2024-2025学年广东省广州市荔湾实验学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）(含部分答案)

2024-2025学年广东省广州市荔湾实验学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数-2的相反数是（　　）
A. -2 B. 2 C. D.
2.下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（　　）
A. B. C. D.
3.广州市作为国家公交都市建设示范城市，市内公共交通日均客运量已达15233000人次．将15233000用科学记数法表示应为（　　）
A. 152.33×105 B. 15.233×106 C. 1.5233×107 D. 0.15233×108
4.下列运算正确的是（　　）
A. B.
C. D. （a2）3=a6
5.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面AB与水平地面的夹角∠CAB为61°，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面AB绕点A旋转的度数为（　　）
A. 119° B. 120° C. 61° D. 121°
6.如图，在⊙O中，直径DE⊥弦AB，C是圆上一点，若∠ACD=26°，则∠AOB的度数为（　　）
A. 104°
B. 103°
C. 102°
D. 52°
7.下列四个函数图象中，当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（　　）
A. B. C. D.
8.明明与妹妹慧慧周六去广州海珠湖的环湖绿道跑步，绿道一圈路程约为2.5千米.明明的速度是妹妹速度的1.2倍，跑完一圈明明比妹妹少用4min,设妹妹跑步的速度为x km/h,则可列方程为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是A（-2，1），AB=5，且∠AOB=90°.那么点B到x轴的距离是（　　）
A. 2 B. 4 C. D.
10.如图，正方形ABCD的边长为12，E是AB中点，F是对角线AC上一点，且，在CD上取点G，使得∠FEG=45°，EG交AC于H，则CH的长为（　　）
A. 4
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若分式有意义，则实数x的取值范围是 .
12.因式分解：= ．
13.若一元二次方程（m-2）x2-4x+2=0有解，则m的取值范围是 .
14.明明与慧慧玩一种比数字大小的小游戏：两人各有三张卡片，明明的卡片上分别标有数字1，3，6，慧慧的卡片上分别标有数字2，4，5，两人各从自己的卡片中随机抽一张，则慧慧所抽数字大于明明的概率是 .
15.如图，正六边形ABCDEF的边长为6，点B，F在⊙A上，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为______.
16.如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN=1，则（1）⊙O的直径长为 ；（2）△AMN周长的最小值是 .
三、解答题：本题共9小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：.
18.(本小题9分)
在如图所示的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（-2，-1），B（-1，-3），△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形.
（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P坐标；
（2）以点O为旋转中心，把△OAB顺时针旋转90°，画出旋转后的△OA2B2，并写出点B2坐标.
19.(本小题12分)
已知.
（1）化简A；
（2）若a、b是方程x2-x-1=0的两根，求A的值.
20.(本小题12分)
为更好地落实党中央、国务院《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》文件精神，广州市有关部门对某区七年级学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机抽样调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间t（单位h）状况，设置了如下四个选项，分别为A：t≤1，B：1＜t≤1.5，C：1.5＜t≤2，D：t＞2，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）在调查学生中，每天完成书面作业时间的中位数在______组；在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小是______；
（3）如果该区有15000名七年级学生，那么请估算该区七年级“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的学生约有多少人？
21.(本小题12分)
某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度.
下面是两个方案及测量数据：
项目 测量某塔的高度
方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB. 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
测量项目 第一次 第二次 平均值 测量项目 第一次 第二次 平均值
测量数据 CD 1.61m 1.59m 1.6m β 26.4° 26.6° 26.5°
ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37°
DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8m 35.2m 35m
（1）根据“方案一”的测量数据，直接写出塔AB的高度为______m；
（2）根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
22.(本小题12分)
第135届春季广交会于2024年4月15日-5月5日在琶洲广交会展馆举行.某公司用5万元研发的一批文创产品，在本届广交会中参展销售.已知生产这种产品的成本为3元/件，在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种文创产品的利润为W（万元）.
（1）求出y（万件）与销售价格x（元/件）的函数解析式；
（2）求出这种文创产品的利润W（万元）与x（元/件）的函数解析式，并求出当售价定多少时，利润最大？是多少？
23.(本小题12分)
如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线.
（1）尺规作图：作出以CD为直径的⊙O，与AB交于点E，与AC交于点F；
（2）若BC=2，AC=4，求BE的长；
（3）连接EF，交CD于点P，若DP：PO=3：2，求tan∠A的值.
24.(本小题12分)
如图，已知正方形ABCD，AB=5，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF在正方形外部绕点B旋转，BE=BF=4.
（1）求点D与点E之间的最大距离；
（2）当∠BCE最大时，连接AF，求△ABF的面积；
（3）在△BEF旋转过程中，线段AE与线段CF存在交点G，连接DG，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当的值最小时，求MP的值.
25.(本小题12分)
已知抛物线y=ax2+bx+3 经过点A（2，3）.
（1）用含a的式子表示b；
（2）若抛物线开口向上，点P（m,n）是抛物线上一动点，当-1≤m≤2时，n的最大值是5，求a的值.
