期中复习卷（1-3章）（含解析）八年级数学上册苏科版

2025-2026学年八年级数学上册期中复习卷（1-3章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．在，，，，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），3.1415926这些数中，无理数的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．在，，，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
5．如图，在中，．以为边在的外侧作两个等边三角形和，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，B，E，C，F四点在同一直线上，若，则的长是（ ）
A． B． C．3 D．5
7．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（）
A．3 B．3或6 C．6 D．6或12
8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52 B．48 C．72 D．76
9．如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．如图，中，，，于，于，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．设是的整数部分，是的小数部分，的值是 ．
12．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门 （填“已变形”或“没有变形”）．
13．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“完美实数”．若是“完美实数”，则的值为 ．
14．如图，在直角三角形中，，，．为边上一点，连接．将沿折叠，若点恰好落在线段的延长线上的点处，连接，则的长为 ．
15．已知：如图，在中，，，于点，且，则是 三角形．

16．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）（1）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根．
（2）一个正数x的平方根分别是和，求正数x．
18．（6分）如图，点，，在边长为的正方形组成的网格格点上，解答下列问题：
(1)线段的长为______，线段 的长为______；
(2)连接，判断的形状，并证明你的结论．
19．（8分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点．
(1)若，，，，请求出，，，的值．
(2)若，，求的值．
(3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论．
20．（8分）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：＝ ；＝ ．
（2）若，写出所有满足题意的x的整数值 ．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对200连续求根整数， 次之后结果为1．
（4）只需进行4次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ．
21．（10分）如图，，，，，垂足为F．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系．
22．（10分）在中，，在中，，平分交于点O，

(1)如图（1），求证：．
(2)如图（2），若E为上一点，且．求证：．
23．（12分）如图，在中， 在外部取一点，连接，且平分，
(1)如图，求证：；
(2)如图，当时，将沿翻折，点落在点处，连接，若，试探究线段与线段的数量关系，说明理由．
24．（12分）（24-25七年级下·上海·阶段练习）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．
(1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，3.1415926，是有限小数，属于有理数；
是循环小数，属于有理数；
无理数有，，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），共4个．
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度求出该三角形中最大的内角的度数即可判断A、B；若三角形的三边长满足较小的两边的长度的平方和等于最长边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断C、D．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
B、∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
C、∵，
∴可设，
∴，
∴是直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解．
【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合，
∴．
∵．
∴，
根据勾股定理可知，
解得．
∴的面积为．
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x的取值范围．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，x，5，
∴，
即，
故选B．
5．B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、三角形内角和及等腰三角形的性质是解题的关键．
由题意易得，，则有，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵、都是等边三角形，，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
利用全等三角形的性质可得，进而得到，再利用线段的和差关系计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，解得：．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．
根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形，
∵，，
∴当时，，解得；
②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得
是等边三角形，则，
∵，，
∴当时，，解得；
综上可得：当或6秒时，是等腰三角形，
故选B．
8．D
【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度，
然后利用外围周长即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∵，
∴ ，
∴风车的外围周长是；
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】本题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识．
由于，于，得，由，，得，而，即可根据“”证明，进一步即可得出结论．
【详解】解：∵于，于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握求一个数的算术平方根，确定其整数部分与小数部分是解题的关键，本题求出m，n的值是解题的关键．
先估算数的大小，然后可求得m、n的值，最后代入计算即可．
【详解】解：∵是的整数部分，是的小数部分，且，
∴，
∴．
故答案为：．
12．没有变形
【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解．
【详解】解： 和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，
，
，
则小红家的木门没有变形，
故答案为：没有变形．
13．或
【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据“完美实数”的定义得出或1，即可求出m的值．
【详解】解：若是“完美实数”，
则或1，
解得或，
故答案为：或．
14．
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由折叠的性质得到，再由勾股定理求出，从而得到，设，则，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∵在中，，
∴，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
15．等边
【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到，再证明可得到，进而证明为等边三角形．
【详解】解：∵中，，，于点，
∴，，
∵，，
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴为等边三角形．
故答案为：等边
16．8
【详解】如图，
AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．
故答案为8．
三、解答题
17．解：（1）∵的立方根是3，
∴，
解得，
又∵的算术平方根是4，
∴，
∵，
解得：，
∵c是的整数部分，而，
∴，
∴，
∴的平方根是；
（2）∵正数x的平方根分别是和，
∴，
解得：，
∴正数．
18．（1）解：由图可知，，，
故答案为：，；
（2）解：是直角三角形，
证明：由知，，，
，
，
是直角三角形．
19．（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，，，
，，，，
，，，；
（2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点，
，
，，
，，
；
（3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等．
20．解：（1）∵，，
，；
故答案为：
（2），，且，
，2，3；
故答案为：，2，3；
（3）第一次：，
第二次：，
第三次：，
∴对200连续求根整数，3次之后结果为1；
故答案为：3
（4）最大的正整数是，
理由是：∵，，，，，
∴，，，，
对只需进行4次操作后变为1，
只需进行4次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．
21．（1）证明：，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
，
，
，
；
（3）解：；理由如下：
延长到G，使得，连接，如图所示：
，
，
，
，
，，
，，
，
，
∴在和中，
，
，
，
，
．

22．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：过点作于点，

∵，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．（1）证明：如图，过作于，于，于，设与相交于点，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，，
∴，
即；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴是等边三角形，
∴， ，
∵，
∴，
在上截取，连接，作交于，连接，设与相交于点，
∵，
∴，
由折叠得，，，
∴，
∴，
由（）可知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．（1）解：、、的数量关系为：，理由如下：
如图1所示：
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论成立，证明如下：
如图2所示：
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示：
∵和都是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点．