第4节 复 数
基础练
1.(2024·全国甲卷)设z=i,则z·等于( )
A.-2 B. C.- D.2
2.(2025·湖南衡阳模拟)若复数z=,则的虚部为( )
A.-2i B.2i C.2 D.-2
3.(2025·江苏常州模拟)在复平面内,复数z=-+i对应的向量为 ,复数z+1对应的向量为,那么向量对应的复数是( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
4.(2025·四川巴中模拟)复数z1=a+2i,z2=-4+bi,a,b∈R,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=( )
A.6 B.-6 C.2 D.-2
5.若复数z满足z+2=3+i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.(2025·江苏苏州模拟)已知i是虚数单位,5+7i=(1+i)z,则|z+1|=( )
A.5 B. C.6 D.50
7.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,若zz2=z1,则z的共轭复数等于( )
A.+i
B.-i
C.-+i
D.--i
8.已知复数z满足(z+2)i=2z-1,则复数= .
9.已知复数(1+i)(2+mi)在复平面内对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围为 .
10.已知复数z满足|z-1+2i|=,|z-3+4i|=,那么z= .
强化练
11.若复数z满足|z|=|z|+||z,则z的一个可能取值是( )
A.-1+i B.1+i
C.-3+4i D.3+4i
12.(多选题)(2025·福建泉州模拟)已知复数z1,z2是关于x的方程x2-x+2=0的两个根,则( )
A.=z2
B.z1z2=1
C.z1z2=|z1|2
D.在复平面内对应的点位于第四象限
13.(2025·山东烟台模拟)若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则|z|的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
14.已知z为虚数,其实部为1,且z+=2-mi(其中i为虚数单位),则实数m的值为 .
15.(2025·湖北荆州模拟)棣莫弗定理:若n为正整数,则[r(cos θ+isin θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)],其中i为虚数单位,已知复数z=·(sin+icos), 则|z104|= ,的实部为 . 第4节 复 数
基础练
1.(2024·全国甲卷)设z=i,则z·等于( )
A.-2 B. C.- D.2
【答案】 D
【解析】 依题意得,=-i,故z·=-2i2=2.故选D.
2.(2025·湖南衡阳模拟)若复数z=,则的虚部为( )
A.-2i B.2i C.2 D.-2
【答案】 D
【解析】 ====1-2i,所以的虚部为-2.故选D.
3.(2025·江苏常州模拟)在复平面内,复数z=-+i对应的向量为 ,复数z+1对应的向量为,那么向量对应的复数是( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
【答案】 A
【解析】 由题意得A(-,),B(,),=(1,0),则对应的复数是1.故选A.
4.(2025·四川巴中模拟)复数z1=a+2i,z2=-4+bi,a,b∈R,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=( )
A.6 B.-6 C.2 D.-2
【答案】 B
【解析】 因为z1=a+2i,z2=-4+bi,所以z1+z2=a+2i-4+bi=(a-4)+(2+b)i为实数,
则2+b=0,即b=-2,z1-z2=a+2i-(-4+bi)=(a+4)+(2-b)i为纯虚数,
则a+4=0,2-b≠0,即a=-4,b≠2,所以a+b=-2-4=-6.故选B.
5.若复数z满足z+2=3+i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 D
【解析】 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,则a+bi+2(a-bi)=3+i,即3a-bi=3+i,
所以3a=3,-b=1,解得a=1,b=-1,故z=1-i,其在复平面内对应的点(1,-1)位于第四象限.
故选D.
6.(2025·江苏苏州模拟)已知i是虚数单位,5+7i=(1+i)z,则|z+1|=( )
A.5 B. C.6 D.50
【答案】 A
【解析】 法一 由5+7i=(1+i)z可知z====6+i,所以z+1=7+i,则|z+1|==5.故选A.
法二 由5+7i=(1+i)z可知6+8i=(1+i)z+(1+i)=(1+i)(z+1),故|6+8i|=|1+i||z+1|,
所以|z+1|==5.故选A.
7.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,若zz2=z1,则z的共轭复数等于( )
A.+i
B.-i
C.-+i
D.--i
【答案】 A
【解析】 由题意知z1=1+2i,z2=-1+i,故z(-1+i)=1+2i,即z====-i,=+i.
故选A.
8.已知复数z满足(z+2)i=2z-1,则复数= .
【答案】 -i
【解析】 由题意,得1+2i=(2-i)z,所以z====i,所以=-i.
9.已知复数(1+i)(2+mi)在复平面内对应的点位于第二象限,则实数m的取值范围为 .
【答案】 (2,+∞)
【解析】 因为(1+i)(2+mi)=(2-m)+(m+2)i,又因为此复数在复平面内对应的点在第二象限,所以解得m>2.
10.已知复数z满足|z-1+2i|=,|z-3+4i|=,那么z= .
【答案】 2-3i
【解析】 设z=x+yi,x,y∈R,
则解得所以z=2-3i.
强化练
11.若复数z满足|z|=|z|+||z,则z的一个可能取值是( )
A.-1+i B.1+i
C.-3+4i D.3+4i
【答案】 B
【解析】 设z=a+bi,a,b∈R,则=a-bi,|z|=||=,由|z|=|z|+||z,得a2+b2=2a,即2a=,整理得a≥0,|b|=a,显然只有B符合要求.故选B.
12.(多选题)(2025·福建泉州模拟)已知复数z1,z2是关于x的方程x2-x+2=0的两个根,则( )
A.=z2
B.z1z2=1
C.z1z2=|z1|2
D.在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】 AC
【解析】 复数z1,z2是方程x2-x+2=0的两个根,则有z1=-i,z2=+i,则=+i=z2,A选项正确;z1z2=()2-(i)2=+=2,B选项错误;|z1|2=()2+()2=2,z1z2=,C选项正确;=
=+i,其在复平面内对应的点位于第一象限,D选项错误.故选AC.
13.(2025·山东烟台模拟)若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则|z|的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
【答案】 B
【解析】 若复数z满足|z|=|z-2-2i|,则由复数的几何意义可知复数z对应的点集是线段OA的垂直平分线,其中O(0,0),A(2,2),所以|z|的最小值为|OA|=×=.故选B.
14.已知z为虚数,其实部为1,且z+=2-mi(其中i为虚数单位),则实数m的值为 .
【答案】 -2
【解析】 设z=1+bi(b∈R,b≠0),则z+=1+bi+=1+bi+=1+bi+=1++
(b+)i,所以1++(b+)i=2-mi,所以解得
15.(2025·湖北荆州模拟)棣莫弗定理:若n为正整数,则[r(cos θ+isin θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)],其中i为虚数单位,已知复数z=·(sin+icos), 则|z104|= ,的实部为 .
【答案】 985 -
【解析】 因为复数z=(sin+icos)=(cos+isin),所以由棣莫弗定理可得,
z104=[(cos+isin)]104=985(cos+isin)=985[cos(34π+)+isin(34π+)]=
985(-+i),
所以|z104|==985.所以=985(--i),所以的实部为-.
