第7节 余弦定理、正弦定理及其应用
第一课时 余弦定理、正弦定理
基础练
1.在△ABC中,B=,AC=7,BC=8,则AB=( )
A.3 B.4
C.3或5 D.4或5
【答案】 C
【解析】 设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,结合余弦定理,得72=82+c2-2×8×c×cos ,即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5.故AB=3或5.故选C.
2.(2025·广东江门模拟)在△ABC中,B=30°,b=2,c=2,则角A的大小为( )
A.45° B.135°或45°
C.15° D.105°或15°
【答案】 D
【解析】 由题意知△ABC中,B=30°,b=2,c=2,故=,即sin C===,由于c>b,故C>B=30°,则C=45°或135°,故A的大小为180°-30°-45°=105°或180°-30°-135°=
15°.故选D.
3.(2025·山东青岛模拟)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为( )
A.1 B. C.2 D.2
【答案】 A
【解析】 根据正弦定理得sin B=2sin Asin B,因为B∈(0,π),则sin B≠0,所以1=2sin A,解得sin A=, 所以S△ABC=bcsin A=×4×=1.故选A.
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B=csin(A+B)-asin A,则△ABC一定为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
【答案】 B
【解析】 因为bsin B=csin(A+B)-asin A,又sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,即bsin B=csin C-asin A,由正弦定理可得b2=c2-a2,即a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形且∠C为直角.故选B.
5.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+
sin C 等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 因为B=,b2=ac,
则由正弦定理得sin Asin C=sin2B=.
由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=ac,
即a2+c2=ac,根据正弦定理得
sin2A+sin2C=sin Asin C=,
所以(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=,
因为A,C为三角形的内角,所以sin A+sin C>0,
则sin A+sin C=.故选C.
6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆半径为
【答案】 CD
【解析】 由(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可得a∶b∶c=4∶5∶6,故可设a=4x,b=5x,
c=6x(x>0),由正弦定理可得,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,A错误;由题意可知C为最大角,由余弦定理可得,cos C==>0,故C为锐角,从而可知△ABC是锐角三角形,B错误;由题意可知内角A为最小角,cos A=,故cos 2A=2cos2A-1=2×-1==cos C,故C=2A,C正确;由c=6,sin C==,结合正弦定理可得2R==,故R=,D正确.故选CD.
7.(2025·湖北武汉模拟)在△ABC中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b=6,
a2+c2=2ac,则△ABC的面积为 .
【答案】 3
【解析】 在△ABC中,B=,b=6,a2+c2=2ac,由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=2ac-
2accos =3ac,解得ac=6,所以S△ABC=acsin B=×6×=3.
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b2-c2=21,cos A=,则a的值为 .
【答案】
【解析】 因为△ABC的面积为3,cos A= sin A=,所以S=bcsin A=bc·=3 bc=10,
又因为b2-c2=21,解得则a2=b2+c2-2bccos A=25+4-2×5×2×=13,所以a=.
9.在△ABC中,c-acos B=(2a-b)cos A(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为 .
【答案】 等腰三角形或直角三角形
【解析】 法一 在△ABC中,由c-acos B=(2a-b)cos A及正弦定理得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,而sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,则cos Asin B=2sin Acos A-sin Bcos A,于是cos A(sin B-sin A)=0,则cos A=0或sin B=sin A,而A,B∈(0,π), 因此A=或B=A,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
法二 由题知,c-acos B=(2a-b)cos A,根据射影定理,c=acos B+bcos A,代入化简得bcos A=
(2a-b)cos A,所以cos A=0或b=2a-b,即A=或a=b,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
10.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
【解】 (1)因为A+B=3C,所以π-C=3C,即C=,又2sin(A-C)=sin B=sin(A+C),所以
2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C=3cos Asin C,所以sin A=
3cos A,即
tan A=3,所以0
(2)由(1)可知,cos A==,由sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×(+)=,由正弦定理=,可得AC==2,所以AB边上的高为AC·sin A=2×=6.
