第5节 二次函数与一元二次方程、不等式
基础练
1.(2025·河北保定模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-10≥0},则 UA=( )
A.[-5,2] B.[-2,5]
C.(-5,2) D.(-2,5)
【答案】 D
【解析】 因为A={x|x2-3x-10≥0}={x|x≥5,或x≤-2}=(-∞,-2]∪[5,+∞),所以 UA=(-2,5).故
选D.
2.已知不等式x2+2ax+b<0的解集为{x|-2
A.-3 B.3 C.-2 D.2
【答案】 B
【解析】 因为不等式x2+2ax+b<0的解集为{x|-2由根与系数的关系可得所以所以ab=3.故选B.
3.不等式组的解集是( )
A.{x|-1C.{x|-1【答案】 C
【解析】 不等式组中不等式①的解集为{x|-14.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.{x|10≤x<16} B.{x|12≤x<18}
C.{x|15【答案】 C
【解析】 由题意得,[30-2(x-15)]x>400,即x2-30x+200<0,解得1015,所以155.(2025·福建厦门模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2+px+q<0},若A∩B=[-1,2),则以下结论错误的是( )
A.p>-1 B.p≤-1
C.q<-2 D.2p+q=-4
【答案】 B
【解析】 由x2-2x-3≤0,解得-1≤x≤3,所以A={x|-1≤x≤3},因为A∩B=[-1,2),B={x|x2+px+q<0},所以方程x2+px+q=0有两个实数根x1,x2(x1-1,故A正确,B错误;q=x1x2<-2,故C正确.故选B.
6.(多选题)下列选项中,正确的是( )
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
【答案】 ABD
【解析】 A选项,x2+x-2>0 (x-1)(x+2)>0解得x<-2或x>1,A正确;
B选项,≤1 -1≤0 ≤0 -3≤x<2,B正确;
C选项,|x-2|≥1 x-2≥1或x-2≤-1,即x≥3或x≤1,C错误;
D选项,|x-1|<1 -1而{x|07.(2025·河南信阳模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-x-2<0},B={x|(x+1)(5-x)>0},则( UA)∩B= .(结果用区间表示)
【答案】 [2,5)
【解析】 因为A={x|x2-x-2<0}={x|-1又因为B={x|(x+1)(5-x)>0}={x|-18.若二次函数y=x2-ax+1的图象恒在直线y=2x-2的上方,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-2-2,-2+2)
【解析】 因为二次函数y=x2-ax+1的图象恒在直线y=2x-2的上方,所以x2-ax+1-(2x-2)>0,
即x2-(a+2)x+3>0在R上恒成立,所以Δ<0,即(a+2)2-12<0,解得a∈(-2-2,-2+2).
9.(2025·湖南长沙模拟)已知集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|x2-ax<0,x∈Z},若集合M∩N恰有两个元素,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (2,+∞)
【解析】 因为M={x|x2-2x-3<0}={x|-12,即实数a的取值范围是(2,+∞).
10.已知函数f(x)=mx2+4mx+3.
(1)若m=1,求f(x)≤0的解集;
(2)若方程f(x)=0有两个实数根x1,x2,且+-3x1x2>0,求m的取值范围.
【解】 (1)当m=1时,原不等式等价于x2+4x+3≤0,解得-3≤x≤-1,所以f(x)≤0的解集为[-3,-1].
(2)f(x)=0有两个实数根,所以m≠0,Δ=16m2-12m≥0,解得m≥或m<0,x1+x2=-4,x1x2=,
因为+-3x1x2>0,所以(x1+x2)2-5x1x2>0,即16->0,解得m>或m<0.
综上可得,m的取值范围为(-∞,0)∪(,+∞).
强化练
11.已知关于x的不等式a>x+6的解集为(b,9),则a+b的值为( )
A.4 B.5 C.7 D.9
【答案】 D
【解析】 由a>x+6得x-a+6<0,依题意上述不等式的解集为(b,9),故解得a=5,b=4(b=9舍去),故a+b=9.故选D.
12.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-63[x]+45<0成立的x的取值范围是( )
A.[1,15) B.[2,8]
C.[2,8) D.[2,15)
【答案】 A
【解析】 不等式4[x]2-63[x]+45<0,即为(4[x]-3)([x]-15)<0,解得<[x]<15,则[x]∈{1,2,3,…,14},因此1≤x<15.故选A.
13.设f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).若不等式f(x)>0的解集为,则实数m的取值范围是
;若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是 .
【答案】 (-∞,-] (,+∞)
【解析】 不等式f(x)>0的解集为,即f(x)≤0对一切实数x恒成立,
所以m+1<0,且Δ=m2-4(m+1)(m-1)≤0,
所以m≤-.
若f(x)>0的解集为R,则m+1>0,
且Δ=m2-4(m+1)(m-1)<0,所以m>.
14.已知函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个:
①y<0的解集为(-1,3);②a=-1;③y的最小值为-4.
(1)请写出这两个条件的序号,并求函数y的解析式;
(2)求关于x的不等式y≥(m-2)x+2m2-3(m∈R)的解集.
