第1节 集 合
基础练
1.(2025·贵州贵阳模拟)已知集合A={x∈Z|0≤x≤4},B={0,1,2,3,4,5},则( )
A.A B B.A=B
C.A∈B D.B A
2.(2025·浙江宁波模拟)若集合 A={x|2≤x<4},B={x|x-1≥8-2x} ,则 A∪B=( )
A.[2,4) B.[3,4)
C.[2,+∞) D.[3,+∞)
3.(2025·江苏宿迁模拟)已知集合A={x|0≤x≤4,x∈N},B={x|x=3k-1,k∈Z},则A∩B=( )
A.{0,2} B.{2,4} C.{2} D.{1,3}
4.已知集合A={x|-1A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-2,-1]∪[1,2)
5.(2025·辽宁沈阳模拟)下列四个命题中正确的个数是( )
①{0}是空集;②若a∈N,则-a N;③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素;④集合{x∈Q}里的元素个数是有限的.
A.1 B.2 C.3 D.0
6.(2025·安徽芜湖模拟)已知集合A={x|-5≤x≤1},B={x|x>-2},则图中所示的阴影部分的集合可以表示为( )
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|-2C.{x|-5≤x≤-2} D.{x|-5≤x<-2}
7.(多选题)已知集合A={1,2},B={0,1,2,3,4},集合C满足AC B,则( )
A.1∈C,2∈C
B.集合C可以为{1,2}
C.集合C的个数为7
D.集合C的个数为8
8.(2025·山东菏泽模拟)已知A={3,5},B={,},集合C={x|x=ab,a∈A,b∈B},则集合C中所有元素之和为 .
9.已知集合A={(x,y)|y=x2-2x-1},B={(x,y)|y=3x+1},则集合A∩B的元素个数是 .
10.学校运动会上某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中,参加田赛的有16人,参加径赛的有23人,则田赛和径赛都参加的学生人数为 .
强化练
11.(2025·河南开封模拟)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为( )
A.5 B.1 C.-5 D.-1
12.(2025·广东深圳模拟)定义两集合M,N的“差集”:M-N={x|x∈M,且x N}.已知集合A=
{2,3,5},B={3,5,8},则A-(A-B)的子集个数是( )
A.2 B.4 C.8 D.16
13.已知全集为U且P,Q为U的子集,P∩( UQ)=P,则Q∩( UP)等于( )
A. B.P C.Q D.U
14.某班45名学生参加植树节活动,每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”“合格”两个等级,结果如下表:
项目 优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人,则在两个项目中都“优秀”的人数最多为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
15.设集合A={1,n,5},B={x|x2-4x+m=0}.若{1} (A∩B)且B A,则m+n= .
16.设集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0}.若 UB UA,则实数a的取值集合是 ;若B A,则实数a的取值范围是 .
17.对于两个正整数m,n,定义某种运算“☉”如下,当m,n都为正偶数或正奇数时,m☉n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m☉n=mn,则在此定义下,集合M={(p,q)|p☉q=
10,p∈N*,q∈N*}中元素的个数是 .
18.若一个集合是另一个集合的子集,则称这两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素但不互为对方的子集,则称两个集合构成“偏食”.已知集合A={x|{x|x2-x-2<0},若集合A,B构成“偏食”,则实数t的取值范围为 . 第1节 集 合
基础练
1.(2025·贵州贵阳模拟)已知集合A={x∈Z|0≤x≤4},B={0,1,2,3,4,5},则( )
A.A B B.A=B
C.A∈B D.B A
【答案】 A
【解析】 由题意可得A={0,1,2,3,4},所以A B.故选A.
2.(2025·浙江宁波模拟)若集合 A={x|2≤x<4},B={x|x-1≥8-2x} ,则 A∪B=( )
A.[2,4) B.[3,4)
C.[2,+∞) D.[3,+∞)
【答案】 C
【解析】 由x-1≥8-2x,解得x≥3,即B={x|x≥3},因为A={x|2≤x<4},所以A∪B={x|x≥2}.故
选C.
3.(2025·江苏宿迁模拟)已知集合A={x|0≤x≤4,x∈N},B={x|x=3k-1,k∈Z},则A∩B=( )
A.{0,2} B.{2,4} C.{2} D.{1,3}
【答案】 C
【解析】 由题意得A={0,1,2,3,4},B={x|x是被3整除余数为2的整数},所以A∩B={2}.故选C.
4.已知集合A={x|-1A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-2,-1]∪[1,2)
【答案】 D
【解析】 由题意,A∩B=(-1,1),A∪B=(-2,2),所以 A∪B(A∩B)=(-2,-1]∪[1,2).故选D.
5.(2025·辽宁沈阳模拟)下列四个命题中正确的个数是( )
①{0}是空集;②若a∈N,则-a N;③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素;④集合{x∈Q}里的元素个数是有限的.
A.1 B.2 C.3 D.0
【答案】 D
【解析】 对于①,空集中无任何元素,{0}不是空集,故①错误;对于②,若a∈N,当a=0时,-a∈N,故②错误;对于③,集合{x∈R|x2-2x+1=0}={1},只有一个元素,故③错误;对于④,集合{x∈Q}里的元素个数是无限的,故④错误.综上,正确的命题有0个.故选D.
