第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
基础练
1.已知向量a=(-1,2),b=(-3,1),则向量a在向量b上的投影向量为( )
A.(-,) B.(-,1)
C.(-,) D.(-,)
【答案】 A
【解析】 依题意,a·b=-1×(-3)+2×1=5,|b|==,所以向量a在向量b上的投影向量为·b=b=(-,).故选A.
2.已知向量|a|=3,|a-b|=|a+2b|,则|a+b|=( )
A. B.2 C. D.3
【答案】 D
【解析】 由|a-b|=|a+2b|两边平方得,a2+b2-2a·b=a2+4b2+4a·b,所以b2+2a·b=0,所以|a+b|2=a2+b2+2a·b=|a|2=9,所以|a+b|=3.故选D.
3.(2025·河北衡水模拟)已知e1,e2是单位向量,e1·e2=-,则e1+2e2与e2的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 (e1+2e2)2=+4e1·e2+4=1-2+4=3,故|e1+2e2|=,(e1+2e2)·e2=e1·e2+2=-+2=,设e1+2e2与e2的夹角为θ,则cos θ===,又θ∈[0,π],故θ=.故选A.
4.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
【答案】 C
【解析】 当a⊥b时,a·b=0,所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3,所以A错误,C正确;
当a∥b时,2(x+1)=x2,解得x=1±,所以B,D错误.故选C.
5.与向量a=(1,)的夹角为30°的单位向量是( )
A.(,)或(0,1) B.(,)
C.(0,1) D.(0,1)或(,)
【答案】 D
【解析】 设b=(x,y)为所求向量,b与向量a=(1,)的夹角为30°,则 或即b=(0,1)或b=(,). 故选D.
6.(多选题)已知向量a,b的夹角为 ,且|a|=1,|b|=2,则( )
A.(a-b)⊥a
B.|a+b|=
C.|2a+b|=|2b|
D.向量a在向量b上的投影向量为b
【答案】 AB
【解析】 a·b=|a||b|cos=1×2×=1,(a-b)·a=|a|2-a·b=1-1=0,所以(a-b)⊥a,故A正确;
|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=1+4+2=7,所以|a+b|=,故B正确;|2a+b|2=4|a|2+|b|2+4a·b=4+4+4=12,所以|2a+b|=2,又|2b|=4,所以|2a+b|≠|2b|,故C错误;向量a在向量b上的投影向量为·b=b,故D错误.故选AB.
7.(2025·北京东城模拟)设向量a=(1,m),b=(3,-4),且a·b=|a||b|,则m= .
【答案】 -
【解析】 设a,b的夹角为θ,由题意a·b=|a||b|·cos θ=|a||b|,故cos θ=1,又θ∈[0,π],故θ=0,则a,b方向相同,
又a=(1,m),b=(3,-4),则-4=3m,解得m=-,满足题意.
8.已知向量a=(1,2),b=(2-λ,λ),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是 .
【答案】 (-2,)∪(,+∞)
【解析】 因为a,b的夹角为锐角,所以a·b>0且a,b不能同向共线,所以解得λ>-2且λ≠.
9.(2025·陕西咸阳模拟)在△ABC中,AD是边BC上的高,若=(1,3),=(6,3),则||=
.
【答案】
【解析】 设=m=(6m,3m),则=+=(1,3)+(6m,3m)=(6m+1,3m+3),
由·=0得·=6(6m+1)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=0,解得m=-,
故=(-1,2),所以||==.
10.设平面向量a=(1,0),|b|=2,且|a+b|=3.
(1)求a·b的值;
(2)判断a与b是否平行,并说明理由;
(3)若(λa+b)·(a+b)=12,求实数λ的值.
【解】 (1)因为a=(1,0),所以|a|=1,
因为|a+b|=3,|b|=2,所以(a+b)2=9,
所以a2+2a·b+b2=9,所以|a|2+2a·b+|b|2=9,
所以1+2a·b+4=9,所以a·b=2.
(2)平行,理由如下:
法一 设a与b的夹角为θ,cos θ===1,
因为θ∈[0,π],所以θ=0,则a与b平行.
法二 因为|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b共线时等号成立,
又因为|a+b|=3,|a|+|b|=3,所以a与b共线,即a与b平行.
(3)法一 由(2)及已知条件得b=2a,
因为(λa+b)·(a+b)=12,|a|=1,
所以(λa+2a)·(a+2a)=3(λ+2)a2=3(λ+2)=12,
所以λ=2.
法二 因为(λa+b)·(a+b)=12,
所以λa2+λa·b+a·b+b2=12,
因为|a|=1,|b|=2,a·b=2,
所以λ+2λ+2+4=12,所以λ=2.
