人教版九年级数学上册试题 24.1.3《 弧、弦、圆心角》同步练习（含答案）

24.1.3《 弧、弦、圆心角》同步练习
一、单选题
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
2．如图，在⊙O中，，∠AOB＝50°，则∠COD的度数为（　　）
A．60° B．30° C．40° D．50°
3．如图，AB是⊙O的直径，的角度为70°，点C是的中点，则∠DOC＝（　　）
A．65° B．55° C．110° D．60°
4．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C．AC＝BD D．AD＝BD
5．如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠AOC＝50°，则∠BOD＝（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
6．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，AB⊥CD于点E，连接AD．若⊙O的半径为5，则弦AD的长为（　　）
A．5 B． C． D．10
7．如图所示，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　）
A．3 B．4 C． D．
8．如图，AB是⊙O的弦，连接OB，∠B＝50°，点C是优弧上一点，连接OC，AC．若2，则∠A的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
9．如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　）
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
10．如图，已知锐角∠AOB，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点G，H；（3）连接OG，GH．下列四个结论：①OG＝OD；②∠COG＝∠COD；③GH∥CD；④GH＝3CD．所有正确的结论是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
11．如图，已知AB是⊙O的直径，，∠BOC＝42°，那么弧AE度数等于 　 　 ．
12．如图，⊙O的半径为2，弦AB，E为弧AB的中点，OE交AB于点F，则OF的长为 　 　 ．
13．如图，在⊙O中，2且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为 　 　 ．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是　 　 ．
15．如图，在半径为4的⊙O中，∠AOD＝∠COD＝120°，点B为的中点，点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，则点O到AB的距离为　 　 ，线段EF＝　 　 ．
三、解答题
16．如图，在⊙O中，AB、CD是直径，CE∥AB且交圆于E，求证：．
17．如图，在⊙O中，，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．求证：OD＝OE．
18．如图为O为圆心，AB为直径的圆，且，2CB＝AB＝1．
（1）证明：E为CD中点；
（2）求OE的长度．
19．如图1，在⊙O中，直径AC垂直弦BD于点G，，连接AE交BD于点F．
（1）若AG＝1，AE＝4，求OG的长；
（2）连接OF，OE，如图2，若∠GOF＝20°，求∠COE的度数．
20．在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”．
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．如图①，在⊙O中OC⊥AB垂足为C，OC1⊥A1B1垂足为C1，OC和OC1都是弦心距．
实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图②，O是∠BPD的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B，C，D．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若角的顶点P在圆上或圆内，上述结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
参考答案
一、单选题
1．C
【解答】解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误；
故选：C．
2．D
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴∠AOB＝∠COD，
∵∠AOB＝50°，
∴∠COD＝50°．
故选：D．
3．B
【解答】解：∵70°，
∴∠AOD＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝110°，
∵点C是的中点，
∴，
∴∠DOC＝∠BOC∠DOB＝55°，
故选：B．
4．D
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴AC＝BD，
∵和无法确定相等，
∴无法判断AD＝BD，
故选：D．
5．C
【解答】解：∵AC＝CD，∠AOC＝50°，
∴∠COD＝∠AOC＝50°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：C．
6．B
【解答】解：如图所示，连接OA，OD，BD，BC，
由条件可知∠BED＝90°，∠DBC＝∠BDA，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABD＝∠CDB＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
