2.4单摆题型归纳 （含解析） 2025-2026人教版（2019）高中物理选择性必修一

2.4单摆题型归纳
【题型1 对单摆模型及其回复力的理解】
【例1】（23-24高二上·江西宜春·期末）单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　）
A．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动
B．单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定
C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零
D．单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律
【变式1-1】（23-24高二上·重庆黔江·月考）如图所示，单摆在竖直平面内的、之间做简谐运动，点为单摆的固定悬点，点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　）
A．摆球在点时，动能最大，回复力最大
B．摆球由点向点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
C．摆球在点和点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大
D．摆球在点时，重力势能最小，机械能最小
【变式1-2】（23-24高一下·四川巴中·月考）如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻力，则在摆动稳定后的一个周期内（ ）
A．摆球受到重力、拉力、回复力、向心力四个力的作用
B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，向心力不为零
C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力为零
D．摆球相邻两次经过B点时，细线拉力大小不相等
【变式1-3】（多选）（22-23高二上·广东深圳·期末）图中是甲、乙两名游客体验“悬崖秋千”的情境，甲、乙游客的质量和摆幅均不相等，忽略空气阻力作用，两游客均可视作质点且摆幅较小，下列说法正确的有（　　）
A．甲游客在B点机械能大于A点 B．甲游客在A点受到的回复力大于B点
C．甲、乙游客在B点的速度大小相等 D．甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同
【题型2 单摆周期公式的应用】
【例2】（2024·辽宁·三模）用细线悬挂一小球，保持摆线长度一定，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，选项C、D两种情况下小球做高度不同的圆锥摆运动，则四种情况中周期最短的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）一个理想单摆，已知其周期为T．如果转移到其他星球自由落体加速度变为原来的，振幅变为原来的，摆长变为原来的，摆球的质量变为原来的，它的周期变为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高二下·吉林四平·期中）如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为，O点正下方处有一铁钉。重力加速度为g，不计空气阻力，将小球拉至A处无初速度释放（摆角很小），这个摆的周期为（　　）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2025·陕西·一模）如图所示，小球用细线悬于天花板上，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线与竖直方向的夹角为θ，小球做圆周运动的周期为T，若使小球在竖直面内做单摆运动，则单摆运动的周期为（　　）
A． B． C． D．
【题型3 单摆振动的图像及表达式】
【例3】（多选）（23-24高一下·重庆·期中）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图象如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　）
A．单摆的摆长约为2.0m
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为
C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐减小
D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
【变式3-1】（多选）（23-24高一下·四川成都·月考）同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两单摆的摆长之比为16∶25
B．乙单摆的机械能大于甲单摆的机械能
C．两图线交点对应的时刻（t0）甲、乙两摆球速率相等
D．甲单摆的振动方程为
【变式3-2】（23-24高三下·广东广州·月考）如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗3s内漏出的细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．该沙摆的周期为3s
