期中测试卷（13-15章）（含解析）八年级数学上册人教版

2025-2026学年八年级数学上册期中测试卷（13-15章）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，2，2 D．1，2，4
2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．若，则点M（a，b）关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（﹣3，﹣2）
5．如图，AD是△ABC的中线，下列说法错误的是（　　）
A．△ABD和△ACD全等
B．若AD平分∠BAC，则△ABC是等腰三角形
C．若AD⊥BC，则△ABC是等腰三角形
D．若点D到AB和AC的距离相等，则AD⊥BC
6．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A等于（　　）
A．90°﹣α B．90°α C．180°α D．180°﹣2α
7．如图，已知∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，则∠BAP的度数是（　　）
A．120° B．130° C．135° D．150°
8．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，DE⊥BC于点E．若CE＝3，则AB的长为（　　）
A．12 B．9 C．8 D．6
9．如图，已知△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，AB的垂直平分线与AB、BC分别交于点E、D，AC的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，且点D在点F的左侧，则△ADF的周长是（　　）
A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm
10．如图，在四边形ABED中，点C在边AD上，连接BC，BD．已知△ABC≌△DBE，若DE＝3，AD＝10．记S1＝S△BCD，S2＝S△ABC+S△DBE，则S1和S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
11．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，AD为等边△ABC的高，AC＝BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为（　　）
A．75° B．90° C．95° D．105°
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠EAD＝　 　 ．
14．如图，在△ABC中BC＝13cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　 　 cm．
15．已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：2|a+b﹣c|﹣|﹣a+b+c|﹣|c﹣b﹣a|＝ 　 　 ．
16．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA′∥BC时，∠1＝ 　 　 度．
17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 　 　 cm/s．
18．如图，在等边△ABC中，E，D分别为边AB，AC上两动点，且AE＝CD，连接BD，CE交于点G，点F为线段BD上一动点，且∠EFG＝60°，在运动过程中，当CG＝2BF时，的值为 　 　 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分．）
19．（6分）已知点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b）．
（1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
（2）若点A，B关于y轴对称，求（4a+b）2022的值．
20．（8分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，AF平分∠DAC，作∠ACE的平分线交AF于点G．
（1）求证：AF∥BC；
（2）若∠AGC比∠B多30°，求∠B的度数．
21．（8分）如图，已知△ABC．
（1）请用尺规作图作出AC的垂直平分线，垂足为点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接CE，如果△ABC的周长为27，DC的长为5，求△BCE的周长．
22．（8分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．
（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；
（2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长．
23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AC、BC上一点，连接AE、BD交于点G．
（1）如图1，点F是AE上一点，连接CF，若∠BAC＝∠BGE＝∠EFC，求证：AG＝CF；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AE⊥BD于点G，CF⊥AC交AE延长线于点F，若∠ADB＝∠CDE，求证：AD＝DC．
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（2，3）．
（1）请在图中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1并求出它的面积；
（2）若点B2（﹣4，2）与点B关于某条直线成轴对称，请画出这条直线并写出C点关于这条直线的对称点C2的坐标；
（3）请在y轴上确定一点P，使△APB的周长最小．（不写作法，保留痕迹）
25．（10分）在△ABC中，AB＝17，BC＝15，点D为边CB的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线BA上运动，点Q在边AC上，设点P运动时间为t秒．（t＞0）
（1）用含t的代数式表示线段AP的长；
（2）当AC＝BC，点P在线段BA上．若△BPD和△AQP全等，求t的值；
（3）当∠CAB＝56°，△AQP为等腰三角形时，请直接写出∠APQ的度数．
26．（12分）【初步认识】
（1）如图①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．若∠A＝100°，则∠P＝　 　 ；如图②，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，则∠A与∠M的数量关系是　 　 ；
【继续探索】
（2）如图③，BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB．请探索∠A与∠N之间的数量关系；
【拓展应用】
（3）如图④，点P是△ABC两内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，延长BP、NC交于点M．在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出∠A的度数．
