第1节 平面向量的概念及线性运算
基础练
1.(多选题)(2025·四川凉山模拟)下列关于平面向量的说法正确的是( )
A.若a,b是相反向量,则=
B.若a,b是共线的单位向量,则a=b
C.若a+b=0,则向量a,b共线
D.若∥,则点A,B,C,D必在同一条直线上
2.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,则+2+2+=( )
A. B.
C.2 D.
3.设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论不正确的是( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|=|a|+|b|
4.如图,A,B是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点,=,点M为线段AC的中点,则=( )
A.+ B.+
C.+ D.+
5.已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,
=-3e1+6e2,则( )
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
6.(2025·福建漳州模拟)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若=+,=λ,则λ=( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若=x+y(x,y∈R),则x-y=( )
A.2 B.3 C.1 D.4
8.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为
.
9.设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上,则实数t的值为 .
10.O是△ABC所在平面上一点,满足2=++,则△OAB的面积与△ABC的面积的比值为 .
强化练
11.(2025·广西玉林模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若=a,=b,=3,则=( )
A.a-b B.a+b
C.a+b D.a-b
12.在等腰直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,若=+,则△ABC的面积为( )
A.25 B. C. D.
13.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心(三条中线的交点),AB边的中点为D.动点P满足=(++2),则点P一定为( )
A.线段CD的中点
B.线段CD上靠近C的四等分点
C.△ABC的重心
D.线段CD上靠近C的三等分点
14.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AD边上,点F在CD边上,且AE=ED,DF=λFC,AF与BE相交于点G,若=,则实数λ= .
15.在△ABC中,若=1,=2,则△ABC的面积的最大值为 . 第1节 平面向量的概念及线性运算
基础练
1.(多选题)(2025·四川凉山模拟)下列关于平面向量的说法正确的是( )
A.若a,b是相反向量,则=
B.若a,b是共线的单位向量,则a=b
C.若a+b=0,则向量a,b共线
D.若∥,则点A,B,C,D必在同一条直线上
【答案】 AC
【解析】 对于A,若a,b是相反向量,则=,A正确;对于B,a,b是共线的单位向量,则a=b或a=-b,B错误;对于C,a+b=0,即a=-b,则向量a,b共线,C正确;对于D,∥,点A,B,C,D可以不在同一直线上,D错误.故选AC.
2.设M是平行四边形ABCD的对角线的交点,则+2+2+=( )
A. B.
C.2 D.
【答案】 A
【解析】 M是平行四边形ABCD的对角线的交点,则=-,=-,所以+2+
2+=+++++=+=-=.故选A.
3.设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论不正确的是( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|=|a|+|b|
【答案】 B
【解析】 由题意得,a=(+)+(+)=+++=+=0,又b是一个非零向量,所以a∥b成立,所以A正确;由以上可知a+b=b,所以B不正确,C正确;因为|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,所以|a+b|=|a|+|b|,所以D正确.故选B.
4.如图,A,B是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点,=,点M为线段AC的中点,则=( )
A.+ B.+
C.+ D.+
【答案】 D
【解析】 因为A,B是以CD为直径的半圆圆周上的两个三等分点,易知AB=CD,由题得==×=,所以=++=-++=-+,所以=+
=+=+×(-+) =+.故选D.
5.已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,
=-3e1+6e2,则( )
A.A,B,C三点共线
B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线
D.B,C,D三点共线
【答案】 C
【解析】 对于A,由≠,得向量与不共线,A错误;对于B,由≠,得向量与不共线,B错误;对于C,=+=-2e1+4e2,显然=,则向量与共线,且有公共点A,于是A,C,D三点共线,C正确;对于D,=-=-4e1+4e2,由≠,得向量与不共线,D错误.故选C.
6.(2025·福建漳州模拟)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若=+,=λ,则λ=( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 =+=++=--++=-+,=
+=-=(-+) =,故=.故选C.
7.在平行四边形ABCD中,E,F分别为边BC,CD的中点,若=x+y(x,y∈R),则x-y=( )
A.2 B.3 C.1 D.4
【答案】 A
【解析】 由题意得=+=+,=+=+,
因为=x+y,
所以=(x+)+(+y),
所以解得
所以x-y=2.故选A.
8.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为
.
【答案】 -2
【解析】 因为D为△ABC边BC的中点,所以+=2,又++=0,
所以=+=2,所以=-2,所以λ=-2.
9.设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上,则实数t的值为 .
【答案】
【解析】 因为a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上,且a与b的起点相同,
所以a-tb与a-(a+b)共线,即a-tb与a-b共线,所以存在实数λ,使a-tb=λ(a-b),即(1-λ) a+(λ-t) b=0,又a,b为两个不共线的非零向量,所以解得
10.O是△ABC所在平面上一点,满足2=++,则△OAB的面积与△ABC的面积的比值为 .
【答案】
【解析】 由2=++得2+2=++,所以3=,所以∥,且3||=||,设△ABC的边BC上的高为h,则S△OAB=·OA·h,S△ABC=·BC·h,所以△OAB的面积与△ABC的面积的比值为===.
强化练
11.(2025·广西玉林模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若=a,=b,=3,则=( )
A.a-b B.a+b
C.a+b D.a-b
【答案】 A
【解析】 依题意,=-=-=(+)-=--,
于是=-=a-b,所以=a-b.故选A.
12.在等腰直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,若=+,则△ABC的面积为( )
A.25 B. C. D.
【答案】 B
【解析】 =+=+·.由题可知B,P,C三点共线,所以+=1.又因为||=||,所以||=5,故△ABC的面积S=×5×5=. 故选B.
13.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心(三条中线的交点),AB边的中点为D.动点P满足=(++2),则点P一定为( )
A.线段CD的中点
B.线段CD上靠近C的四等分点
C.△ABC的重心
D.线段CD上靠近C的三等分点
【答案】 D
【解析】 如图,由O是△ABC的重心,得+=,=-2,则=(++2) =(+2)=(-4)=-,所以点P一定为线段CD上靠近C的三等分点.故选D.
14.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AD边上,点F在CD边上,且AE=ED,DF=λFC,AF与BE相交于点G,若=,则实数λ= .
【答案】
【解析】 由AE=ED,DF=λFC得3AE=AD,DF=DC,因为=,则==
(+)=×3+×=+,因为E,G,B三点共线,所以+=1,解得λ=.
15.在△ABC中,若=1,=2,则△ABC的面积的最大值为 .
【答案】
【解析】 如图,设E,F分别为BC,AB的中点,连接EF,AE,CF,则EF∥AC,则△FBE∽△ABC,故S△FBE=S△ABC,则S四边形ACEF=S△ABC,故S△ABC=S四边形ACEF,又=1,=2,则==1,==2,故||=,||=1,当AE⊥CF时,四边形ACEF面积最大,最大值为××1=,故△ABC的面积的最大值为×=.
