第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础练
1.tan 105°等于( )
A.2- B.-2-
C.-2 D.-
【答案】 B
【解析】 tan 105°=tan(60°+45°)=====-2-.故选B.
2.(多选题)下列各式化简正确的是( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=cos 75°
C.cos α+sin α=sin(α+)
D.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=sin 45°
【答案】 ACD
【解析】 对于A,cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°,故A正确;
对于B,cos 75°=cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°,故B错误;
对于C,sin(α+)=sin αcos +cos αsin =sin α+cos α,故C正确;
对于D,sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos[(α+45°)-α]=cos 45°=sin 45°,故D正确.
故选ACD.
3.已知tan(α-)=,tan(α+β)=,则tan(β+)= ( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 由β+=(α+β)-(α-),得tan(β+)=tan[(α+β)-(α-)]
===.故选A.
4.若cos α+sin α=,则tan2(α-)等于( )
A.0 B. C.3 D.7
【答案】 D
【解析】 因为cos α+sin α=,
所以(cos α+sin α)=,
即cos(α-)=,
所以sin2(α-)=1-cos2(α-)=,
所以tan2(α-)===7.
故选D.
5.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β,则( )
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
【答案】 C
【解析】 由题意得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)·sin β,整理,得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,
所以tan(α-β)=-1.故选C.
6.(2025·广东广州模拟)已知sin α+cos α=,<α<,则cos α=( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 因为 sin α+cos α=,所以2sin(α+)=,则sin(α+)=,
又<α<,所以<α+<π,故cos(α+)=-,
故cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)·cos +sin(α+)sin =-×+×=.故选B.
7.已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,则sin(α-β)= .
【答案】
【解析】 由题意可得α+∈(,π),β-∈(-,0),所以cos(α+)=-,sin(β-)=-,
所以sin(α-β)=-sin[(α+)-(β-)]=-×+(-)×(-)=.
8.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°的值为 .
【答案】
【解析】 原式=tan(10°+50°)(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50°
=(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50°
=-tan 10°tan 50°+tan 10°tan 50°=.
9.化简:= .
【答案】
【解析】 原式=
=
==.
10.已知α∈(0,),β∈(,π),tan α=,cos(α-β)=.求:
(1)sin(α-)的值;
(2)sin β的值.
【解】 (1)因为α∈(0,),所以sin α>0,cos α>0,由可得
所以sin(α-)=sin αcos -cos αsin =×-×=-.
(2)因为α∈(0,),β∈(,π),则-π<α-β<0,所以sin(α-β)<0,
所以sin(α-β)=-=-=-,
因此sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=×-×(-)=.
强化练
11.若对任意实数x都有3sin x-4cos x=5sin(x+φ),则角φ的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 D
【解析】 3sin x-4cos x=5(sin x-cos x),5sin(x+φ)=5(sin xcos φ+cos xsin φ),
因为sin φ=-<0,cos φ=>0,所以角φ的终边在第四象限.故选D.
12.在△ABC中,若tan A,tan B是关于x的方程x2-px+1-p=0的两个实根,则角C= .
【答案】
【解析】 对于方程x2-px+1-p=0,Δ=p2-4(1-p)=p2+4p-4≥0,解得p≤-2-2或p≥-2+2.因为tan A,tan B是关于x的方程x2-px+1-p=0的两个实根,所以tan A+tan B=p,tan Atan B=1-p,所以tan(A+B)===1,因为0
13.(2025·福建龙岩模拟)已知0<β<α<,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则tan αtan β的值为 .
【答案】
【解析】 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
=,分子分母同时除以cos αcos β得=,(*)
由于0<β<α<,所以所以0<α-β<,所以cos(α-β)==,
所以tan(α-β)==,即=,分子分母同时除以cos αcos β,
得=,tan α-tan β=+tan αtan β,代入(*)式得=,解得tan αtan β=.
14.已知cos(α-)=-,sin(-β)=,<α<π,0<β<,求:
(1)cos的值;
(2)tan(α+β)的值.
【解】 (1)因为<α<π,0<β<,
所以<α-<π,-<-β<,
所以sin(α-)==,
cos(-β)==,
所以cos=cos[(α-)-(-β)]
=cos(α-)cos(-β)+sin(α-)sin(-β)
=-×+×=-.
(2)因为<<,cos=-,
所以sin==,
所以tan==-,
所以tan(α+β)===.
15.已知斜三角形ABC.
(1)借助正切和角公式证明:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;
(2)若C=135°,求tan A+tan B的最小值.
(1)【证明】 因为C=π-(A+B),所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B),所以tan C=-,所以tan C(1-tan Atan B)=-(tan A+tan B),所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.
(2)【解】 因为C=135°,则0°0,tan B>0,
所以tan A+tan B=-tan 135°+tan Atan B·tan 135°=1-tan Atan B≥1-,
所以(tan A+tan B)2+4(tan A+tan B)-4≥0,
解得tan A+tan B≥2-2或tan A+tan B≤-2-2(舍去),
所以tan A+tan B≥2-2,当且仅当tan A=tan B=-1时,等号成立.
所以tan A+tan B的最小值为2-2.第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础练
1.tan 105°等于( )
A.2- B.-2-
C.-2 D.-
2.(多选题)下列各式化简正确的是( )
A.cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=cos 60°
B.cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=cos 75°
C.cos α+sin α=sin(α+)
D.sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=sin 45°
3.已知tan(α-)=,tan(α+β)=,则tan(β+)= ( )
A. B. C. D.
4.若cos α+sin α=,则tan2(α-)等于( )
A.0 B. C.3 D.7
5.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cos(α+)sin β,则( )
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
6.(2025·广东广州模拟)已知sin α+cos α=,<α<,则cos α=( )
A. B.
C. D.
7.已知α,β∈(,),若sin(α+)=,cos(β-)=,则sin(α-β)= .
8.tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°的值为 .
9.化简:= .
10.已知α∈(0,),β∈(,π),tan α=,cos(α-β)=.求:
(1)sin(α-)的值;
(2)sin β的值.
强化练
11.若对任意实数x都有3sin x-4cos x=5sin(x+φ),则角φ的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.在△ABC中,若tan A,tan B是关于x的方程x2-px+1-p=0的两个实根,则角C= .
13.(2025·福建龙岩模拟)已知0<β<α<,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则tan αtan β的值为 .
14.已知cos(α-)=-,sin(-β)=,<α<π,0<β<,求:
(1)cos的值;
(2)tan(α+β)的值.
15.已知斜三角形ABC.
(1)借助正切和角公式证明:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C;
(2)若C=135°,求tan A+tan B的最小值.