第7节 离散型随机变量及其分布列、数字特征
基础练
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,…,则P(1
A. B.
C. D.
2.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
3.(2025·浙江绍兴模拟)盒中有大小相同的5个红球和3个白球,从中随机摸出3个小球,记摸到白球的个数为X,则随机变量X的数学期望 E(X)=( )
A. B.
C. D.
4.已知随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=( )
A. B.
C. D.1
5.(多选题)(2025·福建福州模拟)一盒中有7个乒乓球.其中5个未使用过,2个已使用过,现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是( )
A.X的所有可能取值是3,4,5
B.X最有可能的取值是5
C.X等于3的概率为
D.X的数学期望是
6.(多选题)(2025·湖南永州模拟)已知X 0 1 2
P p-p2 1-p p2
A.P(X=2)的值最大
B.P(X=0)C.E(X)随着概率的增大而减小
D.E(X)随着概率的增大而增大
7.(2025·四川攀枝花模拟)某老师从课本上抄录的一个随机变量X的分布列如下表:
X 1 2 3
P !
尽管“!”与“ ”处无法完全看清,但能肯定两个“ ”处的数值相同,据此,E(X)= .
8.同时抛掷三枚相同的质地均匀的硬币,设随机变量X=1表示结果中有正面朝上,X=0表示结果中没有正面朝上,则D(X)= .
9.(2025·安徽临泉模拟)随机变量ξ的分布列如下:
ξ -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|=1)= ,公差d的取值范围是 .
10.(2025·广西南宁模拟)设箱子里装有除颜色外完全相同的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个.
(1)若甲从中一次性摸出2个球,求两个球颜色不相同的概率;
(2)若乙从中一次性取出3个球,设3个球中的红球个数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
强化练
11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A. B.
C. D.
12.(2025·江苏苏州模拟)某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛两局得分的数学期望为2,则ab的最大值为 .
13.(2025·安徽合肥模拟)为提高生态环境的保护意识,某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级分为两个级部,一级部有男生400人,女生200人;二级部有男生100人,女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从一级部学生中抽取6人,从二级部学生中抽取4人,组成环境保护兴趣小组,再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生,而且这两个男生中一、二级部学生都有”,求事件A发生的概率;
(2)用X表示抽取的4人中二级部女生的人数,求X的分布列及方差.
拓展练
14.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是 .
15.(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.第7节 离散型随机变量及其分布列、数字特征
基础练
1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,…,则P(1A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 P(12.若随机变量X的分布列为
X -2 -1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA.(-∞,2] B.[1,2]
C.(1,2] D.(1,2)
【答案】 C
【解析】 由随机变量X的分布列知,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,故当P(X3.(2025·浙江绍兴模拟)盒中有大小相同的5个红球和3个白球,从中随机摸出3个小球,记摸到白球的个数为X,则随机变量X的数学期望 E(X)=( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 因为盒中有大小相同的5个红球和3个白球,
从中随机摸出3个小球,记摸到白球的个数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,
所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.故选B.
4.已知随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则D(X)=( )
A. B.
C. D.1
【答案】 B
【解析】 设P(X=1)=p,P(X=2)=q,
由题意得E(X)=0×+p+2q=1,且+p+q=1,解得p=,q=,
所以D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=.故选B.
5.(多选题)(2025·福建福州模拟)一盒中有7个乒乓球.其中5个未使用过,2个已使用过,现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是( )
A.X的所有可能取值是3,4,5
B.X最有可能的取值是5
C.X等于3的概率为
D.X的数学期望是
【答案】 AC
【解析】 记未使用过的乒乓球为A,已使用过的为B,
任取3个球的所有可能是1A2B,2A1B,3A,
A使用后成为B,故X的所有可能取值是3,4,5,故A正确;
P(X=3)==,P(X=4)==,
P(X=5)==,所以X最有可能的取值是4,故B错误,C正确;
E(X)=3×+4×+5×=.故D错误.故选AC.
6.(多选题)(2025·湖南永州模拟)已知X 0 1 2
P p-p2 1-p p2
A.P(X=2)的值最大
B.P(X=0)C.E(X)随着概率的增大而减小
D.E(X)随着概率的增大而增大
【答案】 BD
【解析】 由,A错误;
因为即P(X=0)E(X)=(1-p)+2p2=2(p-)2+,
因为7.(2025·四川攀枝花模拟)某老师从课本上抄录的一个随机变量X的分布列如下表:
X 1 2 3
P !
尽管“!”与“ ”处无法完全看清,但能肯定两个“ ”处的数值相同,据此,E(X)= .
