第8节 解三角形应用举例
基础练
1.海面上有相距10 n mile的A,B两个小岛,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离为( )
A.10 n mile B. n mile
C.5 n mile D.5 n mile
【答案】 D
【解析】 如图,由题意得,A=60°,B=75°,AB=10,则C=45°,所以=,所以BC==5,即B,C间的距离为5 n mile.故选D.
2.如图所示,长为4 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处2 m的地面上,另一端B在离堤足C处3 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α等于( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意可得,在△ABC中,AB=4 m,AC=2 m,BC=3 m,
且α+∠ACB=π.
由余弦定理可得,
cos∠ACB==-,
则cos α=,所以sin α=,
所以tan α==.故选C.
3.(2025·江苏南京模拟)某中学校园内的红豆树已有百年历史,小明为了测量红豆树的高度,选取与红豆树根部C在同一水平面的A,B两点,在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上,沿正西方向步行40 m到B处,测得树根部C在北偏西15°的方向上,树梢D的仰角为30°,则红豆树的高度为( )
A.10 m B.20 m
C. m D. m
【答案】 D
【解析】 依题意可得如下图形,
在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=105°,∠BCA=180°-30°-105°=45°,AB=40,
所以由正弦定理得=,解得BC=20,
在Rt△BCD中,∠CBD=30°,所以CD=BC·tan 30°=20×=,则红豆树的高度为 m.故选D.
4.如图,两座山峰的高度AM=CN=300 m,为测量峰顶M和峰顶N之间的距离,测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为,N点的仰角为,且∠MBN=,则两座山峰峰顶之间的距离MN=( )
A.300 m B.600 m
C.300 m D.600 m
【答案】 C
【解析】 BM===300(m),BN===600(m),
在△BMN中,利用余弦定理得
MN==300(m).故选C.
5.在平静的湖面上,小船甲从A处沿北偏西15°的方向匀速行驶,同时,在A的正东方向,且相距20 km 的B处,小船乙沿北偏西60°的方向行驶,经过2 h后,这两艘小船在C处相遇,则小船甲的速度是( )
A.5 km/h B.5 km/h
C.10 km/h D.20 km/h
【答案】 C
【解析】 如图,AB=20 km,∠ABC=30°,∠BAC=105°,则∠ACB=45°,
在△ABC中,由正弦定理可得=,则AC==20 (km),故小船甲的速度是=10(km/h).故选C.
6.(多选题)如图所示,为了测量A,B两岛的距离,某人在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30 n mile至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是( )
A.∠CAD=45°
B.A,D之间的距离为15 n mile
C.B,D之间的距离为30 n mile
D.A,B两岛间的距离为15 n mile
【答案】 ABD
【解析】 由题意可知CD=30,∠ADC=90°+15°=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=90°-∠BCA=90°-60°=30°,所以∠CAD=180°-∠ADC-∠ACD=180°-105°-30°=45°,故A正确;
在△ACD中,由正弦定理得=,得AD==15 (n mile),故B正确;
在Rt△BCD中,因为∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以BD=CD=30(n mile)≠30 (n mile),故C错误;
在△ABD中,∠ADB=15°+45°=60°,
由余弦定理得,
AB===
15 (n mile),故D正确.故选ABD.
7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C处,且小区里有一条平行于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10 min,从D沿DA走到A用了6 min.若此人步行的速度为每分钟50 m,则该扇形的半径OA的长为 m.(精确到1 m)
【答案】 445
【解析】 设该扇形的半径为r m,如图,连接CO.
由题意,得CD=500 m,DA=300 m,
∠CDO=60°.
在△CDO中,CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2,
即5002+(r-300)2-2×500×(r-300)×=r2,解得r=≈445(m).
8.(2025·山东聊城模拟)如图,为测量某塔的高度,在地面上选择一个观测点C,在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°,45°.无人机距地面的高度AB为45 m,且在A处无人机测得点M的仰角为15°,点B,C,N在同一条直线上,则该塔的高度MN为 m.