B．该沙摆的摆长约为2m
C．由图乙可知，木板被匀加速拉出
D．当图乙中的B点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为17.5m/s
【变式3-3】（23-24高二下·宁夏银川·月考）图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像：
（1）写出摆球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
（2）若当地的重力加速度为，取，求单摆的摆长。
【题型4 圆弧摆和圆锥摆】
【例4】（23-24高三上·重庆·月考）如图所示，两根轻质细线分别连接两个可视为质点的小球，小球甲在竖直面内摆动，摆线的最大摆角为，小球乙在水平面内绕点做匀速圆周运动，连接小球乙的细线与竖直方向的夹角始终为，两小球运动的周期恰好相等，下列说法正确的是（ ）
A．两根细线的长度相等 B．两小球的质量一定相等
C．两小球的机械能一定相等 D．连接甲、乙两球的细线长度之比为
【变式4-1】（2024·浙江湖州·二模）如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（　　）
A．小球运动的周期为0.2πs B．光滑球面的半径为0.1m
C．小球的质量为0.05kg D．小球的最大速度约为0.10m/s
【变式4-2】（多选）（23-24高一下·广东茂名·期中）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（ ）
A．该圆弧轨道的半径为
B．小球简谐振动的周期为t0
C．小球的质量为
D．小球在平衡位置O点时所受的合力为零
【变式4-3】（多选）（23-24高一下·福建泉州·月考）如图所示，三根长度分别为的细线下端分别悬挂三个相同的小球，细线长度，细线上端固定在同一点，若三个小球分别绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，若1、2两小球圆周运动轨道在同一水平面内且高于3小球圆周运动的轨道面，则三个小球在运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．周期的关系 B．周期的关系
C．细线的拉力大小 D．细线的拉力大小
【题型5 用等效摆长计算周期】
【例5】（23-24高二下·河北张家口·月考）如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当。于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，细线与轻杆间的夹角为α，轻杆与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．单摆的等效摆长为 Lsinθ B．单摆的等效摆长为
C．等效重力加速度为gsinα D．等效重力加速度为gsinθ
【变式5-1】（23-24高三上·黑龙江大庆·月考）如图所示，一倾角很小、高为h的斜面固定在水平地面上，光滑小球由斜面顶点A从静止开始下滑，到达底端B所用时间为，如果过A、B两点将斜面剜成一个圆弧面，使圆弧面B点恰与底面相切，该小球由A到B所用时间为t2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式5-2】（24-25高二上·全国·单元测试）如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，组成一个双线摆，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．该双线摆的摆长为
B．该双线摆的周期为
C．该双线摆的角越小越好
D．小球宜采用密度较小的塑料球
【变式5-3】（多选）（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若单摆微圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期
B．这个双线摆的摆长为
C．这个双线摆的周期为
D．图中双线摆的θ角越小越好
【题型6 用等效重力加速度计算周期】
【例6】（23-24高二下·江苏盐城·月考）如图所示，一带正电的小球用绝缘细绳悬于O点，将小球拉开较小角度后静止释放，形成一个单摆，下列操作能使其做简谐运动的周期变大的是（　　）
A．减小摆长
B．初始拉开的角度更小一点
C．在此空间加一竖直向上的较小的匀强电场
D．在悬点O处放置一个带负电的点电荷
【变式6-1】（多选）（23-24高二下·河北衡水·期中）某同学把单摆固定在光滑斜面上（斜面静止不动），并让小球在斜面上来回摆动（摆角很小），下列选项中与单摆周期有关的量是（　　）
A．斜面的倾角 B．摆球的质量
C．摆球的振幅 D．摆线的长度
【变式6-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）如图所示，在一倾角为的光滑绝缘斜面上，将一长为L的细线（不可伸长）一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球静止时在O点。将小球拉开一很小的倾角后由静止释放，小球的运动可视为单摆运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．摆球的摆动周期为 B．摆球刚释放时的回复力大小为