【解】 (1)若选①②,由a=-1知函数图象开口向下,此时y<0的解集不可能为(-1,3),故不符合题意;
若选①③,因为函数y<0的解集为(-1,3),所以-1,3是方程ax2+bx+c=0的根,所以函数图象的对称轴为直线x=1,
由y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,则b=-2a,c=-3a,又因为y的最小值为-4,
所以当x=1时,y=-4a=-4,解得a=1,所以b=-2,c=-3,则y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3;
若选②③,由a=-1知函数图象开口向下,则y无最小值,不符合题意.
综上,应选①③,且y=x2-2x-3.
(2)由y≥(m-2)x+2m2-3(m∈R),化简得x2-mx-2m2≥0,即(x+m)(x-2m)≥0,
若m<0,则不等式的解集为{x|x≤2m,或x≥-m};
若m=0,则不等式的解集为R;
若m>0,则不等式的解集为{x|x≤-m,或x≥2m}.
综上,当m<0时,不等式的解集为{x|x≤2m,或x≥-m};当m=0时,不等式的解集为R;当m>0时,不等式的解集为{x|x≤-m,或x≥2m}.
15.设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若关于x的不等式f(x)≥-2有实数解,求实数a的取值范围;
(2)若不等式f(x)≥-2对于实数a∈[-1,1]恒成立,求实数x的取值范围;
(3)解关于x的不等式f(x)【解】 (1)依题意,f(x)≥-2有实数解,即不等式ax2+(1-a)x+a≥0有实数解,
当a=0时,x≥0有实数解,符合题意;
当a>0时,取x=0,则ax2+(1-a)x+a=a>0成立,即ax2+(1-a)x+a≥0有实数解,符合题意;
当a<0时,二次函数y=ax2+(1-a)x+a的图象开口向下,要使y≥0有解,
则Δ=(1-a)2-4a2≥0 -1≤a≤,从而得-1≤a<0.
综上,a≥-1,所以实数a的取值范围是[-1,+∞).
(2)不等式f(x)≥-2对于实数a∈[-1,1]恒成立,即 a∈[-1,1],(x2-x+1)a+x≥0,显然x2-x+1>0,
所以函数g(a)=(x2-x+1)a+x在a∈[-1,1]上单调递增,则有g(-1)≥0,即-x2+2x-1≥0,解得x=1,
所以实数x的取值范围是{1}.
(3)不等式f(x)当a=0时,不等式x-1<0,解得x<1;
当a>0时,不等式可化为(x+)(x-1)<0,又-<0,解得-当a<0时,不等式可化为(x+)(x-1)>0,当-=1,即a=-1时,解得x≠1,当-<1,即a<-1时,解得x<-或x>1,当->1,即-1-.
综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-∞,1);当a>0时,原不等式的解集为(-,1);当-1≤a<0时,原不等式的解集为(-∞,1)∪(-,+∞);当a<-1时,原不等式的解集为(-∞,-)∪(1,+∞).第5节 二次函数与一元二次方程、不等式
基础练
1.(2025·河北保定模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-10≥0},则 UA=( )
A.[-5,2] B.[-2,5]
C.(-5,2) D.(-2,5)
2.已知不等式x2+2ax+b<0的解集为{x|-2A.-3 B.3 C.-2 D.2
3.不等式组的解集是( )
A.{x|-1C.{x|-14.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.现决定提价销售,为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入,则这批台灯的销售单价x(单位:元)的取值范围是( )
A.{x|10≤x<16} B.{x|12≤x<18}
C.{x|155.(2025·福建厦门模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2+px+q<0},若A∩B=[-1,2),则以下结论错误的是( )
A.p>-1 B.p≤-1
C.q<-2 D.2p+q=-4
6.(多选题)下列选项中,正确的是( )
A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2,或x>1}
B.不等式≤1的解集为{x|-3≤x<2}
C.不等式|x-2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D.设x∈R,则“|x-1|<1”是“<0”的充分不必要条件
7.(2025·河南信阳模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-x-2<0},B={x|(x+1)(5-x)>0},则( UA)∩B= .(结果用区间表示)
8.若二次函数y=x2-ax+1的图象恒在直线y=2x-2的上方,则实数a的取值范围是 .
9.(2025·湖南长沙模拟)已知集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|x2-ax<0,x∈Z},若集合M∩N恰有两个元素,则实数a的取值范围是 .
10.已知函数f(x)=mx2+4mx+3.
(1)若m=1,求f(x)≤0的解集;
(2)若方程f(x)=0有两个实数根x1,x2,且+-3x1x2>0,求m的取值范围.
强化练
11.已知关于x的不等式a>x+6的解集为(b,9),则a+b的值为( )
A.4 B.5 C.7 D.9
12.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么不等式4[x]2-63[x]+45<0成立的x的取值范围是( )
A.[1,15) B.[2,8]
C.[2,8) D.[2,15)
13.设f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).若不等式f(x)>0的解集为,则实数m的取值范围是
;若不等式f(x)>0对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围是 .
14.已知函数y=ax2+bx+c(a,b,c∈R)只能同时满足下列三个条件中的两个:
①y<0的解集为(-1,3);②a=-1;③y的最小值为-4.
(1)请写出这两个条件的序号,并求函数y的解析式;
(2)求关于x的不等式y≥(m-2)x+2m2-3(m∈R)的解集.
15.设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2.
(1)若关于x的不等式f(x)≥-2有实数解,求实数a的取值范围;
(2)若不等式f(x)≥-2对于实数a∈[-1,1]恒成立,求实数x的取值范围;
(3)解关于x的不等式f(x)