球在最高点时的受力情况有几种可能？并推导小球所受弹力FN的表达式
（3）〖思考与讨论〗：
如图示：当小球运动到最高点时的速度为v，向心力为Fn＝m，如果mg>Fn＝m，即提供向心力的重力大于所需的向心力，大的部分被杆（圆管）向上的弹力“抵消”，使小球仍能做圆周运动（不会脱离圆轨道）。可见，小球恰好能通过最高点做圆周运动的临界条件是：在最高点的速度v临=
，弹力大小FN=
，方向：
；
当小球在最高点的速度vI=
时，轻杆（圆管）对小球恰好无弹力；
当小球在最高点的速度v>vI时，轻杆（圆管）对小球的弹力方向：
，大小为FN=
，且随v的增大，FN将
；
当小球在最高点的速度v满足0，大小为FN=
，且随v的增大，FN将
。
【检练反馈】
1.如图所示，轻杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，先给小球一初速度，使它做圆周运动。图中
a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对小球的作用力可能是：（
）
A．a处为拉力
b处为拉力
B.
a
处为拉力
b处为推力
C.
a
处为推力
b处为拉力
D.a处为推力
b处为拉力
乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列
说法正确的是（
）
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人可能会掉下来
B．人在最高点时对座椅可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最低点时对座椅的压力等于mg
D．人在最低点时对座椅的压力大于mg
3、如图所示，放置在水平地面上的支架质量为M，支架顶端用细线拴着的摆球质量为m，现将摆球拉至水平位置释放，摆球运动过程中，支架始终不动，以下说法正确的是(　　)
A．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为(m＋M)g
B．在释放前的瞬间，支架对地面的压力为Mg
C．摆球到达最低点时，支架对地面的压力为(m＋M)g
D．摆球到达最低点时，支架对地面的压力大于(m＋M)g
4、如图所示，竖直放置的半径为R的光滑圆环上套着一个质量为m的小球，现给球一初速度，使小球沿圆环在竖直平面内转动，不计空气阻力，则
（
）
A.小球到达最高点的速度必须大于
B.小球到达最高点的速度可能为0
C.小球到达最高点一定受环对它向下的压力
D.小球到达最高点一定受环对它向上的支持力
5、长L＝0.5m的轻绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内自由转动，筒中有质量m＝0.5
Kg的水(忽略小桶的大小，不计空气阻力)。问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v＝3m/s，水对筒底的压力多大？
6、如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管壁的压力为0.5mg.求：
(1)小球从管口飞出时的速率；
(2)小球落地点到P点的水平距离．
O
O
a
b
o
●