C．摆球经过平衡位置时合力为零 D．摆球摆动过程中，机械能不守恒
【变式6-3】（2023·北京·模拟预测）在光滑水平面上的O点系一长为L的绝缘细线，线的另一端系一质量为m、带电量为q的小球。当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态，如图所示。现给小球一垂直于细线的初速度，使小球在水平面上开始运动。若很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为（　　）
A． B． C． D．
【题型7 摆钟的快慢变化及调整方法】
【例7】（23-24高二上·广东广州·期中）摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。图示为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则（　　）
A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力
B．该摆钟在太空实验室可正常使用
C．该摆钟从北京带到广州，为走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动
D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动
【变式7-1】（23-24高二下·上海·期中）惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移
D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移
【变式7-2】（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知火星表面的重力加速度值约为地球表面重力加速度值的0.4倍，将在地球表面走时准确的摆钟放到火星表面，则时针在钟面上从“1”走到“2”，在地球上已经过了约多少小时（　　）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24高三下·重庆·月考）某同学用建筑工地上的重锤做成单摆，用来探究“单摆周期与哪些因素有关”这位同学进行了如图所示实验、让重锤自由往返摆动，记录数据如下表。
回答下列问题：
序号 摆长L/m 重锤质量/g 摆幅/m 周期/s
1 1.3 50 0.05 2.3
2 1.0 50 0.08 2.0
3 1.0 100 0.05 2.0
4 1.0 100 0.08 2.0
5 0.7 50 0.05 1.7
（1）实验序号2、4探究的是单摆周期跟 （选填“摆长”“重锤质量”或“摆幅”）的关系。
（2）从本次实验可以得到的结论是：单摆周期由 （选填“摆长”“重锤质量”或“摆幅”）决定。
（3）摆钟是利用本实验的原理制成的。某一摆钟变慢了，要调准它，应将摆钟的摆长调
（选填“长”或“短”）
2.4单摆题型归纳答案
【题型1 对单摆模型及其回复力的理解】
【例1】（23-24高二上·江西宜春·期末）单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是（　　）
A．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动
B．单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定
C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零
D．单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律
【答案】C
【解析】A．由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误；
B．由单摆做简谐运动的周期公式
即振动周期与摆球的质量和摆角无关，故B错误；
C．当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是单摆的向心力不为零，所受合力不为零，故C正确；
D．单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简简谐运动的规律，故D错误。
故选C。
【变式1-1】（23-24高二上·重庆黔江·月考）如图所示，单摆在竖直平面内的、之间做简谐运动，点为单摆的固定悬点，点为运动中的最低位置，则下列说法正确的是（　　）
A．摆球在点时，动能最大，回复力最大
B．摆球由点向点摆动过程中，细线拉力增大，回复力增大
C．摆球在点和点时，速度为零，故细线拉力最小，但回复力最大
D．摆球在点时，重力势能最小，机械能最小
【答案】C
【解析】A．单摆近似可以看作简谐运动，在最低点B处，即平衡位置处时，速度最大，回复力为零，故A错误；
B．摆球做圆周运动，摆球由A点向B点摆动过程中，细线拉力增大，回复力减小，故B错误；
C．摆球在A点和C点时，即最大位移处时，速度为零，故细线拉力最小，回复力最大，故C正确；
D．摆球运动过程中，机械能守恒，在最低点B处，动能最大，重力势能最小，故D错误。
故选C。
