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分课时教学设计
第七课时《15.3.1 等腰三角形（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版数学八年级上册15.3.1等腰三角形第2课时，核心围绕等腰三角形判定展开，是对等腰三角形性质的逆向探究与应用延伸。 教学内容以“逆向思考”为起点，先通过“等角对等边”的推理过程，引导学生从“两角相等”推导“两边相等”，借助AAS全等证明得出判定定理，建立性质与判定的逻辑关联。接着结合例题，以“外角平分线平行于三角形一边”为情境，强化判定定理的应用，让学生掌握“证边等先证角等”的解题思路。最后通过尺规作图，利用等腰三角形“三线合一”性质，将判定定理与作图操作结合，实现知识向技能的转化。 整体内容由定理探索到应用证明，再到实践操作，层层递进，既突出“理解和运用判定定理”的重难点，也为后续复杂几何问题解决奠定基础。
学习者分析 八上学生在学习本课之前，已掌握等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一、三角形全等判定及基本尺规作图，如作线段、垂直平分线等，具备一定的几何推理和图形分析基础，为探究等腰三角形判定定理提供了知识支撑。 但学生可能存在两点不足：一是对“性质”与“判定”的逆向逻辑关系理解不深，易混淆“等边对等角”与“等角对等边”的适用场景；二是在复杂几何情境中，难以快速找到角的等量关系以应用判定定理。此外，部分学生在尺规作图时，可能对“三线合一”性质的作图依据理解不透彻，需加强定理与实践操作的关联引导。
教学目标 1．探索等腰三角形的判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解等腰三角形的尺规作图．
教学重点 理解和运用等腰三角形的判定定理．
教学难点 理解和运用等腰三角形的判定定理．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．探索等腰三角形的判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解等腰三角形的尺规作图．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说等腰三角形的性质. 答案：性质1：等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）； 符号语言： 在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C． 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）． 符号语言： 在△ABC中， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（三线合一）． 或： 符号语言： 在△ABC中， ∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CD，AD⊥BC（三线合一）． 或： 符号语言： 在△ABC中， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD（三线合一）．学生活动2： 学生积极回答老师提出的问题活动意图说明： 通过复习已学过的等腰三角形知识，为引出本节课的课题“等腰三角形的判定”作铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 预设：相等 追问1：你能试着证明一下吗？ 已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 证明：作△ABC的角平分线AD． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（AAS）． ∴AB＝AC． 追问2：你还有其它的证明方法吗？ 归纳：等腰三角形的判定方法 有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简写成 “等角对等边”）． 符号语言： 在△ABC中， ∵∠B＝∠C， ∴ AB＝AC ． 例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图所示，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC． 求证：AB＝AC． 分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2．所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系． 证明：∵AD//BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C． 又AD平分∠CAE， ∴∠1＝∠2． ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC． 例2：尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a ，底边上高的长为h（如图所示），求作这个等腰三角形． 分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上．由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形． 作法：如图所示． （1）作线段AB＝a． （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． （3）在MN上取一点C，使DC＝h． （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形． 学生活动3： 学生先猜想，然后小组合作探究，并进行证明，然后汇报交流，之后认真听老师的讲评活动意图说明： 让学生在运用不同方法证明等腰三角形判定方法的过程中提高思维的深刻性和广阔性。通过例1的讲解学习，让学生理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。通过例2的讲解学习，让学生了解等腰三角形的尺规作图，进一步巩固所学知识。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：15.3.1等腰三角形（第2课时）一、等腰三角形的判定——等角对等边 二、尺规作图教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案：C 2．如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 答案：D 3．已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 证明：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴三角形是等腰三角形． 选做题： 4．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 答案：等腰三角形 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，其中、边上的高、相交于点． (1)求证：； (2)请判断是等腰三角形吗？并说明理由． 证明：（1）∵、是的高， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 又∵、是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，思思不小心将墨水滴在了书上一个三角形的一角，她测得剩余两角的度数分别为，那么这个三角形是（ ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 答案：B 2．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若的周长为12，的周长为18，则的长度为（ ） A．4 B．6 C．5 D．7 答案：B 3．如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 证明：（1）∵分别为上的高线， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2） ， ∴， ∴， ∴的长是5． 选做题： 4．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 答案： 【综合拓展类作业】 5．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数． 解：（1）是等腰三角形，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2），， ， ， ， ．
教学反思 本课教学围绕等腰三角形判定定理展开，虽借助AAS全等证明推导定理、结合例题强化应用，且通过尺规作图关联“三线合一”，基本达成教学目标，但仍有不足．部分学生对“等角对等边”与“等边对等角”的逻辑差异理解模糊，在复杂图形中找角的等量关系时存在困难；尺规作图环节，少数学生未完全明晰作图步骤的定理依据．后续需增加对比练习，强化性质与判定的区分，同时在作图教学中多引导学生阐述每一步的原理，提升知识应用的熟练度与逻辑性．
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第十五章 轴对称
15.3.1 等腰三角形
（第2课时）
1．探索等腰三角形的判定定理．
2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．
3．了解等腰三角形的尺规作图．
说一说等腰三角形的性质.