∴，
故选：B．
7．C
【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
由垂径定理得AM＝BM＝DN＝CN＝4，
勾股定理得：，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴．
故选：C．
8．C
【解答】解：如图，连接OA，
∵OA＝OB，∠B＝50°，
∴∠B＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣∠B﹣∠OAB＝80°，
∵2，
∴∠AOC＝2∠AOB＝160°，
∴∠BOC＝360°﹣∠AOB﹣∠AOC＝120°，
∴∠BAC∠BOC＝60°，
故选：C．
9．B
【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．
∵2，，
∴，
∴AE＝EB＝CD，
∵AE+EB＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：B．
10．C
【解答】解：连接GC，DH，OH，
由作图得，GC＝CD＝DH，OG＝OH＝OC＝OD，①正确；
∴，
∴CG＝CD＝DH，∠COG＝∠COD，②正确；
作半径OM⊥CD交于M，则，
∴，
∴OM⊥GH，
∴CD∥GH，③正确；
∵GC＝CD＝DH，
∴GH≠3CD，④不正确．
故选：C．
二、填空题
11．54°．
【解答】解：∵，∠BOC＝42°，
∴∠BOE＝3∠BOC＝126°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝54°．
故答案为：54°．
12．1．
【解答】解：∵E为弧AB的中点，
∴OE⊥AB于F，
∵AB＝2，
∴AF＝BF，
在Rt△OAF中，OA＝2，，
故答案为：1．
13．5．
【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB．
∵OF⊥AB，AB＝8，
∴，AE＝BEAB8＝4，
∵2，
∴AB，
∴∠BOC＝∠BOF，
∴OB是∠COF的平分线，
∵BD⊥OC，
∴BD＝BE＝4，
设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，
∵CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2，
在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2，
∴42+（r﹣2）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
故答案为：5．
14．116°
【解答】解：∵△ABC中∠BAC＝52°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1+∠3（180°﹣∠A）（180°﹣52°）＝64°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠3）＝180°﹣64°＝116°．
故答案为：116°．
15．2，2．
【解答】解：连接OE、OF，过F点作FH⊥OE于H，如图，
∵∠AOD＝∠COD＝120°，点B为的中点，
∴∠AOB＝60°，∠BOD＝60°，
∴∠A＝∠ABO＝60°，∠ODC＝30°，
∵点E为弦AB的中点，点F为弦CD的中点，
∴OE⊥AB，OF⊥BD，
∴∠BOE＝30°，∠DOF＝60°，
∴∠EOF＝30°+60°+60°＝150°，
∴∠FOH＝30°，
在Rt△AOE中，
∵AEOA＝2，
∴OE2，
在Rt△ODF中，OFOD＝2，
在Rt△OFH中，
∵HFOF＝1，
∴OHHF，
∴EH＝OE+OH＝23，
在Rt△EFH中，EF．
故答案为：2，2．
三、解答题
16．证明：连接OE，
∵CE∥AB，
∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠E，
∴∠DOB＝∠BOE，
∴．
17．证明：∵，
∴AB＝AC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ADAB，AEAC，∠ODA＝∠OEA＝90°，
∴AD＝AE，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形AEOD是矩形，
∵AD＝AE，
∴四边形AEOD是正方形，
∴OD＝OE．
18．（1）证明：∵且，
∴CB＝BD，
∵OC＝OD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，
∴E为CD中点．
（2）∵2CB＝AB＝1，
∴CB，OBAB，
∴OB＝OC＝CB，
∴△BOC是等边三角形，
∵CD⊥AB，
∴CE是△BOC的中线，
∴OEOB．
19．解：（1）如图1，连接OB，
∵直径AC⊥弦BD，
∴，
∵，
∴，
∴AE＝BD＝4，
∴BG＝2．
设OG＝x，
∵AG＝1，
∴OA＝OB＝x+1．
在Rt△OBG中，
OG2+BG2＝OB2，
即x2+22＝（x+1）2，
解得，即．
（2）如图2，连接OB交AE于点H，
由（1）知AE＝BD，
∴OH＝OG．
∵AC⊥BD，OF＝OF，
∴Rt△OHF≌Rt△OGF，
∴∠GOF＝∠HOF＝20°，
∴∠AOH＝40°，
∴∠A＝50°，
∴∠COE＝2∠A＝100°．
20．（1）证明：如图1，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∵PO平分∠EPF，
∴OM＝ON，
∴AB＝CD；
（2）还成立，
证明：如图2，当P在⊙O上时，
过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∵PO平分∠EPF，
∴OM＝ON，
∴AB＝CD；
当P在⊙O内时，如图3，
过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∵PO平分∠EPF，
∴OM＝ON，
∴AB＝CD．