【变式1-2】（23-24高一下·四川巴中·月考）如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将可视为质点的摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，静止释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置。整个过程忽略空气阻力，则在摆动稳定后的一个周期内（ ）
A．摆球受到重力、拉力、回复力、向心力四个力的作用
B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，向心力不为零
C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力为零
D．摆球相邻两次经过B点时，细线拉力大小不相等
【答案】C
【解析】A．摆球受到重力、拉力两个力的作用，A错误；
B．摆球在经过A点和C点处，速度为零，向心力等于沿着半径方向的合力，向心力也为零，B错误；
C．摆球在经过B点处，速度最大，回复力等于沿着切线方向的合力，回复力也为零，C正确；
D．摆球相邻两次经过B点时，速度大小相等，根据牛顿第二定律得
解得
细线拉力大小相等，D错误。
故选C。
【变式1-3】（多选）（22-23高二上·广东深圳·期末）图中是甲、乙两名游客体验“悬崖秋千”的情境，甲、乙游客的质量和摆幅均不相等，忽略空气阻力作用，两游客均可视作质点且摆幅较小，下列说法正确的有（　　）
A．甲游客在B点机械能大于A点 B．甲游客在A点受到的回复力大于B点
C．甲、乙游客在B点的速度大小相等 D．甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同
【答案】BD
【解析】A．甲游客在B点机械能等于A点，故A错误；
B．甲游客在A点的回复力等于重力沿运动轨迹切线方向的分力，在B点的回复力为0，故B正确；
C．甲、乙游客的摆幅不相等，在B点的速度大小不相等，故C错误；
D．两个单摆周期近似相等，甲、乙游客从最低点运动到最高点的时间近似相同，故D正确。
故选BD。
【题型2 单摆周期公式的应用】
【例2】（2024·辽宁·三模）用细线悬挂一小球，保持摆线长度一定，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，选项C、D两种情况下小球做高度不同的圆锥摆运动，则四种情况中周期最短的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设摆线长度为l，选项A、B两种情况下小球做振幅不同的单摆运动，由单摆周期公式可得
小球做圆锥摆运动时，设摆线与竖直方向夹角为，高度为h，小球质量为m，圆周半径为R，则有
解得
由此综合可得
故选D。
【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·月考）一个理想单摆，已知其周期为T．如果转移到其他星球自由落体加速度变为原来的，振幅变为原来的，摆长变为原来的，摆球的质量变为原来的，它的周期变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】单摆的周期为
所以有
故选A。
【变式2-2】（23-24高二下·吉林四平·期中）如图所示，一小球用细线悬挂于O点，细线长为，O点正下方处有一铁钉。重力加速度为g，不计空气阻力，将小球拉至A处无初速度释放（摆角很小），这个摆的周期为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，根据单摆周期公式，有
则这个摆的周期为
故选A。
【变式2-3】（2025·陕西·一模）如图所示，小球用细线悬于天花板上，使小球在水平面内做匀速圆周运动，悬线与竖直方向的夹角为θ，小球做圆周运动的周期为T，若使小球在竖直面内做单摆运动，则单摆运动的周期为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】小球受重力G和悬线的拉力F而在水平面内做匀速圆周运动，如图：
由牛顿第二定律得
又
R=Lsinθ
解得小球做圆周运动的周期
小球在竖直面内做单摆运动，则
联立解得
故选A。
【题型3 单摆振动的图像及表达式】
【例3】（多选）（23-24高一下·重庆·期中）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图象如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　）
A．单摆的摆长约为2.0m
B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为
C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐减小
D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
【答案】BC
【解析】A．由题图乙可知，单摆的周期为，由单摆的周期公式
可得单摆的摆长为
故A错误；
B．由图乙可知，振幅，角速度为
则单摆的位移x随时间t变化的关系式为
故B正确；
C．由图乙可知，到的过程中，摆球从右侧最高点向平衡位置运动，摆球的速度逐渐增大，动能逐渐增大，重力势能逐渐减小，故C正确；
D．由图乙可知，从到的过程中，摆球从平衡位置向左运动到最大位移处，可知摆球所受回复力逐渐增大，故D错误。
故选BC。