强化练
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-bc=a2,bc=a2,则角C的大小是( )
A.或 B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 由b2+c2-bc=a2,
得b2+c2-a2=bc,
则cos A===,
因为0由bc=a2及正弦定理,
得sin Bsin C=sin2A=×=,
即4sin(C+A)sin C=4sin(C+)sin C=,
整理得cos 2C=sin 2C,
则tan 2C=,又0<2C<,
即2C=或,即C=或.故选A.
12.(2025·山东东营模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,
2sin B=3sin C,则= ,cos A的值为 .
【答案】 -
【解析】 因为在△ABC中,2sin B=3sin C,
所以由正弦定理可得2b=3c,即=.
又因为b-c=a,所以a=2c,所以由余弦定理可得cos A===-.
13.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=
sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
(1)【证明】 法一 由sin Csin(A-B)=sin B·sin(C-A),可得sin Csin Acos B-sin Ccos A·sin B=
sin Bsin Ccos A-sin Bcos Csin A,
结合正弦定理==,
可得accos B-bccos A=bccos A-abcos C,
即accos B+abcos C=2bccos A.(*)
方法一 由余弦定理可知accos B=,abcos C=,2bccos A=b2+c2-a2,
代入(*)式整理得2a2=b2+c2.
方法二 利用三角形的射影定理,
得accos B+abcos C=a(ccos B+bcos C)=a2,
又2bccos A=b2+c2-a2,所以a2=b2+c2-a2,
所以2a2=b2+c2.
法二 因为A+B+C=π,
所以sin Csin(A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A(1-sin2B)-
(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B,
同理有sin Bsin(C-A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C-sin2A,
所以sin2A-sin2B=sin2C-sin2A,
由正弦定理可得2a2=b2+c2.
(2)【解】 由(1)及a2=b2+c2-2bccos A得,
a2=2bccos A,所以2bc=31.
因为b2+c2=2a2=50,
所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9,
所以△ABC的周长l=a+b+c=14.
拓展练
14.(2025·广东韶关模拟)在△ABC中,tan A=,tan B=.若△ABC的最长边的长为,则最短边的长为( )
A. B. C.2 D.
【答案】 A
【解析】 因为tan C=-tan(A+B)=-=-=-1<0,又tan A>0,tan B>0,故A,B为锐角,C为钝角,故c=,因为y=tan x在x∈(0,)上单调递增,tan A15.(2024·北京卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B.
(1)求A;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cos B=;
条件③:csin A=.
【解】 (1)由题意得2sin Bcos B=bcos B,因为A为钝角,则cos B≠0,则2sin B=b,
则===,解得sin A=,
因为A为钝角,则A=.
(2)选择①b=7,则sin B=b=×7=,因为A=,则B为锐角,则B=,
此时A+B=π,不符合题意,舍去.
选择②cos B=,因为B为△ABC的内角,
则sin B==,
则代入2sin B=b得2×=b,解得b=3,
sin C=sin(A+B)=sin(+B)=sin cos B+cos sin B=×+(-)×=,
则S△ABC=absin C=×7×3×=.
选择③csin A=,则有c×=,解得c=5,
则由正弦定理=,得=,解得sin C=,因为C为△ABC的内角,
则cos C==,
则sin B=sin(A+C)=sin(+C)=sin cos C+cos sin C=×+(-)×=,
则S△ABC=acsin B=×7×5×=.
第二课时 解三角形的综合问题
1.(2025·山东青岛模拟)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(B+C)=2sin2.
(1)求角A的大小;
(2)若b=3,BC边上的高为,求△ABC的周长.
【解】 (1)因为A,B,C为△ABC的内角,所以sin(B+C)=sin A,
因为sin2=,所以sin(B+C)=2sin2可化为sin A=(1-cos A),
即sin A+cos A=,即sin(A+)=,因为A+∈(,),解得A+=,即A=.
(2)由三角形面积公式得bcsin A=×a,将b=3代入得×3·csin =×a,所以a=c,
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=c2得c2+4c-12=0,
解得c=2或c=-6(舍去),所以a=,所以△ABC的周长为5+.
2.(2025·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos B+
b·cos A=2ccos C.