参考答案
一、选择题
1．C
【解答】解：A、1+1＝2，不能组成三角形，故A选项错误；
B、1+2＝3，不能组成三角形，故B选项错误；
C、1+2＞2，能组成三角形，故C选项正确；
D、1+2＜4，不能组成三角形，故D选项错误；
故选：C．
2．C
【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故A不符合题意；
B、钝角三角形，三条高线交于三角形的外部，故B不符合题意；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，故C符合题意；
D、能确定C正确，故D不符合题意．
故选：C．
3．B
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，故3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
⑤∵∠A＝∠B∠C，
∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
4．B
【解答】解：∵（b﹣2）2＝0，而，（b﹣2）2≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣2＝0，
∴a＝3，b＝2，
∴点M（3，2）关于x轴的对称点的坐标为：（3，﹣2），
故选：B．
5．A
【解答】解：A、∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
但AB与AC的关系不能确定，
∴△ABD和△ACD不一定全等，本选项说法错误，符合题意；
B、如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，
则△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB＝CE，∠BAD＝∠E，
∴AC＝CE，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，本选项说法正确，不符合题意；
C、∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，本选项说法正确，不符合题意；
D、∵点D到AB和AC的距离相等，
∴AD平分∠BAC，
由B选项可知：AB＝AC，
∴AD⊥BC，本选项说法正确，不符合题意；
故选：A．
6．D
【解答】解：α＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
＝180°（∠CBE+∠BCF）
＝180°（∠A+∠ACB+∠BCF）
＝180°（180°+∠A）
＝90°∠A．
则∠A＝180°﹣2α．
故选：D．
7．D
【解答】解：∵以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，
∴OP是∠MON的角平分线，
∵∠MON＝60°，
∴∠AOB＝∠AOD＝30°，
∵过点A作ON的平行线交OM于点B，
∴∠OAB＝∠AOD＝30°，
∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝120°，
∴∠BAP＝∠AOB+∠ABO＝30°+120°＝150°，
故选：D．
8．A
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝6，
∵点D是AC的中点，
∴AC＝2CD＝12，
∴AB＝AC＝12，
故选：A．
9．A
【解答】解：∵△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，
∴BC＝16cm，
∵DE，FG分别垂直平分AB，AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，
∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝16cm，
故选：A．
10．A
【解答】解：过点B作BH⊥AD，交AD于点H，如图：
∵△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE＝3，S△ABC＝S△DBE，
∴，
∵AC＝3，AD＝10，
∴CD＝AD﹣AC＝10﹣3＝7，
∴，
∴S1＞S2，
故选：A．
11．D
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
12．D
【解答】解：如图1，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，AC＝BC，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
在△AEC与△CFH中，
，
∴△AEC≌△CFH（SAS），
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故选：D．
二、填空题
13．10°．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝20°，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°．
故答案为：10°．
14．13
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝13cm．
即△PDE的周长是13cm．
故答案为：13．
15．2a﹣2c．
【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，b+c＞a，
∴a+b﹣c＞0，﹣a+b+c＞0，c﹣b﹣a＜0，
∴2|a+b﹣c|﹣|﹣a+b+c|﹣|c﹣b﹣a|
＝2（a+b﹣c）﹣（﹣a+b+c）﹣[﹣（c﹣b﹣a）]
＝2a+2b﹣2c+a﹣b﹣c+c﹣b﹣a
＝2a﹣2c．
故答案为：2a﹣2c．
16．70
【解答】解：如图所示：
由折叠可知：∠AED＝∠A′ED，
∵∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90，
∵EA'∥BC，
∴∠AEA′＝∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠A′ED＝45°，
∵EA'∥BC，∠B＝65°，
∴∠EFD＝∠B＝65°，
∵∠1+∠EFD+∠A′ED＝180°，
∴∠1＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
故答案为：70．
17．1或1.2
【解答】解：设点F的运动速度为x cm/s，则AE＝t cm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xt cm，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，
即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；
当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，
即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，
综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．
故答案为：1或1.2．