【变式3-1】（多选）（23-24高一下·四川成都·月考）同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两单摆的摆长之比为16∶25
B．乙单摆的机械能大于甲单摆的机械能
C．两图线交点对应的时刻（t0）甲、乙两摆球速率相等
D．甲单摆的振动方程为
【答案】AD
【解析】A．根据单摆周期公式
可得
由图可知甲单摆的周期为，乙单摆的周期为，甲、乙两单摆的摆长之比为
故A正确；
B．甲、乙两单摆的质量不知，无法比较甲、乙两单摆的机械能，故B错误；
C．图像斜率表示速度，两图线交点对应的时刻（）图像斜率绝对值不同，甲、乙两摆球速率不相等，故C错误；
D．甲单摆的振动方程为
故D正确。
故选AD。
【变式3-2】（23-24高三下·广东广州·月考）如图甲所示的漏斗在做简谐运动的同时，小付同学将下方的薄木板沿箭头方向拉出，漏斗3s内漏出的细沙在板上形成的曲线如图乙所示，当地重力加速度大小，下列说法正确的是（ ）
A．该沙摆的周期为3s
B．该沙摆的摆长约为2m
C．由图乙可知，木板被匀加速拉出
D．当图乙中的B点通过沙摆正下方时，薄木板的速度大小为17.5m/s
【答案】C
【解析】A．由题图乙知
知该沙摆的周期为
T=2s
故A错误；
B．沙摆的周期
得
故B错误；
C．由题图乙中数据可知，木板在连续且相等的时间段内的位移差
得
即木板被匀加速拉出，加速度大小为，故C正确；
D．匀变速直线运动在一段时间间隔的中间时刻的瞬时速度，等于这段时间内的平均速度，所以有
故D错误。
故选C。
【变式3-3】（23-24高二下·宁夏银川·月考）图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，根据图像：
（1）写出摆球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
（2）若当地的重力加速度为，取，求单摆的摆长。
【答案】（1）；（2）0.36m
【解析】（1）单摆振动周期T=1.2s，则摆球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式
（2）根据单摆周期公式
可得
【题型4 圆弧摆和圆锥摆】
【例4】（23-24高三上·重庆·月考）如图所示，两根轻质细线分别连接两个可视为质点的小球，小球甲在竖直面内摆动，摆线的最大摆角为，小球乙在水平面内绕点做匀速圆周运动，连接小球乙的细线与竖直方向的夹角始终为，两小球运动的周期恰好相等，下列说法正确的是（ ）
A．两根细线的长度相等 B．两小球的质量一定相等
C．两小球的机械能一定相等 D．连接甲、乙两球的细线长度之比为
【答案】D
【解析】BC．两小球的运动周期及速度大小与质量无关，B、C错误；
AD．小球甲做简谐运动，周期
对乙受力分析结合牛顿运动定律有
解得
A错误、D正确。
故选D。
【变式4-1】（2024·浙江湖州·二模）如图甲，小球在光滑球面上的A、B之间来回运动。t=0时刻将小球从A点由静止释放，球面对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线如图乙，若弧长AB远小于半径，则（　　）
A．小球运动的周期为0.2πs B．光滑球面的半径为0.1m
C．小球的质量为0.05kg D．小球的最大速度约为0.10m/s
【答案】C
【解析】A．小球在一个周期内经过两次最低点，根据图乙可知，小球的运动周期为，故A错误；
B．小球在光滑球面上做简谐振动，根据周期公式
式中的即为光滑球面的半径，代数数据可得
故B错误；
CD．设小球在光滑球面上最高点时与其做圆周运动的圆心连线与竖直方向的夹角为，小球到达最低点时的速度的最大值为，则在最高点有
在最低点有
从最高点到最低点由动能定理有
其中
，
联立以上各式解得
，
故C正确，D错误。
故选C。
【变式4-2】（多选）（23-24高一下·广东茂名·期中）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面上做简谐运动，圆弧轨道对小球的支持力大小随时间变化的曲线如图乙所示，图中时刻小球从点开始运动，重力加速度为。下列说法正确的是（ ）
A．该圆弧轨道的半径为
B．小球简谐振动的周期为t0
C．小球的质量为
D．小球在平衡位置O点时所受的合力为零
【答案】AC
【解析】AB．由图像知半个周期是t0，小球运动的周期为
根据
可得该圆弧轨道的半径为
A正确，B错误；
CD．小球在A点时
在O点时
联立解得小球的质量为
小球在平衡位置时回复力为零，但所受的合力不为零；C正确，D错误。
故选AC。
【变式4-3】（多选）（23-24高一下·福建泉州·月考）如图所示，三根长度分别为的细线下端分别悬挂三个相同的小球，细线长度，细线上端固定在同一点，若三个小球分别绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，若1、2两小球圆周运动轨道在同一水平面内且高于3小球圆周运动的轨道面，则三个小球在运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．周期的关系 B．周期的关系
C．细线的拉力大小 D．细线的拉力大小
【答案】BC
【解析】AB．先对其中一个小球分析，设小球与竖直方向的夹角为，绳长为L，悬点到圆心的竖直高度为h，小球做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有
