第5节 三角函数的图象与性质
基础练
1.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则下列结论正确的是( )
A.sin αC.cos αcos β
2.函数f(x)=的定义域为( )
A.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
B.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
C.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
D.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
3.下列四个函数中,以π为周期,且在区间(π,)上单调递减的是( )
A.y=|sin x| B.y=cos
C.y=-tan x D.y=sin |2x|
4.已知奇函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,那么f(x)的解析式可以为( )
A.y=sin(3πx) B.y=cos(x+)
C.y=sin(x+) D.y=tan(πx)
5.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
6.(多选题)(2025·广东惠州模拟)已知函数f(x)=cos2x,则( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点(-,)对称
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)的图象关于直线x=对称
7.函数y=的定义域为 .
8.若函数y=tan 3x在区间(m,)上单调递增,则实数m的取值范围为 .
9.已知函数f(x)=2sin x+cos x在x=x0处取得最大值,则cos x0= .
10.已知函数f(x)=2cos(2x+)+1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)在[0,]上的值域.
强化练
11.(多选题)已知函数f(x)=2cos(ωx+)(0<ω<6,ω∈N*),满足 x∈R,f(x)-f()≤0恒成立.则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在区间(,)上单调递减
C.函数f(x)图象的一个对称中心为(-,0)
D.函数f(x-)是奇函数
12.已知函数y=sin(2x-φ)(0<φ<)在[0,]上单调递增,且该函数在(0,)上有最小值,则φ的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=sin 2x-2cos2(x+).
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程f(x)=-1在区间[0,m]上恰有两个解,求m的取值范围.
拓展练
14.(多选题)已知(-,0)为函数f(x)=asin 2x+cos 2x图象的一个对称中心,则( )
A.a=
B.函数y=f(x-)为奇函数
C.曲线y=f(x)关于直线x=对称
D.函数y=f(x)在(-,)上单调递增
15.设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0).从下列三个条件中选择两个作为已知,使函数f(x)
存在.
条件①:函数f(x)的图象经过点(-,2);
条件②:f(x)在区间[-,]上单调递增;
条件③:直线x=是f(x)图象的一条对称轴.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)若对于任意的x∈[,π],都有f(x)≤c,求实数c的取值范围.第5节 三角函数的图象与性质
基础练
1.已知α,β为锐角三角形的两个内角,则下列结论正确的是( )
A.sin αC.cos αcos β
【答案】 B
【解析】 因为α,β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>,所以0<-β<α<,
所以cos α2.函数f(x)=的定义域为( )
A.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
B.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
C.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
D.[-+2kπ,+2kπ],k∈Z
【答案】 A
【解析】 对于函数f(x)=,令2sin x+1≥0,即sin x≥-,解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数的定义域为[-+2kπ,+2kπ],k∈Z.故选A.
3.下列四个函数中,以π为周期,且在区间(π,)上单调递减的是( )
A.y=|sin x| B.y=cos
C.y=-tan x D.y=sin |2x|
【答案】 C
【解析】 因为y=|sin x|的最小正周期为π,当x∈(π,)时,y=|sin x|=-sin x,所以它在(π,)上单调递增,故A错误;y=cos 的最小正周期为4π,故B错误;y=-tan x的最小正周期为π,在区间(π,)上单调递减,故C正确;y=sin |2x|不是周期函数,故D错误.故选C.
4.已知奇函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=,那么f(x)的解析式可以为( )
A.y=sin(3πx) B.y=cos(x+)
C.y=sin(x+) D.y=tan(πx)
【答案】 A
【解析】 对于A,函数y=f(x)=sin(3πx)的定义域为R,因为f(-x)=-sin(3πx)=-f(x),所以f(x)为奇函数,因为f()=-1,所以直线x=是y=sin(3πx)的图象的一条对称轴,故A符合题意;对于B,函数y=f(x)=cos(x+)的定义域为R,因为f()=0,f(-)=1,所以函数y=cos(x+)不是奇函数,故B不符合题意;对于C,函数y=f(x)=sin(x+)的定义域为R,因为f(2)=sin(π+)=-,
f(-2)=sin(-π+)=-,所以函数y=sin(x+)不是奇函数,故C不符合题意;对于D,函数y=tan(πx)的图象不是轴对称图形,没有对称轴,故D不符合题意.故选A.
