第6节 函数y=Asin(ωx+φ)
基础练
1.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是( )
A B
C D
2.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s=6sin(100πt+),那么单摆来回摆一次所需的时间为( )
A. s B. s C.50 s D.100 s
3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的,纵坐标保持不变,再把图象向右平移个单位长度,则所得图象对应的解析式为( )
A.y=sin(2x-) B.y=sin(2x-)
C.y=sin(-) D.y=sin(-)
4.要得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将函数y=sin 2x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
5.(多选题)函数f(x)=2sin(2x-)的图象为C,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.对任意的x∈R,都有f(x+)+f(-x)=0
C.f(x)在(-,)上是减函数
D.由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
6.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x 与y=2sin(3x-)的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= .
8.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移φ个单位长度后在区间[0,]上单调递增,则φ= .
9.将函数f(x)=cos(ωx-)(ω<0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)是奇函数,则ω的最大值是 .
10.已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最小值为3.
(1)求常数m的值;
(2)当x∈R时,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间及其图象的对称中心.
强化练
11.智能降噪采用的是智能宽频降噪技术,立足于主动降噪原理,当外界噪音的声波曲线为y=Acos(ωx+φ)时,通过降噪系统产生声波曲线y=-Acos(ωx+φ)将噪音中和,达到降噪目的.如图,这是某噪音的声波曲线y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的一部分,则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为( )
A.y=-2sin(2x-)
B.y=2sin(2x+)
C.y=2cos(2x-)
D.y=-2cos(2x+)
12.(2025·北京通州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若f(x)的最小正周期为π,将f(x)的图象向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)= ;若f(x)在区间(0,)上有3个零点,则ω的一个取值为 .
13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式与单调递增区间;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到g(x)的图象,写出g(x)图象的对称中心的坐标,并求当x∈[-,]时,g(x)的最值.
拓展练
14.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )
A.[,) B.[,)
C.(,] D.(,]
15.摩天轮(图(1))是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图(2),某摩天轮转盘直径为124 m,设置有36个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点距地面145 m时大约需要15 min.当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时.
图(1) 图(2)
(1)经过t min游客甲距离地面的高度为H m,已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|≤),求摩天轮转动一周的解析式H(t).
(2)游客甲坐上摩天轮多长时间后,距离地面的高度恰好第一次达到52 m
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,求经过多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同.第6节 函数y=Asin(ωx+φ)
基础练
1.函数y=sin(2x-)在区间[-,π]上的简图是( )
A B
C D
【答案】 A
【解析】 令x=0得y=sin(-)=-,排除B,D;由f(-)=0,f( )=0,排除C.故选A.
2.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s=6sin(100πt+),那么单摆来回摆一次所需的时间为( )
A. s B. s C.50 s D.100 s
【答案】 A
【解析】 由题意T==(s).故选A.
3.把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标都缩小为原来的,纵坐标保持不变,再把图象向右平移个单位长度,则所得图象对应的解析式为( )
A.y=sin(2x-) B.y=sin(2x-)
C.y=sin(-) D.y=sin(-)
【答案】 A
【解析】 把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到y=
sin 2x的图象,再把y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin[2(x-)],即y=sin(2x-)的图象.故选A.
4.要得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将函数y=sin 2x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【答案】 D
【解析】 因为y=cos(2x-)=sin[(2x-)+]=sin(2x+)=sin(2x-)=sin[2(x-)],所以为了得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度.故选D.
5.(多选题)函数f(x)=2sin(2x-)的图象为C,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.对任意的x∈R,都有f(x+)+f(-x)=0
C.f(x)在(-,)上是减函数
D.由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C
【答案】 AB
【解析】 由f(x)=2sin(2x-),所以f(x)的最小正周期为=π,故A正确;f()=2sin(2×-)=0,即函数f(x)的图象关于点(,0)对称,即对任意的x∈R,都有f(x+)+f(-x)=0成立,故B正确;当x∈(-,)时,2x-∈(-,),所以f(x)在(-,)上是增函数,故C错误;由y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y=2sin[2(x-)]=2sin(2x-)的图象,故D错误.故选AB.
6.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x 与y=2sin(3x-)的交点个数为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】 C
【解析】 因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π,函数y=2sin(3x-)的最小正周期为T=,所以在x∈[0,2π]上函数y=2sin(3x-)有三个周期的图象, 在坐标系中结合五点法画出两函数的图象,如图所示.由图可知,两函数图象有6个交点.故选C.
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)= .
【答案】
【解析】 由题图知,=,即T=π,则ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),因为点(,0)在函数f(x)的图象上,所以sin(2×+φ)=0,即+φ=2kπ+π,k∈Z,所以φ=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,所以 φ=,所以f(x)=sin(2x+),因为x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),所以=,所以x1+x2=,所以f(x1+x2)=
sin(2×+)=.
8.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移φ个单位长度后在区间[0,]上单调递增,则φ= .
【答案】
【解析】 函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移φ个单位长度后为f(x+φ)=sin(2x+3φ),
当x∈[0,]时,2x+3φ∈[3φ,π+3φ],因为f(x+φ)=sin(2x+3φ)在区间[0,]上单调递增,所以(k∈Z),即(k∈Z),可得φ=-+(k∈Z),又0<φ<π,所以φ=.
9.将函数f(x)=cos(ωx-)(ω<0)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)是奇函数,则ω的最大值是 .
【答案】 -
【解析】 将函数f(x)=cos(ωx-)(ω<0)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=cos[ω(x+)-]=cos(ωx+ω-)的图象,又函数g(x)是奇函数,所以ω-=+kπ,k∈Z,解得ω=+2k,k∈Z,又ω<0,所以当k=-1时,ω取得最大值,最大值为-.