解得
由图可知
故三个小球的周期关系为
故A错误，B正确；
CD．设细线的拉力为F，再竖直方向上根据平衡条件有
由图可知
故细线的拉力关系为
故C正确，D错误。
故选BC。
【题型5 用等效摆长计算周期】
【例5】（23-24高二下·河北张家口·月考）如图所示，一根质量不计的细线和一根很轻的硬杆连接一个小球组成“杆线摆”，小球可以绕着固定轴来回摆动。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，这相当。于单摆在光滑斜面上来回摆动，轻杆长为L，摆角很小时，细线与轻杆间的夹角为α，轻杆与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．单摆的等效摆长为 Lsinθ B．单摆的等效摆长为
C．等效重力加速度为gsinα D．等效重力加速度为gsinθ
【答案】D
【解析】根据题图可知等效重力加速度沿斜面向下，则等效重力加速度为
单摆的等效摆长为杆长。
故选D。
【变式5-1】（23-24高三上·黑龙江大庆·月考）如图所示，一倾角很小、高为h的斜面固定在水平地面上，光滑小球由斜面顶点A从静止开始下滑，到达底端B所用时间为，如果过A、B两点将斜面剜成一个圆弧面，使圆弧面B点恰与底面相切，该小球由A到B所用时间为t2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设的长度为，小球光滑，沿斜面方向由牛顿第二定律有
又有
联立解得
由于倾角较小，小球从圆弧面下滑可看成单摆运动，由几何关系可得，单摆的等效摆长为
则周期为
可得
则有
故选A。
【变式5-2】（24-25高二上·全国·单元测试）如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，组成一个双线摆，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．该双线摆的摆长为
B．该双线摆的周期为
C．该双线摆的角越小越好
D．小球宜采用密度较小的塑料球
【答案】B
【解析】A．由题意可知，该双线摆的摆长为
A错误；
B．该双线摆的周期为
B正确；
C．题图中双线摆的角越小的话，摆动起来越不稳定，C错误；
D．小球宜采用密度大的铅球或者铁球，以减小空气阻力的影响，D错误。
故选B。
【变式5-3】（多选）（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若单摆微圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期
B．这个双线摆的摆长为
C．这个双线摆的周期为
D．图中双线摆的θ角越小越好
【答案】AC
【解析】A．若为圆锥摆时，则
解得
而单摆的周期为
可知做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期，故A正确；
BC．这个双线摆的摆长为
则这个双线摆的周期为
故B错误，C正确；
D．图中双线摆的θ角太小的话，摆动起来越不稳定，故D错误。
故选AC。
【题型6 用等效重力加速度计算周期】
【例6】（23-24高二下·江苏盐城·月考）如图所示，一带正电的小球用绝缘细绳悬于O点，将小球拉开较小角度后静止释放，形成一个单摆，下列操作能使其做简谐运动的周期变大的是（　　）
A．减小摆长
B．初始拉开的角度更小一点
C．在此空间加一竖直向上的较小的匀强电场
D．在悬点O处放置一个带负电的点电荷
【答案】C
【解析】A．根据单摆周期公式有
若减小摆长，则周期变小，故A错误；
B．结合上述可知，初始拉开的角度更小一点，不影响周期，故B错误；
C．在此空间加一竖直向上的较小的匀强电场，小球所受电场力与重力反向，则等效重力加速度为
可知，等效重力加速度减小，则周期变大，故C正确；
D．在悬点O处放置一个带负电的点电荷，则库仑力始终沿绳的方向，不影响回复力，回复力仍然为重力沿切线方向的分力，则单摆周期不变，故D错误。
故选C。
【变式6-1】（多选）（23-24高二下·河北衡水·期中）某同学把单摆固定在光滑斜面上（斜面静止不动），并让小球在斜面上来回摆动（摆角很小），下列选项中与单摆周期有关的量是（　　）
A．斜面的倾角 B．摆球的质量
C．摆球的振幅 D．摆线的长度
【答案】AD
【解析】等效重力加速度
g等效=a=gsinθ
由单摆周期公式
得与单摆周期有关的量是斜面的倾角和摆线的长度，则选项AD正确，选项BC错误。
故选AD。
【变式6-2】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）如图所示，在一倾角为的光滑绝缘斜面上，将一长为L的细线（不可伸长）一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球静止时在O点。将小球拉开一很小的倾角后由静止释放，小球的运动可视为单摆运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．摆球的摆动周期为 B．摆球刚释放时的回复力大小为
C．摆球经过平衡位置时合力为零 D．摆球摆动过程中，机械能不守恒
【答案】B
【解析】A．根据题意，小球做单摆运动的等效重力加速度为
所以
故A错误；
B．摆球刚释放时的回复力大小为
故B正确；
C．摆球经过平衡位置时具有向心加速度，即沿绳方向合力不为零，故合力不为零，故C错误；
