第4节 简单的三角恒等变换
基础练
1.化简:=( )
A.cos α B.2cos α
C.sin α D.2sin α
【答案】 B
【解析】 原式===2cos α.故选B.
2.(2025·山西大同模拟)已知α∈(0,),且满足=,则tan α=( )
A. B.± C.± D.
【答案】 D
【解析】 因为=,所以=,由α∈(0,),得cos α≠0,sin α>0,
整理得sin α=,又α∈(0,),所以α=,tan α=.故选D.
3.(多选题)下列各式中值为1的是( )
A.sin 75°cos 75° B.cos215°-sin215°
C.+2sin215° D.
【答案】 CD
【解析】 对于A,sin 75°cos 75°=sin 150°=,A错误;对于B,cos215°-sin215°=cos 30°=,B错误;对于C,+2sin215°=+1-cos 30°=+1-=1,C正确;对于D,由二倍角的正切公式可得=tan 45°=1,D正确.故选CD.
4.已知=2,则tan θ等于( )
A. B.- C.- D.
【答案】 C
【解析】 由===tan =2,得tan θ===-.故选C.
5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin 等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 因为cos α=1-2sin2=,而α为锐角,所以sin ===.
故选D.
6.已知tan(α+)=2,则的值为( )
A.- B. C. D.-
【答案】 A
【解析】 tan α=tan[(α+)-]==,原式==tan α-=-=-.故选A.
7.已知<α<2π,化简= .
【答案】 -cos
【解析】 因为<α<2π,所以<<π,
所以cos α>0,cos <0,
则原式===|cos |=-cos .
8.(2025·江西南昌模拟)已知2sin α=3+2cos α,则sin(2α-)= .
【答案】 -
【解析】 由2sin α=3+2cos α,得sin α-cos α=,即sin(α-)=,
所以sin(2α-)=sin[2(α-)+]=cos[2(α-)]=1-2sin2(α-)=1-2×()2=-.
9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展作出了巨大贡献,他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则= .
【答案】 2
【解析】 把m=2sin 18°代入
=
===2.
10.已知tan(-α)=,α∈(0,).
(1)求的值;
(2)若β∈(0,),且sin β=,求α+β的值.
【解】 (1)因为tan(-α)=,α∈(0,),所以=,解得tan α=,
所以===2cos2α===.
(2)因为β∈(0,),且sin β=,所以cos β==,所以tan β=,
所以tan(α+β)===1,又因为α∈(0,),β∈(0,),所以α+β∈(0,),
所以 α+β=.
强化练
11.(多选题)已知f(α)=-,则下列说法正确的是( )
A.f(α)=-sin 2α
B.f(α)=sin 2α
C.若tan α=3,则f(α)=
D.若sin α-cos α=,则f(α)=
【答案】 BCD
【解析】 由题意得f(α)=-=2sin αcos α=sin 2α,A错误,B正确;
当tan α=3时,f(α)====,C正确;
若 sin α-cos α=,则f(α)=2sin αcos α=1-(sin α-cos α)2=1-=,D正确.
故选BCD.
12.化简:= .
【答案】 1
【解析】 原式=
=
=
==
=1.
13.求值:-sin 10°(-tan 5°)= .
【答案】
【解析】 原式=-sin 10°·(-)
=-sin 10°·
=-sin 10°·
=-2cos 10°=
=
=
==.
14.已知函数f(x)=2cos2(-x)+2sin(π-x)cos x-.
(1)求f(-)的值;
(2)若f(x0-)=,x0∈[,π],求f(x0+)的值.
【解】 (1)因为f(x)=2cos2(-x)+2sin(π-x)cos x-
=2sin2x+2sin xcos x-
=2sin xcos x-(1-2sin2x)
=sin 2x-cos 2x=2sin(2x-),
所以f(-)=2sin[2×(-)-]
=2sin·(-)=-2.
(2)因为f(x)=2sin(2x-),f(x0-)=,所以sin(2x0-)=,
又x0∈[,π],则2x0-∈[,],
则cos(2x0-)<0,
所以cos(2x0-)=-=-,
所以f(x0+)=2sin 2x0=2sin[(2x0-)+]
=2[sin(2x0-)cos +cos(2x0-)sin ]
=2××(-)+2×(-)×=-.
15.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α和角β(0<α<<β<)的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,点A的横坐标为,点C与点B关于x轴对称.
(1)求的值;
(2)若cos∠AOC=-,求cos β的值.
【解】 (1)因为点A的横坐标为,且|OA|=1,点A在第一象限,所以点A的纵坐标为,
所以cos α=,sin α=,所以=====.
(2)因为cos∠AOC=-,由题图可知,sin∠AOC===.
由题意可得OC为α-∠AOC的终边,又点C与点B关于x轴对称,OB为β终边,
所以cos β=cos(α-∠AOC)=cos α cos∠AOC+sin α sin∠AOC=×(-)+×=-.第4节 简单的三角恒等变换
基础练
1.化简:=( )
A.cos α B.2cos α
C.sin α D.2sin α
2.(2025·山西大同模拟)已知α∈(0,),且满足=,则tan α=( )
A. B.± C.± D.
3.(多选题)下列各式中值为1的是( )
A.sin 75°cos 75° B.cos215°-sin215°
C.+2sin215° D.
4.已知=2,则tan θ等于( )
A. B.- C.- D.
5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin 等于( )
A. B.
C. D.
6.已知tan(α+)=2,则的值为( )
A.- B. C. D.-
7.已知<α<2π,化简= .
8.(2025·江西南昌模拟)已知2sin α=3+2cos α,则sin(2α-)= .
9.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展作出了巨大贡献,他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则= .
10.已知tan(-α)=,α∈(0,).
(1)求的值;
(2)若β∈(0,),且sin β=,求α+β的值.
强化练
11.(多选题)已知f(α)=-,则下列说法正确的是( )
A.f(α)=-sin 2α
B.f(α)=sin 2α
C.若tan α=3,则f(α)=
D.若sin α-cos α=,则f(α)=
12.化简:= .
13.求值:-sin 10°(-tan 5°)= .
14.已知函数f(x)=2cos2(-x)+2sin(π-x)cos x-.
(1)求f(-)的值;
(2)若f(x0-)=,x0∈[,π],求f(x0+)的值.
15.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α和角β(0<α<<β<)的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,点A的横坐标为,点C与点B关于x轴对称.
(1)求的值;
(2)若cos∠AOC=-,求cos β的值.