（3）将点M（-1，4）向右平移5个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x≠2
12.【答案】（x+3）（x-3）
13.【答案】m≤4且m≠2
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】2
4

17.【答案】-3．
18.【答案】，（-5，-1）．
，（-3，1）
19.【答案】解：（1）A=÷
=
=；
（2）根据根与系数的关系得a+b=1，
所以原式==1．
20.【答案】见解析；
B，43.2°；
9600人．
21.【答案】（1）52；
（2）由题意得：AB⊥BD，
设BC=x m,
∵CD=35m,
∴BD=BC+CD=（x+35）m,
在Rt△ABC中，∠ACB=α=37°，
∴AB=BC tan37°≈0.75x（m），
在Rt△ABD中，∠ADB=β=26.5°，
∴AB=BD tan26.5°≈0.5（x+35）m,
∴0.75x=0.5（x+35），
解得：x=70，
∴AB=0.75x=52.5（m），
∴塔AB的高度约为52.5m.
22.【答案】解：（1）当3≤x≤6时，设解析式为y=，将（3，10）代入得：
k=3×10=30，
∴反比例函数解析式为y=（3≤x≤6）；
当6＜x≤11时，设解析式为y=mx+n,将点（6，5），（11，0）代入得：
，解得，
∴一次函数解析式为y=-x+11（6＜x≤11）．
∴y=；
（2）当3≤x≤6时，W=（x-3）y-5=（x-3） -5=25-，
此时，W随x的增大而增大，当x=6时，W最大=10；
当6＜x≤11时，W=（x-3）y-5=（x-3）（-x+11）-5=-x2+14x-38=-（x-7）2+11，
此时，当x=7时，W最大=11．
综上分析，当售价定7元时，利润最大，是11万元．
23.【答案】解：（1）以C为圆心定长为半径画弧，以D为圆心定长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN交CD于点O，以O为圆心，OC为半径画圆；
（2）连接CE，
∴∠CEB=∠ACB，∠ABC=∠CBE，
∴△ABC∽△CBE，
同理，△ACE∽△ABC，
∴==2，
∵S△ABC==，
∴AB=，CE=，
∴BE=，AE=．
（3）∵CD为△ABC中线，∠ACB=90°，
∴AD=BD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF=∠DCA=∠DAC，
∴FO∥AD，
∴，
∴，
令DE=3x,则CD=4x=AD=BD，BE=x,
∴CE=x,
∴tan∠A=．
24.【答案】解：（1）如图，连接DE，DB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=AB=5，
∵BE=BF=4，
∴点E在以点B为圆心，BE为半径的圆上运动，
∴当点E在线段DB的延长线上时，DE有最大值，
∴点D与点E之间的最大距离为5+4；
（2）如图，过点E作EH⊥BC于H，过点F作FN⊥直线AB于N，
∵点E在以点B为圆心，BE为半径的圆上运动，
∴当CE与⊙B相切时，∠BCE最大，
∴∠CEB=90°，
∴CE===3，
∵sin∠CBE=，
∴，
∴HE=，
∵EH⊥BC，FN⊥AB，
∴∠EHB=90°=∠FNB=∠EBF，
∴∠HBE+∠EBN=90°=∠EBN+∠FBN，
∴∠HBE=∠FBN，
又∵BE=BF，
∴△BEH≌△BFN（AAS），
∴EH=FN=，
∴S△ABF=×AB FN=×5×=6；
（3）如图，连接AC，过点P作PH⊥AE于H，
∵∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
又∵AB=BC，EB=FB，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠AEB=∠CFB，
∴∠EBF=∠EGF=90°，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∴点A，点G，点C，点D四点共圆，
∴∠AGD=∠ACD=45°，
∵PH⊥AG，
∴△PHG的等腰直角三角形，
∴PG=PH，
∴MP+PG=MP+PH=（MP+PH），
∴当点P，点M，点H三点共线时，MP+PE有最小值为MH的长，
∵点G在以AC的直径的圆上，
∴当点G与点E重合时，MH有最小值，
如图，过点B作BQ⊥CF于Q，
∵BE=BF=4，∠EBF=90°，BQ⊥EF，
∴EF=4，BQ=EQ=FQ=2，
∵CQ===，
∴CE=CQ-EQ=-2，
∵MH⊥AE，CE⊥AE，
∴MH∥CE，
∴，
又∵M是CD的中点，
∴DC=2DM，
∴MP=CE=．
25.【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（2，3），
∴4a+2b+3=3，
∴b=-2a.
（2）如图1，∵b=-2a,
∴抛物线为y=ax2-2ax+3，
设抛物线y=ax2-2ax+3与直线x=-1、直线x=2分别交于点B、点C，
∵当x=-1时，y=a+2a+3=3a+3；当x=2时，y=4a-4a+3=3，
∴B（-1，3a+3），C（2，3），
∵y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，
∴该抛物线的顶点为（1，-a+3），对称轴为直线x=1，
∴设点C关于直线x=1的对称点为点D，则D（0，3），
∵a＞0，且-1＜0，
∴3a+3＞3，
∴当点P与点B重合，即m=-1时，n=3a+3最大，
∴3a+3=5，
解得a=．
（3）∵点M（-1，4）向右平移5个单位长度得到点N，
∴N（4，4），
设抛物线y=ax2-2ax+3与直线x=-1交于点B，与直线x=4交于点E，则B（-1，3a+3），E（4，8a+3），
当a＜0时，如图2，
∵3a+3＜3，8a+3＜3，
∴点B、点E都在直线MN的下方，
∴当抛物线的顶点在线段MN上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴-a+3=4，解得a=-1；
当a＞0时，如图3，
∵当点B在点M下方，且点E与点N重合或在点N上方时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∴，解得≤a＜，
综上所述，a的取值范围是a=-1或≤a＜．
第1页，共3页