D．摆球摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，故D错误。
故选B。
【变式6-3】（2023·北京·模拟预测）在光滑水平面上的O点系一长为L的绝缘细线，线的另一端系一质量为m、带电量为q的小球。当沿细线方向加上场强为E的匀强电场后，小球处于平衡状态，如图所示。现给小球一垂直于细线的初速度，使小球在水平面上开始运动。若很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若很小，则小球摆动的幅度很小，即摆角很小，则小球的运动是简谐运动，小球处于平衡状态时，绳的弹力
则等效重力加速度为
小球简谐运动的周期
小球第一次回到平衡位置所需时间
解得
故选A。
【题型7 摆钟的快慢变化及调整方法】
【例7】（23-24高二上·广东广州·期中）摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。图示为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则（　　）
A．摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力
B．该摆钟在太空实验室可正常使用
C．该摆钟从北京带到广州，为走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动
D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动
【答案】D
【解析】A．回复力是指向平衡位置的力，摆动过程中，金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，金属圆盘所受合力还有一部分提供向心力，A错误；
B．金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力，该摆钟在太空实验室内处于失重状态，因此不可正常使用，B错误；
C．该摆钟从北京带到广州，重力加速度减小，由单摆的周期公式，可知周期变大，摆钟变慢，为走时准确，需要摆钟的摆长变短，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，C错误；
D．该摆钟在冬季走时准确，到夏季温度升高，由于热胀冷缩，摆长变长，为了准时，需要摆长变短，因此考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，D正确。
故选D。
【变式7-1】（23-24高二下·上海·期中）惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤的势能提供，运行的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．当摆钟不准确时需要调整圆盘的位置
B．摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移
C．由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆下移
D．把摆钟从福建移到北京应使圆盘沿摆杆上移
【答案】A
【解析】A．根据周期公式
当摆钟不准确时，则需要调整摆长，即调整圆盘的位置，故A正确；
B．摆钟快了，周期小，则需将摆长增加，增大周期，故B错误；
C．由冬季变为夏季时摆杆受热伸长，则需上移调节，故C错误；
D．摆钟从福建移到北京，加速度增大，则需将摆长增加，应需要沿摆上移，故D错误。
故选A。
【变式7-2】（23-24高二上·贵州贵阳·期中）已知火星表面的重力加速度值约为地球表面重力加速度值的0.4倍，将在地球表面走时准确的摆钟放到火星表面，则时针在钟面上从“1”走到“2”，在地球上已经过了约多少小时（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设钟摆在地球和火星上的周期分别为和，时针从“1”走到“2”钟摆摆动的次数为，则在地球上
在火星上
根据单摆周期公式
可得
解得
可见，在月球上时针从“1”走到“2”，在地球上已经过了1.6 h。
故选A。
【变式7-3】（23-24高三下·重庆·月考）某同学用建筑工地上的重锤做成单摆，用来探究“单摆周期与哪些因素有关”这位同学进行了如图所示实验、让重锤自由往返摆动，记录数据如下表。
回答下列问题：
序号 摆长L/m 重锤质量/g 摆幅/m 周期/s
1 1.3 50 0.05 2.3
2 1.0 50 0.08 2.0
3 1.0 100 0.05 2.0
4 1.0 100 0.08 2.0
5 0.7 50 0.05 1.7
（1）实验序号2、4探究的是单摆周期跟 （选填“摆长”“重锤质量”或“摆幅”）的关系。
（2）从本次实验可以得到的结论是：单摆周期由 （选填“摆长”“重锤质量”或“摆幅”）决定。
（3）摆钟是利用本实验的原理制成的。某一摆钟变慢了，要调准它，应将摆钟的摆长调
（选填“长”或“短”）
【答案】（1）重锤质量 （2）摆长 （3）短
【解析】（1）由实验数据知，在实验序号2、4中摆长和振幅都相同，重锤质量不同，所以研究的是周期跟重锤质量的关系。
（2）周期在摆动幅度、质量变化时，摆长不变，摆动的时间不变；只有在摆长改变了，周期才改变；所以可得结论：周期与摆长有关，与重锤质量和摆动幅度无关。
（3）某一摆钟变慢了，因周期受摆长的影响，钟摆越长，摆动越慢，所以要调准它即把摆长调短一些。