【答案】 2
【解析】 设P(X=1)=P(X=3)=a,P(X=2)=b,则2a+b=1.于是E(X)=a+2b+3a=2(2a+b)=2.
8.同时抛掷三枚相同的质地均匀的硬币,设随机变量X=1表示结果中有正面朝上,X=0表示结果中没有正面朝上,则D(X)= .
【答案】
【解析】 由题意可知,P(X=0)=()3=,P(X=1)=1-=,所以E(X)=0×+1×=,
所以D(X)=×(0-)2+×(1-)2=.
9.(2025·安徽临泉模拟)随机变量ξ的分布列如下:
ξ -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|=1)= ,公差d的取值范围是 .
【答案】 [-,]
【解析】 因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
又由分布列的性质,可得a+b+c=1,所以b=,
所以P(|ξ|=1)=a+c=,
又由a=-d,c=+d,
根据分布列的性质,可得0≤-d≤且0≤+d≤,解得-≤d≤,即公差d的取值范围是[-,].
10.(2025·广西南宁模拟)设箱子里装有除颜色外完全相同的3个红球及白球、黑球、黄球、绿球各1个.
(1)若甲从中一次性摸出2个球,求两个球颜色不相同的概率;
(2)若乙从中一次性取出3个球,设3个球中的红球个数为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
【解】 (1)记“甲从中一次性摸出2个球,两个球颜色不相同”为事件A,甲从中一次性摸出2个球共有=21(种),两个球颜色不相同有+=12+6=18(种),所以P(A)==.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,
且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×==.
强化练
11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 由已知,ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮比赛停止的概率为()2+()2=.
若该轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.
所以P(ξ=2)=,P(ξ=4)=×=,P(ξ=6)=()2=,所以E(ξ)=2×+4×+6×=.故选B.
12.(2025·江苏苏州模拟)某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分,平一局得1分,负一局得0分,某参赛队员比赛一局胜的概率为a,平局的概率为b,负的概率为c(a,b,c∈[0,1)),已知他比赛两局得分的数学期望为2,则ab的最大值为 .
【答案】
【解析】 比赛两局的得分X的可能取值为0,1,2,3,4,6,
P(X=0)=c2,P(X=1)=2bc,P(X=2)=b2,P(X=3)=2ac,P(X=4)=2ab,P(X=6)=a2,
则E(X)=2bc+2b2+6ac+8ab+6a2=2b(1-a-b)+2b2+6a(1-a-b)+8ab+6a2=6a+2b=2,
则有3a+b=1≥2,得ab≤,当且仅当 3a=b,即a=,b=时,等号成立,所以ab的最大值
为.
13.(2025·安徽合肥模拟)为提高生态环境的保护意识,某校高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级分为两个级部,一级部有男生400人,女生200人;二级部有男生100人,女生300人.现按男、女用分层随机抽样的方法从一级部学生中抽取6人,从二级部学生中抽取4人,组成环境保护兴趣小组,再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生,而且这两个男生中一、二级部学生都有”,求事件A发生的概率;
(2)用X表示抽取的4人中二级部女生的人数,求X的分布列及方差.
【解】 (1)由题意可得,抽取了一级部男生4人,女生2人,二级部男生1人,女生3人,
所以P(A)===.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=,
所以D(X)=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×=.
拓展练
14.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是 .
【答案】 (1 000,20 000)
【解析】 设保险公司的收益为X,则X的所有可能取值有100,100-a(a>1 000),
由已知P(X=100)=0.995,
P(X=100-a)=0.005.
所以随机变量X的分布列为
X 100 100-a
P 0.995 0.005
所以E(X)=100×0.995+0.005(100-a)=100-0.005a,
令100-0.005a>0,解得a<20 000,
故1 000所以为确保保险公司有可能获益,a的取值范围是(1 000,20 000).
15.(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;
(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题 并说明理由.
【解】 (1)由题意得,X的所有可能取值为0,20,100,
P(X=0)=1-0.8=0.2,
P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32,
P(X=100)=0.8×0.6=0.48,
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)当小明先回答A类问题时,由(1)可得E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
当小明先回答B类问题时,记Y为小明的累计得分,
则Y的所有可能取值为0,80,100,
P(Y=0)=1-0.6=0.4,
P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12,
P(Y=100)=0.6×0.8=0.48,
所以Y的分布列为
Y 0 80 100
P 0.4 0.12 0.48
E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.
因为57.6>54.4,即E(Y)>E(X),所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.