(1)求C;
(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
【解】 (1)由acos B+bcos A=2ccos C及正弦定理,
得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos C,
即sin(A+B)=2sin Ccos C,
所以sin C=2sin Ccos C,因为0故sin C≠0,所以cos C=,所以C=.
(2)由(1)知C=,A=-B,
因为△ABC为锐角三角形,所以0且0<-B<,所以由正弦定理,得====+,
因为,
所以∈(,2).
3.(2025·四川成都模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求B;
(2)若AC边上的中线长为2,求b的最小值.
【解】 (1)由=,
得=,
即=,
所以=,即tan B=,
又B∈(0,π),所以B=.
(2)如图,设AC的中点为D,则2=+,平方得4=++2·,
即16=a2+c2+ac≥3ac,所以ac≤,当且仅当a=c=时,等号成立,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos =a2+c2-ac=16-2ac,因为ac≤,所以b2≥16-2×=,
即b的最小值为,当且仅当a=c=时,等号成立.
4.(2025·安徽芜湖模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且bcos A+
bsin A=a+c.
(1)求B;
(2)若b=2,△ABC的面积为,D为AC边上一点,满足CD=2AD,求BD的长.
【解】 (1)由已知条件及正弦定理可得sin Bcos A+sin Bsin A=sin A+sin C,
因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以sin Bcos A+sin Bsin A=sin A+
sin Acos B+cos Asin B,化简得sin Bsin A=sin A+sin Acos B.
由A∈(0,π),sin A≠0有sin B=1+cos B,整理可得sin(B-)=.
因为B∈(0,π),B-∈(-,),所以B-=,则B=.
(2)由B=,S=acsin B=得ac=4,
又b2=a2+c2-2accos B,可得a2+c2=8,联立解得a=c=2,所以△ABC为正三角形,所以AD=,A=.
在△ABD中,由余弦定理得BD2=22+()2-2×2××=.故BD的长为.第7节 余弦定理、正弦定理及其应用
第一课时 余弦定理、正弦定理
基础练
1.在△ABC中,B=,AC=7,BC=8,则AB=( )
A.3 B.4
C.3或5 D.4或5
2.(2025·广东江门模拟)在△ABC中,B=30°,b=2,c=2,则角A的大小为( )
A.45° B.135°或45°
C.15° D.105°或15°
3.(2025·山东青岛模拟)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为( )
A.1 B. C.2 D.2
4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsin B=csin(A+B)-asin A,则△ABC一定为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
5.(2024·全国甲卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b2=ac,则sin A+
sin C 等于( )
A. B.
C. D.
6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆半径为
7.(2025·湖北武汉模拟)在△ABC中,其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=,b=6,
a2+c2=2ac,则△ABC的面积为 .
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3,b2-c2=21,cos A=,则a的值为 .
9.在△ABC中,c-acos B=(2a-b)cos A(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为 .
10.(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
(1)求sin A;
(2)设AB=5,求AB边上的高.
强化练
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-bc=a2,bc=a2,则角C的大小是( )
A.或 B.
C. D.
12.(2025·山东东营模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,
2sin B=3sin C,则= ,cos A的值为 .
13.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=
sin Bsin(C-A).
(1)证明:2a2=b2+c2;
(2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长.
拓展练
14.(2025·广东韶关模拟)在△ABC中,tan A=,tan B=.若△ABC的最长边的长为,则最短边的长为( )
A. B. C.2 D.
15.(2024·北京卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B.
(1)求A;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.
条件①:b=7;
条件②:cos B=;
条件③:csin A=.
第二课时 解三角形的综合问题
1.(2025·山东青岛模拟)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin(B+C)=2sin2.
(1)求角A的大小;
(2)若b=3,BC边上的高为,求△ABC的周长.
2.(2025·山东青岛模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos B+
b·cos A=2ccos C.
(1)求C;
(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
3.(2025·四川成都模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=.
(1)求B;
(2)若AC边上的中线长为2,求b的最小值.
4.(2025·安徽芜湖模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且bcos A+
bsin A=a+c.
(1)求B;
(2)若b=2,△ABC的面积为,D为AC边上一点,满足CD=2AD,求BD的长.