10.已知函数f(x)=sin 2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最小值为3.
(1)求常数m的值;
(2)当x∈R时,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间及其图象的对称中心.
【解】 (1)由题意得f(x)=sin 2x+2cos2x+m=sin 2x+cos 2x+1+m=2sin(2x+)+m+1,
因为x∈[0,],所以2x+∈[,],则sin(2x+)∈[-,1],又函数f(x)在区间[0,]上的最小值为3,则2×(-)+m+1=3,故m=3.
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x+)+4,当x∈R时,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,
即g(x)=2sin(4x+)+4,令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,则+≤x≤+,k∈Z,即g(x)的单调递减区间为[+,+],k∈Z,令4x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,
故g(x)图象的对称中心为(-,4),k∈Z.
强化练
11.智能降噪采用的是智能宽频降噪技术,立足于主动降噪原理,当外界噪音的声波曲线为y=Acos(ωx+φ)时,通过降噪系统产生声波曲线y=-Acos(ωx+φ)将噪音中和,达到降噪目的.如图,这是某噪音的声波曲线y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π)的一部分,则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为( )
A.y=-2sin(2x-)
B.y=2sin(2x+)
C.y=2cos(2x-)
D.y=-2cos(2x+)
【答案】 A
【解析】 由题图可知A=2,噪音的声波曲线的最小正周期T=2(-)=π=,则ω=2.
因为噪音的声波曲线过点(,2),所以+φ=2kπ,k∈Z,则φ=-+2kπ,k∈Z,又-π<φ<π,所以φ=-,即噪音的声波曲线为y=2cos(2x-),则可以用来智能降噪的声波曲线为y=-2cos(2x-),又y=-2cos(2x-)=-2cos[(2x-)-]=-2sin(2x-),
y=-2cos(2x-)=-2cos[(2x+)-π]=2cos(2x+),结合选项可知只有A符合题意.故选A.
12.(2025·北京通州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0),若f(x)的最小正周期为π,将f(x)的图象向左平移个单位长度,再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)= ;若f(x)在区间(0,)上有3个零点,则ω的一个取值为 .
【答案】 cos x 6(答案不唯一)
【解析】 因为f(x)的最小正周期为π,所以T==π,解得ω=2,所以f(x)=sin(2x+),f(x)的图象向左平移个单位长度后,可得y=sin[2(x+)+]=sin(2x+)=cos 2x的图象,再把图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,所以g(x)=cos x;因为x∈(0,),ωx+∈(,+),f(x)在区间(0,)上有3个零点,所以3π<+≤4π,解得<ω≤,则ω的一个取值可以为6.
13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式与单调递增区间;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到g(x)的图象,写出g(x)图象的对称中心的坐标,并求当x∈[-,]时,g(x)的最值.
【解】(1)由题图可知解得
由=-=,可得T=π,又ω>0,所以ω==2,
由题图知f()=1,所以sin(2×+φ)=1,又因为|φ|<,则-<+φ<,所以2×+φ=,则φ=,
所以f(x)=2sin(2x+)-1.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+],k∈Z.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度得到g(x)=f(x-)+1=2sin[2(x-)+]-1+1=2sin(2x-)的图象,
令2x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
所以g(x)图象的对称中心的坐标为(+,0),k∈Z.
因为x∈[-,],所以2x-∈[-,],
所以当2x-=-,即x=-时,g(x)min=-2;
当2x-=,即x=时,g(x)max=.
拓展练
14.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin(ωx+)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是( )
A.[,) B.[,)
C.(,] D.(,]
【答案】 C
【解析】 由x∈(0,π),得ωx+∈(,πω+).根据函数f(x)在区间(0,π)恰有三个极值点,知<πω+≤,得<ω≤.根据函数f(x)在区间(0,π)恰有两个零点,知2π<πω+≤3π,得<ω≤.综上,ω的取值范围为(,].
故选C.
15.摩天轮(图(1))是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图(2),某摩天轮转盘直径为124 m,设置有36个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,当到达最高点距地面145 m时大约需要15 min.当游客甲坐上摩天轮的座舱时开始计时.
图(1) 图(2)
(1)经过t min游客甲距离地面的高度为H m,已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0,ω>0,|φ|≤),求摩天轮转动一周的解析式H(t).
(2)游客甲坐上摩天轮多长时间后,距离地面的高度恰好第一次达到52 m
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间间隔5个座舱,求经过多长时间游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同.
【解】 (1)由题意知,A=×124=62,A+B=62+B=145,解得B=83,又T=15×2=30,所以ω==,当t=0时,H(t)=62sin φ+83=145-124=21,解得sin φ=-1,因为|φ|≤,所以φ=-,
所以H(t)=62sin(t-)+83,0≤t≤30.
(2)令H(t)=52,得62sin(t-)+83=52,解得sin(t-)=-,即cos t=,
因为0≤t≤30,依题意,需使t=,解得t=5,
所以游客甲坐上摩天轮5 min后,距离地面的高度恰好第一次达到52 m.
(3)由题意知,H(t)=62 sin(t-)+83=-62cos t+83,
因为甲与乙中间间隔5个座舱,由题意可得乙与甲间隔的时间为×6=5 min,则有H(t-5)=-62cos[(t-5)]+83=-62cos(t-)+83,
依题意,H(t)=H(t-5),即cos t=cos(t-)=cost+sint,
即cost-sin t=0,所以cos(t+) =0,解得t+=+kπ,k∈Z,
所以t=+15k,k∈Z,当k=0时,t=2.5<5,不符合题意;当k=1时,t=17.5,
即经过17.5 min游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同.
