第4节 基本不等式
基础练
1.(2025·甘肃定西模拟)x2++的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 B
【解析】 由题意知x≠0,所以x2>0,>0,所以x2++≥2+=3,当且仅当x2=,即x2=时,等号成立.故选B.
2.若a>0,b>0,m>0,且a+mb=1,ab的最大值为,则m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 amb≤()2=,当且仅当a=mb=时,等号成立,结合已知得m=,故m=2.故选B.
3.已知正数x,y满足x2+2xy-1=0,则3x2+4y2的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.4
【答案】 B
【解析】 因为x2+2xy-1=0,且x是正数,所以y=,
将y的表达式代入3x2+4y2并化简得到3x2+4y2=3x2+4()2=3x2+=4x2+-2,由基本不等式得4x2+≥2=4,当且仅当4x2=,即x=时,等号成立,所以4x2+-2≥
4-2=2.故选B.
4.(2025·山西临汾模拟)若0A.1 B.4
C.2+2 D.3+2
【答案】 D
【解析】 因为00,则+=(+)[x+(1-x)]=3++≥3+2=3+
2,当且仅当=,即x=-1时,等号成立.故选D.
5.已知实数x,y满足x+y-xy=0,且xy>0,若不等式4x+9y-t≥0恒成立,则实数t的最大值为( )
A.9 B.12 C.16 D.25
【答案】 D
【解析】 因为x+y-xy=0,所以+=1,所以4x+9y=(4x+9y)(+)=13++≥13+2=25,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立.因为不等式4x+9y-t≥0恒成立,只需(4x+9y)min≥t,因此t≤25,故实数t的最大值为25.故选D.
6.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( )
A.y=x2+2x+4
B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x
D.y=ln x+
【答案】 C
【解析】 y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以函数的最小值为3,故选项A错误;
因为0<|sin x|≤1,
所以y=|sin x|+≥2=4,
当且仅当|sin x|=,即|sin x|=2时取等号,因为0<|sin x|≤1,所以等号取不到,
所以y=|sin x|+>4,故选项B错误;
因为2x>0,所以y=2x+22-x=2x+≥2=4,当且仅当2x=2,即x=1时取等号,所以函数的最小值为4,故选项C正确;
对于D,y=ln x+,函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),而ln x∈R且ln x≠0,如当ln x=-1时,y=-5,故选项D错误.故选C.
7.若正实数a,b满足+=+1,则ab的最小值为 .
【答案】 1
【解析】 因为+≥2,当且仅当a=b时,等号成立,所以+1≥2,则()2+-2≥0,解得≥1或≤-2(舍去),所以ab≥1.所以ab的最小值为1.
8.函数y=(x>-1)的最小值为 .
【答案】 0
【解析】 因为y==x-1+=x+1+-2(x>-1),
所以y≥2-2=0,当且仅当x=0时,等号成立.所以y=(x>-1)的最小值为0.
9.如图,某人沿围墙CD修建一个直角梯形花坛ABCD,设直角边AD=x m,BC=2x m,若AD+AB+BC=12 m,则当x= 时,直角梯形花坛ABCD的面积最大.
【答案】 2
【解析】 由题意,AB=(12-3x)m,则直角梯形花坛ABCD的面积S==×
3x(12-3x)≤×=18(m2),当且仅当3x=12-3x,即x=2时,等号成立,所以当x=2时,直角梯形花坛ABCD的面积最大.
10.已知实数a>0,b>0,满足a+b=4.
(1)求证:a2+b2≥24;
(2)求的最小值.
(1)【证明】 由a+b=4,得48=(a+b)2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2(a2+b2),当且仅当a=b=2时,等号成立,所以a2+b2≥24.
(2)【解】 由a>0,b>0,得ab>0,则====
ab+-2≥2-2=12,当且仅当即a和b一个为2+,一个为2-时,等号成立.所以的最小值为12.
强化练
11.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买100 g黄金,售货员先将50 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将50 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金( )
A.小于100 g
B.等于100 g
C.大于100 g
D.与左右臂的长度有关
【答案】 C
【解析】 设天平左、右两边的臂长分别为x,y,设售货员第一次称得黄金的质量为a g,第二次称得黄金的质量为b g,则解得则顾客购得的黄金为a+b=+
≥2=100(当且仅当x=y时,等号成立),由题意知,x≠y,则a+b>100.故选C.