5.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有( )
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【答案】 BC
【解析】 A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)的零点,令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)的零点,显然f(x),g(x)的零点不同,A选项错误;B选项,显然f(x)max=
g(x)max=1,B选项正确;C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的周期均为=π,C选项正确;D选项,根据正弦函数的性质,f(x)图象的对称轴方程满足2x=kπ+ x=+,k∈Z,g(x)图象的对称轴方程满足2x-=kπ+ x=+,k∈Z,显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.故选BC.
6.(多选题)(2025·广东惠州模拟)已知函数f(x)=cos2x,则( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点(-,)对称
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)的图象关于直线x=对称
【答案】 BC
【解析】 f(x)=cos2x==cos 2x+,故f(x)的最小正周期为=π,故A错误;当x=-时,
2x=-,此时f(-)=,故f(x)的图象关于点(-,)对称,故B正确;因为f(x)=cos 2x+,所以f(x)的最小值为-=0,故C正确;当x=时,f()=·cos +=,不是f(x)的最值,所以直线x=不是f(x)图象的对称轴,故D错误.故选BC.
7.函数y=的定义域为 .
【答案】 {x|x≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z}
【解析】 要使函数有意义,则
即
故函数的定义域为{x|x≠+kπ,且x≠+kπ,k∈Z}.
8.若函数y=tan 3x在区间(m,)上单调递增,则实数m的取值范围为 .
【答案】 [-,)
【解析】 令kπ-<3x令k=0,则其一个单调递增区间为(-,),则实数m的取值范围为[-,).
9.已知函数f(x)=2sin x+cos x在x=x0处取得最大值,则cos x0= .
【答案】
【解析】 f(x)=2sin x+cos x=sin(x+φ),其中cos φ=,sin φ=,
又当x=x0时,f(x) 取得最大值,所以x0+φ=+2kπ,k∈Z,即x0=+2kπ-φ,k∈Z,
所以cos x0=cos(+2kπ-φ)=cos(-φ)=sin φ=.
10.已知函数f(x)=2cos(2x+)+1.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)在[0,]上的值域.
【解】 (1)f(x)=2cos(2x+)+1,令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,-+kπ],k∈Z.
(2)f(x)=2cos(2x+)+1,因为x∈[0,],所以2x+∈[,],
可得cos(2x+)∈[-1,],则2cos(2x+)+1∈[-1,2],
即函数f(x)在[0,]上的值域为[-1,2].
强化练
11.(多选题)已知函数f(x)=2cos(ωx+)(0<ω<6,ω∈N*),满足 x∈R,f(x)-f()≤0恒成立.则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)在区间(,)上单调递减
C.函数f(x)图象的一个对称中心为(-,0)
D.函数f(x-)是奇函数
【答案】 BCD
【解析】 因为 x∈R,f(x)-f()≤0恒成立,所以f(x)的最大值为f(),所以ω+=2kπ,k∈Z,即ω=6k-1,k∈Z,因为0<ω<6,ω∈N*,所以ω=5,所以f(x)=2cos(5x+).
对于A,函数f(x)的最小正周期T=,故A错误;
对于B,当x∈(,)时,5x+∈(2π,),因为y=cos x在(2π,)上单调递减,所以函数f(x)在区间(,)上单调递减,故B正确;
对于C,因为f(-)=2cos(-+)=2cos(-)=0,所以函数f(x)图象的一个对称中心为(-,0),故C
正确;
对于D,f(x-)=2cos[5(x-)+]=2cos(5x-)=2sin 5x,为奇函数,故D正确.
故选BCD.
12.已知函数y=sin(2x-φ)(0<φ<)在[0,]上单调递增,且该函数在(0,)上有最小值,则φ的取值范围是 .