强化练
11.若P是△ABC所在平面上一点,·=·=·,则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【答案】 D
【解析】 由·=·,得·-·=0,即·(-)=0,即·=0,则PB⊥CA,同理可证PA⊥BC ,PC⊥AB,所以P为△ABC的垂心.故选D.
12.△ABC是等腰直角三角形,其中AB⊥AC,||=1,P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+μ(λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2),则向量在向量上的投影向量的长度的取值范围是( )
A.(0,] B.[,1]
C.[1,] D.[,2]
【答案】 B
【解析】 设=2,若=λ+μ(λ≥0,μ≥0,且λ+2μ=2),
则=+μ(λ≥0,μ≥0且+μ=1),则点P在线段QB上,如图所示,
当点P与点Q重合时,向量在向量上的投影向量的长度取得最大值,最大值为||=1;当点P与点B重合时,向量在向量上的投影向量的长度取得最小值,最小值为||=.则向量在向量上的投影向量的长度的取值范围是[,1].故选B.
13.向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即如图所示,a·b=(||2-||2),我们称为“极化恒等式”.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·= .
【答案】 -16
【解析】 由题意知,||=3,||=10,
·=(4||2-||2)=×(36-100)=-16.
14.在△ABC中,点O为△ABC的外心,AB=3,·=,·=6,求△ABC的面积.
【解】 设D,E分别是AB,AC的中点,根据△ABC外心性质可得
·=(+)·=(+)·=||2,
同理可得·=||2,
由·=,可得·(-)=·-·=,
解得||=4,
所以cos∠BAC===,
所以sin∠BAC=,
则S△ABC=||||sin∠BAC=×3×4×=3.
15.(2025·吉林四平模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,AD=,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.
(1)当CD=1时,
①求·的值;
②若·=,求||的值.
(2)若AP=CD,求|2-|的最小值.
【解】 (1)如图,以A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角
坐标系,
则B(2,0),D(0,),C(1,),所以=(1,),=(2,0).
①·=(1,)·(2,0)=1×2+×0=2.
②设P(0,y)(0≤y≤),则=(2,-y),=(1,-y),
因为·=2-y(-y)=y2-y+2=,解得y=,所以||=.
(2)因为AP=CD,设CD=a(0≤a≤1),则AP=a,
所以C(a,),P(0,a),
所以=(2,-a),=(a,-a),所以2-=(4-a,-a-),
所以|2-|2=(4-a)2+(-a-)2=4a2-2a+19=4(a-) 2+,
所以当a=时,|2-|最小,最小值为.第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
基础练
1.已知向量a=(-1,2),b=(-3,1),则向量a在向量b上的投影向量为( )
A.(-,) B.(-,1)
C.(-,) D.(-,)
2.已知向量|a|=3,|a-b|=|a+2b|,则|a+b|=( )
A. B.2 C. D.3
3.(2025·河北衡水模拟)已知e1,e2是单位向量,e1·e2=-,则e1+2e2与e2的夹角为( )
A. B. C. D.
4.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( )
A.x=-3是a⊥b的必要条件
B.x=-3是a∥b的必要条件
C.x=0是a⊥b的充分条件
D.x=-1+是a∥b的充分条件
5.与向量a=(1,)的夹角为30°的单位向量是( )
A.(,)或(0,1) B.(,)
C.(0,1) D.(0,1)或(,)
6.(多选题)已知向量a,b的夹角为 ,且|a|=1,|b|=2,则( )
A.(a-b)⊥a
B.|a+b|=
C.|2a+b|=|2b|
D.向量a在向量b上的投影向量为b
7.(2025·北京东城模拟)设向量a=(1,m),b=(3,-4),且a·b=|a||b|,则m= .
8.已知向量a=(1,2),b=(2-λ,λ),若a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是 .
9.(2025·陕西咸阳模拟)在△ABC中,AD是边BC上的高,若=(1,3),=(6,3),则||=
.
10.设平面向量a=(1,0),|b|=2,且|a+b|=3.
(1)求a·b的值;
(2)判断a与b是否平行,并说明理由;
(3)若(λa+b)·(a+b)=12,求实数λ的值.
强化练
11.若P是△ABC所在平面上一点,·=·=·,则P是△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
12.△ABC是等腰直角三角形,其中AB⊥AC,||=1,P是△ABC所在平面内的一点,若=λ+μ(λ≥0,μ≥0且λ+2μ=2),则向量在向量上的投影向量的长度的取值范围是( )
A.(0,] B.[,1]
C.[1,] D.[,2]
13.向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一,即如图所示,a·b=(||2-||2),我们称为“极化恒等式”.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·= .
14.在△ABC中,点O为△ABC的外心,AB=3,·=,·=6,求△ABC的面积.
15.(2025·吉林四平模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,AD=,P是线段AD上(包括端点)的一个动点.
(1)当CD=1时,
①求·的值;
②若·=,求||的值.
(2)若AP=CD,求|2-|的最小值.