18．2．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠BCD＝60°，AC＝BC，
∵AE＝CD，
∴△AEC≌△CDB（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠CBD，
∵∠ACE+∠BCE＝60°，
∴∠EGF＝∠CBD+∠BCE＝∠ACE+∠BCE＝60°，
∵∠EFG＝60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF＝FG＝EG，
∵CE＝BD，
∴CG+EG＝BF+FG+DG，即CG＝BF+DG，
∵CG＝2BF，
∴2BF＝BF+DG，
∴BF＝DG，
取CG的中点N，连接DN，
∵CG＝2BF＝2DG，
∴GD＝GN，
∵∠EGF＝∠DGN＝60°，
∴△DGN是等边三角形，
∴DN＝GN＝CN，
∴∠NGD＝∠NDG，∠NCD＝∠NDC，
∵∠NFD+∠NDG+∠NCD+∠NDC＝180°，
∴∠CDG＝∠NDG+∠NDC＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠CBD＝∠BCE＝30°，
∴BG＝CG，
∴2，
故答案为：2．
三、解答题
19．解：（1）∵点A（2a﹣b，5+a），B（2b﹣1，﹣a+b），点A、B关于x轴对称，
∴2a﹣b＝2b﹣1，5+a＝﹣（﹣a+b），
解得，
∴a＝﹣8，b＝﹣5；
（2）∵点A、B关于y轴对称，
∴2a﹣b＝﹣（2b﹣1），5+a＝﹣a+b，
解得，（5分）
∴（4a+b）2022＝（﹣4+3）2022＝1．
20．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B，
∴，
由角平分线的定义可知，，
∴∠B＝∠DAF，
∴AF∥BC；
（2）解：∵AF∥BC，
∴∠AGC＝∠GCE，
∵GC平分∠ACE，
∴∠ACG＝∠GCE＝∠AGC，
设∠B的度数为x，则∠ACG＝∠GCE＝∠AGC＝x+30°，∠DAF＝∠GAC＝∠B＝x，
可得：x+x+30°+x+30°＝180°，
解得：x＝40°，
∴∠B＝40°．
21．解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，AD＝CD＝5，
∴AC＝10，
∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝27，
∴AB+BC＝27﹣10＝17，
∴△AEC的周长＝BE+EC+BC＝BE+AE+BC＝AB+BC＝17．
22．解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝65°，
∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°，
∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°，
∴，（3分）
∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°；
（2）∵F是AC中点，
∴AF＝FC，
∵△BCF与△BAF的周长差为3，
∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3
∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3，
∵AB＝9，
∴BC＝12或6．
23．（1）证明：∵∠BGE＝∠BAG+∠ABG，∠BAC＝∠BAG+∠CAF，
∵∠BAC＝∠BGE，
∴∠BAG+∠ABG＝∠BAG+∠CAF，
∴∠ABG＝∠CAF，
又∵∠EFC＝∠CAF+∠ACF，
∴∠BAG+∠CAF＝∠CAF+∠ACF，
∴∠BAG＝∠ACF，
在△ABG和△CAF中，
，
∴△ABG≌△CAF（ASA），
∴AG＝CF；
（2）证明：过点C作CF⊥AC交AE的延长线于点F，如图所示：
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵CF⊥AC，
∴∠DCE＝∠FCE＝45°，∠F+∠CAF＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠CAF+∠ADB＝90°，
∴∠F＝∠ADB，
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠F，
在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE（AAS），
∴DC＝FC，
∵∠BAC＝90°，CF⊥AC，
∴∠ACF＝∠BAD＝90°，
在△ACF和△BAD中，
，
∴△ACF≌△BAD（ASA），
∴AD＝FC，
∴AD＝DC．
24．解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，如图，△A1B1C1即为所求；
；
（2）在图中，若B2（﹣4，2）与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线x＝0，
即为y轴
此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为（﹣2，3）；
（3）如上图，点P即为所求．
25．解：（1）设点P运动时间为t秒，
∴BP＝2t，
当0＜t≤8.5时，AP＝17﹣2t；
当t＞8.5时，AP＝2t﹣17；
（2）∵AC＝BC，∴∠B＝∠A，
由题意得BP＝2t，AP＝17﹣2t，
当△BPD≌△APQ时，BP＝AP，BD＝AQ，
可得：2t＝17﹣2t，
解得：，
当△BPD≌△AQP时，BP＝AQ，BD＝AP，
可得：，
解得：，
综上所述，若△BPD和△CQP全等，则t的值为或；
（3）∵∠CAB＝56°，△AQP为等腰三角形时，
当AP＝AQ时，点P在点A左侧时，
，
当AP＝AQ，点P在点A右侧时，
，
当AP＝PQ时，
∠APQ＝180°﹣2∠CAB＝180°﹣2×56°＝68°，
当AQ＝PQ时，
∠APQ＝∠CAB＝56°
∠APQ的度数为28°或56°或62°或68°．
26．解：（1）如图①，由条件可知：
，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝80°，
∴；
如图②，由条件可知：
，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠DCM＝∠M+∠CBM，
∴2∠DCM＝∠A+2∠CBM＝2（∠M+∠CBM），整理得，∠A＝2∠M．
故答案为：140°，∠A＝2∠M．
（2）∵BN平分外角∠EBC，CN平分外角∠FCB，
∴，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠CBE+∠BCF＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+∠A，
∴，
∴；
（3）由题意知，∠NBM＝90°，，∠A＝2∠M，
∴当在△BMN中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，
①当∠NBM＝3∠M时，∠NBM＝3∠M，
∴∠M＝30°，
∴∠A＝2∠M＝60°；
②当∠NBM＝3∠N时，，
∴∠A＝120°；
③当∠M＝3∠N时，，
∴∠A＝135°；
④当∠N＝3∠M时，，
∴∠A＝45°．
综上所述，∠A的度数为60°或120°或135°或45°．