【答案】 [,)
【解析】 当x∈[0,]时,2x-φ∈[-φ,-φ],
因为y=sin(2x-φ)(0<φ<)在[0,]上单调递增,
所以-+2kπ≤-φ,且-φ≤+2kπ(k∈Z),
即-2kπ≤φ≤-2kπ,k∈Z,
又0<φ<,取k=0,得到≤φ<.
当x∈(0,)时,2x-φ∈(-φ,-φ),
又0<φ<,所以-<-φ<0,
又该函数在(0,)上有最小值,
所以-φ>,得到0<φ<.
综上所述,≤φ<.
13.已知函数f(x)=sin 2x-2cos2(x+).
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程;
(2)若方程f(x)=-1在区间[0,m]上恰有两个解,求m的取值范围.
【解】 (1)f(x)=sin 2x-2cos2(x+)
=sin 2x-[2cos2(x+)-1]-1
=sin 2x-cos(2x+)-1
=sin 2x-cos 2xcos+sin 2xsin-1
=sin 2x-cos 2x-1
=(sin 2x-cos 2x)-1
=sin(2x-)-1,
由2x-=kπ+(k∈Z),可得x=+(k∈Z),所以函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)由f(x)=sin(2x-)-1=-1,可得sin(2x-)=0,
当x∈[0,m]时,-≤2x-≤2m-,
方程f(x)=-1在区间[0,m]上恰有两个解,
则π≤2m-<2π,解得≤m<,
因此,m的取值范围为[,).
拓展练
14.(多选题)已知(-,0)为函数f(x)=asin 2x+cos 2x图象的一个对称中心,则( )
A.a=
B.函数y=f(x-)为奇函数
C.曲线y=f(x)关于直线x=对称
D.函数y=f(x)在(-,)上单调递增
【答案】 BCD
【解析】 因为(-,0)为函数f(x)=asin 2x+cos 2x图象的一个对称中心,
所以f(-)=asin[2(-)]+cos[2(-)]=0,即-a+=0,解得a=,故A错误;
f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),
y=f(x-)=sin (2x-+)=sin 2x,显然为奇函数,故B正确;
f()=sin(2×+)=sin=sin=-,是最小值,所以曲线y=f(x)关于直线x=对称,
故C正确;
当x∈(-,)时,2x+∈(-,),所以函数y=f(x)在(-,)上单调递增,故D正确.故选BCD.
15.设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0).从下列三个条件中选择两个作为已知,使函数f(x)
存在.
条件①:函数f(x)的图象经过点(-,2);
条件②:f(x)在区间[-,]上单调递增;
条件③:直线x=是f(x)图象的一条对称轴.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)若对于任意的x∈[,π],都有f(x)≤c,求实数c的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)=sin ωx+cos ωx=2(sin ωx+cos ωx)=2sin(ωx+),
若选条件①②:由条件①函数f(x)的图象经过点(-,2),得-+=+2kπ,k∈Z,即ω=-1-12k,
k∈Z,
由条件②f(x)在区间[-,]上单调递增,得-(-)≤,即T≥π,又ω>0且T=,即≥π,所以0<ω≤2,此时ω不存在.
若选条件②③:由条件②f(x)在区间[-,]上单调递增,有-(-)≤,即T≥π,又ω>0且T=,
即≥π,所以0<ω≤2,
由条件③直线x=是f(x)图象的一条对称轴,则ω+=+kπ,k∈Z,所以ω=2+12k,k∈Z,
所以ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+),则f(x)的最小正周期T==π,
由+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递减区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).
若选条件①③:由条件①函数f(x)的图象经过点(-,2),得-+=+2kπ,k∈Z,即ω=-1-12k,
k∈Z,
由条件③直线x=是f(x)图象的一条对称轴,得ω+=+kπ,k∈Z,所以ω=2+12k,k∈Z,
此时ω不存在.
(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+),因为x∈[,π],所以2x+∈[,],
所以sin(2x+)∈[-1,],f(x)∈[-2,],因为对于任意的x∈[,π],都有f(x)≤c,所以c≥,即实数c的取值范围为[,+∞).