12.(多选题)(2025·湖南衡阳模拟)已知正数x,y满足x+2y=1,则下列说法正确的是( )
A.xy的最大值为
B.x2+4y2的最小值为
C.+的最大值为2
D.+的最小值为7+2
【答案】 ABD
【解析】 对于A,因为x>0,y>0,x+2y=1,所以x·2y≤()2=()2=,所以xy≤,当且仅当即x=,y=时,等号成立,所以A正确;
对于B,由基本不等式得≥=,当且仅当即x=,y=时,等号成立,所以x2+4y2≥,所以B正确;
对于C,(+)2=x+2y+2=1+2≤1+x+2y=1+1=2,当且仅当即x=,y=时,等号成立,所以+≤,所以C错误;
对于D,+=(+)(x+2y)=1+++6=7++≥7+2=7+2,当且仅当即x=,y=时,等号成立,所以D正确.故选ABD.
13.若两个正实数x,y满足4x+y=xy且存在这样的x,y使不等式x+【答案】 (-∞,-4)∪(1,+∞)
【解析】 由4x+y=xy +=1知(x+)(+)=1+++1≥2+2=4,
当且仅当x=2,y=8时,等号成立,则使不等式x+4即可,解得m∈(-∞,-4)∪(1,+∞).
14.已知a,b,c均为正数.
(1)若abc=1,求证:a+b+c≤++;
(2)若a+b+c=9,求证:++≥1.
【证明】 (1)由条件abc=1得+≥=2c,
当且仅当a=b时等号成立,
+≥=2a,当且仅当b=c时等号成立,
+≥=2b,当且仅当c=a时等号成立,
以上三个不等式相加可得2(++)≥2(a+b+c),
当且仅当a=b=c时等号成立,
因此a+b+c≤++.
(2)(a+b+c)(++)=3+(+)+(+)+(+),因为a,b,c均为正数,
所以(a+b+c)(++)≥3+2+2+2=3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=3时取等号,
所以++≥1.
15.已知快递公司要从A地往B地送货,A,B两地的距离为100 km,按交通法规,A,B两地之间的公路车速x(单位:km/h)应限制在60～100(含端点),假设汽车的油耗为(42+)元/时,司机的工资为70元/时(设汽车为匀速行驶),若燃油费用与司机工资都由快递公司承担.
(1)试建立行车总费用y(单位:元)关于车速x(单位:km/h)的函数关系式;
(2)若不考虑其他费用,以多少车速行驶,快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为
多少
【解】 (1)由车速为x km/h,得时间为 h,
依题意可得y=(42++70)=+,x∈[60,100].
(2)y=+≥2=280,
当且仅当=,即x=80时取等号,
所以以80 km/h的车速行驶,快递公司所要支付的总费用最少,最少费用为280元.第4节 基本不等式
基础练
1.(2025·甘肃定西模拟)x2++的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若a>0,b>0,m>0,且a+mb=1,ab的最大值为,则m=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知正数x,y满足x2+2xy-1=0,则3x2+4y2的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.4
4.(2025·山西临汾模拟)若0A.1 B.4
C.2+2 D.3+2
5.已知实数x,y满足x+y-xy=0,且xy>0,若不等式4x+9y-t≥0恒成立,则实数t的最大值为( )
A.9 B.12 C.16 D.25
6.(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是( )
A.y=x2+2x+4
B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x
D.y=ln x+
7.若正实数a,b满足+=+1,则ab的最小值为 .
8.函数y=(x>-1)的最小值为 .
9.如图,某人沿围墙CD修建一个直角梯形花坛ABCD,设直角边AD=x m,BC=2x m,若AD+AB+BC=12 m,则当x= 时,直角梯形花坛ABCD的面积最大.
10.已知实数a>0,b>0,满足a+b=4.
(1)求证:a2+b2≥24;
(2)求的最小值.
强化练
11.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买100 g黄金,售货员先将50 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将50 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金( )
A.小于100 g
B.等于100 g
C.大于100 g
D.与左右臂的长度有关
12.(多选题)(2025·湖南衡阳模拟)已知正数x,y满足x+2y=1,则下列说法正确的是( )
A.xy的最大值为
B.x2+4y2的最小值为
C.+的最大值为2
D.+的最小值为7+2
13.若两个正实数x,y满足4x+y=xy且存在这样的x,y使不等式x+14.已知a,b,c均为正数.
(1)若abc=1,求证:a+b+c≤++;
(2)若a+b+c=9,求证:++≥1.
15.已知快递公司要从A地往B地送货,A,B两地的距离为100 km,按交通法规,A,B两地之间的公路车速x(单位:km/h)应限制在60～100(含端点),假设汽车的油耗为(42+)元/时,司机的工资为70元/时(设汽车为匀速行驶),若燃油费用与司机工资都由快递公司承担.
(1)试建立行车总费用y(单位:元)关于车速x(单位:km/h)的函数关系式;
(2)若不考虑其他费用,以多少车速行驶,快递公司所要支付的总费用最少 最少费用为
多少
