第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础练
1. cos 260°=( )
A.-cos 10° B. cos 10°
C. -sin 10° D. sin 10°
2.已知α∈(0,π),cos α=,则tan α=( )
A. 3 B. C. - D. -3
3.(2025·吉林长春模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P(,-),则sin(α-)=( )
A.- B. - C. D.
4. (2025·江西赣州模拟)已知α为锐角,且3cos(α+45°)=-1,则cos(α+135°)=( )
A. B. C. - D. -
5.在△ABC中,下列结论不正确的是( )
A.sin(A+B)=sin C
B.sin =cos
C.tan(A+B)=-tan C(C≠)
D.cos(A+B)=cos C
6.(多选题)已知θ为三角形的一个内角,sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
A.sin θ= B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
7.已知=,则tan α= .
8.sin-cos+tan(-)= .
9.若<α<2π,则+= .
10. 已知sin θ,cos θ是方程3x2-2x+m=0的两个实数根.
(1)求m的值;
(2)若θ为第二象限角,求cos θ-sin θ的值.
强化练
11.已知cos 167°=m,则tan 193°等于( )
A. B.
C.- D.-
12. (多选题)已知sin(α-π)+2sin(α+)=0,则下列结论正确的是( )
A.tan α=2
B. sin α-cos α=
C.sin αcos α+cos2α=
D. =
13.已知tan θ+=4,则sin4θ+cos4θ等于 .
14.已知sin(π-α)-cos(π+α)=,且0<α<π,求:
(1)sin α-cos α;
(2)sin3(π+α)+cos3(-α).
15.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值;
(3)若α是第三象限角,且sin(π+α)=,求f(π-α)的值.第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础练
1. cos 260°=( )
A.-cos 10° B. cos 10°
C. -sin 10° D. sin 10°
【答案】 C
【解析】 cos 260°=cos(360°-100°)=cos(-100°)=cos 100°=cos(10°+90°)=-sin 10°.故选C.
2.已知α∈(0,π),cos α=,则tan α=( )
A. 3 B. C. - D. -3
【答案】 B
【解析】 因为α∈(0,π),cos α=,故sin α==,故tan α==.故选B.
3.(2025·吉林长春模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P(,-),则sin(α-)=( )
A.- B. - C. D.
【答案】 B
【解析】 由角α的终边与单位圆的交点为P(,-),可知cos α=,所以sin(α-)=-cos α=-.故选B.
4. (2025·江西赣州模拟)已知α为锐角,且3cos(α+45°)=-1,则cos(α+135°)=( )
A. B. C. - D. -
【答案】 D
【解析】 因为α为锐角,且cos(α+45°)=-<0,所以45°<α<90°,即90°<α+45°<135°,所以sin(α+45°)==,所以cos(α+135°)=cos(α+90°+45°)=-sin(α+45°)=-.故选D.
5.在△ABC中,下列结论不正确的是( )
A.sin(A+B)=sin C
B.sin =cos
C.tan(A+B)=-tan C(C≠)
D.cos(A+B)=cos C
【答案】 D
【解析】 在△ABC中,有A+B+C=π,则sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,A正确;
sin =sin(-)=cos ,B正确;
tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C(C≠),C正确;
cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C,D错误.故选D.
6.(多选题)已知θ为三角形的一个内角,sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是( )
A.sin θ= B.cos θ=-
C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=
【答案】 ABD
【解析】 由题意知sin θ+cos θ=,所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,所以2sin θcos θ=
-<0,因为θ为三角形的一个内角,所以θ∈(0,π),则sin θ>0,cos θ<0,所以<θ<π,
所以sin θ-cos θ>0,所以sin θ-cos θ== = =,
所以sin θ=,cos θ=-,所以tan θ=-.故选ABD.
7.已知=,则tan α= .
【答案】
【解析】 因为=
=
===,
解得tan α=.
8.sin-cos+tan(-)= .
【答案】 0
【解析】 sin-cos+tan(-)=sin(+4π)-cos(-+4π)+tan(--3π)=sin-cos-tan=-(-)-1=0.
9.若<α<2π,则+= .
【答案】 -
【解析】 由<α<2π,得sin α<0,
+=+=+=+=-.
10. 已知sin θ,cos θ是方程3x2-2x+m=0的两个实数根.
(1)求m的值;
(2)若θ为第二象限角,求cos θ-sin θ的值.
【解】 (1)由题意知sin θ,cos θ是方程3x2-2x+m=0的两个实数根,故Δ=4-12m≥0,所以m≤,且sin θ+cos θ=,sin θcos θ=,因为(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=1,故-=1,解得m=-,
满足m≤,故m=-.
(2)因为θ为第二象限角,所以sin θ>0,cos θ<0,则cos θ-sin θ<0,
由(1)知sin θcos θ==-,所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,
则cos θ-sin θ=-.
强化练
11.已知cos 167°=m,则tan 193°等于( )
A. B.
C.- D.-
【答案】 C
【解析】 tan 193°=tan(360°-167°)=-tan 167°=-,因为cos 167°=m,
所以sin 167°=,所以tan 193°=-.故选C.
12. (多选题)已知sin(α-π)+2sin(α+)=0,则下列结论正确的是( )
A.tan α=2
B. sin α-cos α=
C.sin αcos α+cos2α=
D. =
【答案】 AC
【解析】 由sin(α-π)+2sin(α+)=0,
得-sin α+2cos α=0,所以tan α=2,故A正确;
sin αcos α+cos2α====,故C正确;
===3,故D错误;
因为tan α=2>0,所以α为第一或第三象限角,
若α为第一象限角,则解得所以sin α-cos α=,
若α为第三象限角,则解得所以sin α-cos α=-,
所以B错误.故选AC.
13.已知tan θ+=4,则sin4θ+cos4θ等于 .
【答案】
【解析】 因为tan θ+=+===4.
所以sin θcos θ=,
所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×()2=.
14.已知sin(π-α)-cos(π+α)=,且0<α<π,求:
(1)sin α-cos α;
(2)sin3(π+α)+cos3(-α).
【解】 (1)由sin(π-α)-cos(π+α)=,得sin α+cos α=,所以1+2sin αcos α=,故2sin αcos α=-,又0<α<π,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,
所以sin α-cos α====.
(2)sin3(π+α)+cos3(-α)=cos3α-sin3α
=(cos α-sin α)(cos2α+cos αsin α+sin2α)
=(-)×(1-)=-.
15.已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α∈(0,2π),且f(α)=-,求α的值;
(3)若α是第三象限角,且sin(π+α)=,求f(π-α)的值.
【解】 (1)依题意,f(α)==cos α.
(2)由(1)知,cos α=-,而α∈(0,2π),所以α=或α=.
(3)由sin(π+α)=,得sin α=-,由α是第三象限角,得cos α=-=-,
所以f(π-α)=cos(π-α)=-cos α=.