性质1：等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）；
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴ ∠B＝∠C．
说一说等腰三角形的性质.
性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（三线合一）．
说一说等腰三角形的性质.
性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，AD⊥BC（三线合一）．
说一说等腰三角形的性质.
性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
符号语言：
在△ABC中，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD（三线合一）．
思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
A
B
C
相等
你能试着证明一下吗？
已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
证明：作△ABC的角平分线AD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．
∴AB＝AC．
A
B
C
D
1
2
你还有其它的证明方法吗？
等腰三角形的判定方法
有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简写成 “等角对等边”）．
A
B
C
符号语言：
在△ABC中，
∵∠B＝∠C，
∴ AB＝AC ．
例1： 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图所示，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC．
求证：AB＝AC．
分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2．所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．
证明：∵AD//BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C．
又AD平分∠CAE，
∴∠1＝∠2．
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
已知：如图所示，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC．
求证：AB＝AC．
例2：尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a ，底边上高的长为h（如图所示），求作这个等腰三角形．
分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上．由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形．
作法：如图所示．
（1）作线段AB＝a．
（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
（3）在MN上取一点C，使DC＝h．
（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
例2：尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a ，底边上高的长为h（如图所示），求作这个等腰三角形．
【知识技能类练习】必做题：
1．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．已知∶如图．
(1)求证：平分．(2)三角形是什么三角形？
证明：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∴三角形是等腰三角形．
【知识技能类练习】选做题：
4．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ．
等腰三角形
【综合拓展类练习】
5．如图，在中，，其中、边上的高、相交于点．
(1)求证：；
(2)请判断是等腰三角形吗？并说明理由．
证明：（1）∵、是的高，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【综合拓展类练习】
（2）是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
又∵、是高，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
5．如图，在中，，其中、边上的高、相交于点．
(1)求证：；
(2)请判断是等腰三角形吗？并说明理由．
等腰三角形的判定
等角对等边
尺规作图
【知识技能类作业】必做题：
1．如图，思思不小心将墨水滴在了书上一个三角形的一角，她测得剩余两角的度数分别为，那么这个三角形是（ ）
A．钝角三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
B
【知识技能类作业】必做题：
2．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若的周长为12，的周长为18，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C．5 D．7
B
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
证明：（1）∵分别为上的高线，
∴，
∴，
在和中，，
∴．
（2） ，
∴，
∴，∴的长是5．
【知识技能类作业】选做题：
4．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ．
【综合拓展类作业】
5．如图所示，在中，平分，．
(1)请判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
解：（1）是等腰三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
【综合拓展类作业】
5．如图所示，在中，平分，．
(1)请判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
（2），，
，
，
，
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同步探究学案
课题 15.3.1 等腰三角形（第2课时） 单元 第十五章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．探索等腰三角形的判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解等腰三角形的尺规作图．
重点 理解和运用等腰三角形的判定定理．
难点 理解和运用等腰三角形的判定定理．
探究过程
导入新课 【引入思考】 说一说等腰三角形的性质.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助等腰三角形的性质，研究等腰三角形的判定。 思考：我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？你能试着证明一下吗？ 已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 问题：你还有其它的证明方法吗？ 归纳：等腰三角形的判定方法 有两个角相等的三角形是__________ （简写成 “等角对等边”）． 符号语言： 在△ABC中， ∵∠B＝∠___， ∴ AB＝______． 例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图所示，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC． 求证：AB＝AC． 例2：尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a ，底边上高的长为h（如图所示），求作这个等腰三角形．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 2．如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．已知∶如图． (1)求证：平分． (2)三角形是什么三角形？ 选做题： 4．把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【综合拓展类练习】 5．如图，在中，，其中、边上的高、相交于点． (1)求证：； (2)请判断是等腰三角形吗？并说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，思思不小心将墨水滴在了书上一个三角形的一角，她测得剩余两角的度数分别为，那么这个三角形是（ ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2．如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交于点．若的周长为12，的周长为18，则的长度为（ ） A．4 B．6 C．5 D．7 3．如图，在中，分别为上的高线，且，相交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 选做题： 4．将一张长方形纸片按如图所示折叠，若，点到距离为，则 ． 【综合拓展类作业】 5．如图所示，在中，平分，． (1)请判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的度数．
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