6.(2025·安徽芜湖模拟)已知集合A={x|-5≤x≤1},B={x|x>-2},则图中所示的阴影部分的集合可以表示为( )
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|-2C.{x|-5≤x≤-2} D.{x|-5≤x<-2}
【答案】 C
【解析】 由题图可知,阴影部分表示的集合由集合A中的元素去掉集合A∩B的元素构成,而A={x|-5≤x≤1},B={x|x>-2},则A∩B={x|-27.(多选题)已知集合A={1,2},B={0,1,2,3,4},集合C满足AC B,则( )
A.1∈C,2∈C
B.集合C可以为{1,2}
C.集合C的个数为7
D.集合C的个数为8
【答案】 AC
【解析】 由题意得A={1,2},B={0,1,2,3,4},又A C B,所以1∈C,2∈C,故A正确;当C={1,2}时,不满足A C,故B错误;集合C的个数等价于集合{0,3,4}的非空子集的个数,所以集合C的个数为23-1=7,故C正确,D错误.故选AC.
8.(2025·山东菏泽模拟)已知A={3,5},B={,},集合C={x|x=ab,a∈A,b∈B},则集合C中所有元素之和为 .
【答案】 5
【解析】 由题意,得C={,,,},则集合C中所有元素之和为+++=5.
9.已知集合A={(x,y)|y=x2-2x-1},B={(x,y)|y=3x+1},则集合A∩B的元素个数是 .
【答案】 2
【解析】 联立可得x2-5x-2=0,则Δ=25+8=33>0,得原方程组有两组解,即A∩B中有2个元素.
10.学校运动会上某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中,参加田赛的有16人,参加径赛的有23人,则田赛和径赛都参加的学生人数为 .
【答案】 8
【解析】 设田赛和径赛都参加的学生人数为x,
因为62名学生中有一半的学生没有参加比赛,所以参加比赛的学生有31人,
由图可知16-x+x+23-x=31 x=8,故田赛和径赛都参加的学生人数为8.
强化练
11.(2025·河南开封模拟)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为( )
A.5 B.1 C.-5 D.-1
【答案】 A
【解析】 由A∩B=A,得A B,由|x-3|≤m,得-m+3≤x≤m+3,故有即解得m≥5,故m的最小值为5.故选A.
12.(2025·广东深圳模拟)定义两集合M,N的“差集”:M-N={x|x∈M,且x N}.已知集合A=
{2,3,5},B={3,5,8},则A-(A-B)的子集个数是( )
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】 B
【解析】 因为A={2,3,5},B={3,5,8},所以A-B={2},所以A-(A-B)={3,5},有两个元素,
则A-(A-B)的子集有22=4(个).故选B.
13.已知全集为U且P,Q为U的子集,P∩( UQ)=P,则Q∩( UP)等于( )
A. B.P C.Q D.U
【答案】 C
【解析】由题意可知全集为U,
P,Q为U的子集,
且P∩( UQ)=P,
如图所示,可得Q∩ UP=Q.故选C.
14.某班45名学生参加植树节活动,每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”“合格”两个等级,结果如下表:
项目 优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人,则在两个项目中都“优秀”的人数最多为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
【答案】 C
【解析】用集合A表示除草优秀的学生,集合B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则 UA表示除草合格的学生, UB表示植树合格的学生,设两个项目都优秀的人数为x,两个项目都合格的人数为y,作出Venn图,如图.
由图可得20-x+x+30-x+y=45,化简得x=y+5,因为ymax=10,所以xmax=10+5=15.故选C.
15.设集合A={1,n,5},B={x|x2-4x+m=0}.若{1} (A∩B)且B A,则m+n= .
【答案】 6
【解析】 因为集合A={1,n,5},B={x|x2-4x+m=0},若{1} (A∩B),则1∈A且1∈B,可得1-4+m=0,解得m=3,即有B={x|x2-4x+3=0}={1,3},又B A,所以n=3,所以m+n=6.
16.设集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0}.若 UB UA,则实数a的取值集合是 ;若B A,则实数a的取值范围是 .
【答案】 {-6} {-6}∪(,+∞)
【解析】 A={-3,2}.由 UB UA可知A B,因此{-3,2} B,则方程x2+x+a=0的两个根是-3,2,因此a=-6.
对于x2+x+a=0,结合B A可知
(1)当Δ=1-4a<0,即a>时,B=,B A成立;
(2)当Δ=1-4a=0,即a=时,B={-},B A不成立;
(3)当Δ=1-4a>0,即a<时,若B A成立,则B={-3,2},所以a=-3×2=-6.
综上,a的取值范围为{-6}∪(,+∞).
17.对于两个正整数m,n,定义某种运算“☉”如下,当m,n都为正偶数或正奇数时,m☉n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m☉n=mn,则在此定义下,集合M={(p,q)|p☉q=
10,p∈N*,q∈N*}中元素的个数是 .
【答案】 13
【解析】 因为当m,n都为正偶数或正奇数时,
m☉n=m+n;
当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,
m☉n=mn,
所以集合M={(p,q)|p☉q=10,p∈N*,q∈N*}={(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),
(9,1),(1,10),(2,5),(5,2),(10,1)}共13个元素.
18.若一个集合是另一个集合的子集,则称这两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素但不互为对方的子集,则称两个集合构成“偏食”.已知集合A={x|{x|x2-x-2<0},若集合A,B构成“偏食”,则实数t的取值范围为 .
【答案】 (1,2)
【解析】 集合A={x|0},集合B={x|x2-x-2<0}={x|-1所以或
解得1