【答案】 90
【解析】 在Rt△ABC中,∠ACB=30°,AB=45,则AC=2AB=90,
由题图可知∠MAC=15°+30°=45°,∠MCA=180°-45°-30°=105°,
则∠CMA=180°-105°-45°=30°,
在△AMC中,由正弦定理=,得MC==90,
在Rt△MNC中,MN=MCsin 45°=90 (m).
9.已知甲船在海岛B的正南方向A处,AB=10 n mile,甲船以每小时4 n mile的速度向正北方向航行,同时乙船自海岛B出发以每小时6 n mile的速度向北偏东60°的方向驶去,当航行1 h后,甲船在乙船的 方向.
【答案】 南偏西30°
【解析】 如图,1 h后,甲船来到C处,则AC=4,则BC=6.又由题可知,此时,乙船来到D处,
BD=6,结合D在B的北偏东60°方向,则∠DBC=120°.又BC=BD,则∠BCD=30°,即此时乙在甲的北偏东30°方向,则甲在乙的南偏西30°方向.
10.(2025·广东深圳模拟)如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m,于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s,忽略扫地机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10 s 完成了清扫任务.
(1)求B,C两处垃圾之间的距离;(精确到0.1 m)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值.
【解】 (1)由题意得AB+BC=0.2×10=2,
设BC=x,0由题意得A=90°+30°=120°.
在△ABC中,由余弦定理得cos A===-,解得x=1.4或x=5.2(舍去),
所以B,C两处垃圾之间的距离为1.4 m.
(2)由(1)知AB=2-1.4=0.6,AC=2.4-1.4=1,BC=1.4,
所以cos B===.即智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值为.
强化练
11.滕王阁因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古.如图所示,在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75 m,则滕王阁的高度OP=( )
A.15 m B.15 m
C.25 m D.12 m
【答案】 A
【解析】 设OP=h,h>0,则OA==h,OB==h,OC==h.
由∠OBC+∠OBA=π得cos∠OBC=-cos∠OBA,
由余弦定理得,
=-,
解得h=15,即OP为15 m.故选A.
12.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为 km.
【答案】 7
【解析】 因为A,B,C,D四点共圆,
所以B+D=π,
所以由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D=52+32-2×5×3cos D=34-30cos D,
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=52+82-2×5×8cos B=89-80cos B,
因为B+D=π,即cos B=-cos D,
所以=-,解得AC=7.
13.一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为12 n mile,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为12 n mile,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则此时灯塔C位于游轮的 方向.(用方向角作答)
【答案】 南偏西60°
【解析】 如图,在△ABD中,B=180°-60°-75°=45°,
由正弦定理得===24,解得AD=24,在△ACD中,由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°,因为AC=12,AD=24,所以解得CD=12,由正弦定理得=,解得sin∠CDA=,故∠CDA=60°或∠CDA=120°,因为AD>AC,故∠CDA为锐角,所以∠CDA=60°,此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向.
14.如图,为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高,选与塔底B同在水平面内的两个测量点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向,然后向正东方向前进20 m到达D处,测得此时塔底B在北偏东15°方向.
(1)求点D到塔底B的距离BD;
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°,求铁塔高AB.
【解】 (1)由题意可知,∠BCD=45°,∠BDC=105°,故∠CBD=30°,
在△BCD中,由正弦定理,得=,即=,
所以BD===20(m).
因此点D到塔底B的距离BD为20 m.
(2)在△BCD中,由正弦定理,得=,
所以BC=·sin 105°=40·sin(60°+45°)=40·(sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°)
=40×=10(+),
在Rt△ABC中,AB=BC·tan∠ACB=10(+)×=10+,
所以铁塔高AB为(10+) m.
15.如图,某海产养殖户承包一片靠岸水域,AB,AC为直线海岸线,AB= m,∠BAC=,
∠CBA=.
(1)求B与C之间的直线距离;
(2)在海面上有一点D(A,B,C,D四点在同一平面上),沿线段DB和DC修建养殖网箱,若DB和DC上的网箱每米可获得30元的经济收益,且∠BDC=,求这两段网箱获得的最高经济总收益.
【解】 (1)在△ABC中,∠ACB=π--=.由正弦定理得=,
得BC==100 (m).
故B与C之间的直线距离为100 m.
(2)在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+CD2-2BD·CDcos =BD2+CD2-BD·CD,
即10 000=(BD+CD)2-3BD·CD,
得10 000+3BD·CD=(BD+CD)2≤10 000+3×,所以(BD+CD)2≤10 000,
即BD+CD≤200 m,
当且仅当BD=CD=100 m时,等号成立,
故这两段网箱获得的最高经济总收益为200×30=6 000(元).第8节 解三角形应用举例
基础练
1.海面上有相距10 n mile的A,B两个小岛,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离为( )
A.10 n mile B. n mile
C.5 n mile D.5 n mile
2.如图所示,长为4 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处2 m的地面上,另一端B在离堤足C处3 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α等于( )
A. B. C. D.
3.(2025·江苏南京模拟)某中学校园内的红豆树已有百年历史,小明为了测量红豆树的高度,选取与红豆树根部C在同一水平面的A,B两点,在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上,沿正西方向步行40 m到B处,测得树根部C在北偏西15°的方向上,树梢D的仰角为30°,则红豆树的高度为( )
A.10 m B.20 m
C. m D. m
4.如图,两座山峰的高度AM=CN=300 m,为测量峰顶M和峰顶N之间的距离,测量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为,N点的仰角为,且∠MBN=,则两座山峰峰顶之间的距离MN=( )
A.300 m B.600 m
C.300 m D.600 m
5.在平静的湖面上,小船甲从A处沿北偏西15°的方向匀速行驶,同时,在A的正东方向,且相距20 km 的B处,小船乙沿北偏西60°的方向行驶,经过2 h后,这两艘小船在C处相遇,则小船甲的速度是( )
A.5 km/h B.5 km/h
C.10 km/h D.20 km/h
6.(多选题)如图所示,为了测量A,B两岛的距离,某人在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶30 n mile至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则下列结论正确的是( )
A.∠CAD=45°
B.A,D之间的距离为15 n mile
C.B,D之间的距离为30 n mile
D.A,B两岛间的距离为15 n mile
7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C处,且小区里有一条平行于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10 min,从D沿DA走到A用了6 min.若此人步行的速度为每分钟50 m,则该扇形的半径OA的长为 m.(精确到1 m)
8.(2025·山东聊城模拟)如图,为测量某塔的高度,在地面上选择一个观测点C,在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°,45°.无人机距地面的高度AB为45 m,且在A处无人机测得点M的仰角为15°,点B,C,N在同一条直线上,则该塔的高度MN为 m.
9.已知甲船在海岛B的正南方向A处,AB=10 n mile,甲船以每小时4 n mile的速度向正北方向航行,同时乙船自海岛B出发以每小时6 n mile的速度向北偏东60°的方向驶去,当航行1 h后,甲船在乙船的 方向.
10.(2025·广东深圳模拟)如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m,于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s,忽略扫地机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10 s 完成了清扫任务.
(1)求B,C两处垃圾之间的距离;(精确到0.1 m)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值.
强化练
11.滕王阁因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古.如图所示,在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且AB=BC=75 m,则滕王阁的高度OP=( )
A.15 m B.15 m
C.25 m D.12 m
12.如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且A,B,C,D四点共圆,则AC的长为 km.
13.一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向,距离为12 n mile,灯塔C在A的北偏西30°方向,距离为12 n mile,该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向,则此时灯塔C位于游轮的 方向.(用方向角作答)
14.如图,为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁塔的高,选与塔底B同在水平面内的两个测量点C与D.在C点测得塔底B在北偏东45°方向,然后向正东方向前进20 m到达D处,测得此时塔底B在北偏东15°方向.
(1)求点D到塔底B的距离BD;
(2)若在点C测得塔顶A的仰角为30°,求铁塔高AB.
15.如图,某海产养殖户承包一片靠岸水域,AB,AC为直线海岸线,AB= m,∠BAC=,
∠CBA=.
(1)求B与C之间的直线距离;
(2)在海面上有一点D(A,B,C,D四点在同一平面上),沿线段DB和DC修建养殖网箱,若DB和DC上的网箱每米可获得30元的经济收益,且∠BDC=,求这两段网箱获得的最高经济总收益.
