第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
基础练
1.(2025·江苏南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲、乙两人各自行动,则在这段时间内,甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是( )
A.0.3 B.0.32
C.0.8 D.0.84
【答案】 C
【解析】 依题意,在这段时间内,甲、乙都不去参观市博物馆的概率为P1=(1-0.6)×(1-0.5)=
0.2,所以在这段时间内,甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率P=1-P1=1-0.2=0.8.故选C.
2.羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.规则为:每局两人比赛,另一人担任裁判.每局比赛结束时,负方在下一局比赛中担任裁判.如果第一局甲担任裁判,则第三局甲还担任裁判的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当,所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是,
第二局若是乙当裁判,则第三局甲或丙担任裁判的概率都是,
第二局若是丙当裁判,则第三局甲或乙担任裁判的概率都是,
由全概率公式可知,如果第一局甲担任裁判,
则第三局甲还担任裁判的概率为P=×+×=.故选C.
3.某工厂生产了一批产品,检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测,现已知这5件产品中有3件合格品、2件次品,从中不放回地取出产品,每次1件,共取两次.已知第一次取得次品,则第二次取得合格品的概率是( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 设事件A=“第一次取得次品”,事件B=“第二次取得合格品”,
则P(A)=,P(AB)=×=,
故P(B|A)===.故选C.
4.(2025·河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三人参加射击比赛,甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为,,,且每个人射击相互独立,若每人各射击一次,则在三人中恰有两人命中的前提下,甲命中的概率为( )
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 设“甲、乙、丙三人射击一次命中”分别为事件A,B,C,“每人各射击一次,在三人中恰有两人命中”为事件D,
则P(D)=P(BC)+P(AC)+P(AB)=××+××+××=,
P(AD)=P(AC)+P(AB)=××+××=,则P(A|D)===.故选D.
5.(多选题)(2025·山东日照模拟)同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,记“甲正面向上”为事件A,“乙正面向上”为事件B,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C,则下列说法正确的是( )
A.A与B相互独立
B.A与B互斥
C.P(B|C)=
D.P(C)=
【答案】 AC
【解析】 对于A,依题意P(A)=,P(B)=,
P(AB)===P(A)P(B),
所以事件A与B相互独立,故A正确;
对于B,由题意可知,事件A与事件B有可能同时发生,例如“甲正面向上且乙正面向上”,故事件A与B不是互斥事件,故B错误;
对于C,D,P(C)=1-×=,因为B C,所以P(BC)=P(B)=,
所以P(B|C)===,故C正确,D错误.故选AC.
6.(多选题)(2025·贵州遵义模拟)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,经他研究,随机事件A,B存在如下关系:P(A|B)=.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件,甲车床加工的次品率为8%,乙车床加工的次品率为6%,丙车床加工的次品率为5%,加工出来的零件混放在一起,且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%,40%,30%,设事件A1,A2,A3分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床,事件B表示任取一个零件为次品,则下列说法正确的是( )
A.P(A2B)=0.024 B.P(B|A3)=0.015
C.P(B)=0.063 D.P(A1|B)=
【答案】 ACD
【解析】 对于A,P(A2B)=P(B|A2)P(A2)=0.06×0.40=0.024,故A正确;
对于B,因为事件B|A3可理解为在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品,故有 P(B|A3)=5%,故B错误;
对于C,P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.08×0.30+
0.06×0.40+0.05×0.30=0.024+0.024+0.015=0.063,故C正确;
对于D,P(A1|B)===,故D正确.故选ACD.
7.已知P(B)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(A)= .
【答案】
【解析】 由P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|),
得 =P(A)×+[1-P(A)]×,
解得P(A)=.
8.(2025·山东聊城模拟)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为 .
【答案】
【解析】 设事件A为“周二值班”,事件B为“周三值班”,则P(A)==,
P(AB)==,故P(B|A)==.
9.(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛,有A,B,C 3种题库,A题库有5 000道题,B题库有
4 000道题,C题库有3 000道题.小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72,现他从所有的题中随机选一题,正确率是 .
【答案】 0.85
【解析】 由题意知,A,B,C题库的比例为5∶4∶3,各占比分别为,,,
则根据全概率公式知所求正确率P=×0.92+×0.86+×0.72=0.85.
10.(2025·陕西榆林模拟)已知甲农户种植了矮丛蓝莓、高丛蓝莓、兔眼蓝莓3种蓝莓,这
3种蓝莓年产量各自达到500 kg的概率分别为,,.
(1)求这3种蓝莓年产量都达到500 kg的概率;
(2)求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到 500 kg 的概率.
【解】 (1)因为这3种蓝莓年产量各自达到500 kg的概率分别为,,,
所以这3种蓝莓年产量都达到500 kg的概率为××=.
(2)这3种蓝莓中没有1种蓝莓年产量达到 500 kg 的概率为(1-)×(1-)×(1-)=,
这3种蓝莓中恰有1种蓝莓年产量达到500 kg的概率为
×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=,
则这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到 500 kg 的概率为+=.
强化练
11.一个正八面体的八个面上分别标有数字1到8,将其随机抛掷两次,记与地面接触面上的数字依次为x1,x2,事件A=“x1=3”,事件B=“x2=6”,事件C=“x1+x2=9”,则( )
A.AB=C B.A+B=C
C.A,B互斥 D.B,C相互独立
【答案】 D
【解析】 对于A,事件C发生时,事件AB不一定发生,所以A错误;
对于B,事件C发生时,事件A+B不一定发生,所以B错误;
对于C,当x1=3,x2=6时,事件A,B同时发生,所以C错误;
对于D,P(B)=,P(C)=,P(BC)=,P(B)P(C)=P(BC),所以B,C相互独立,D正确.故选D.
12.(多选题)(2025·广东佛山模拟)中国象棋是一种益智游戏,也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛,小明作为选手参加.除小明之外的其他选手中,甲、乙两组的人数之比为2∶1,小明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,下列说法正确的是( )
A.小明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B.小明获胜的概率为
C.若小明获胜,则棋手来自甲组的概率为
D.若小明获胜,则棋手来自乙组的概率为
【答案】 ABC
【解析】 设事件A为“小明与甲组选手比赛”,事件B为“小明与乙组选手比赛”,事件C为“小明获胜”,则由题可知P(A)=,P(B)=,
对于A,小明与甲组选手比赛且获胜的概率为P(AC)=P(A)P(C|A)=×0.6=,故A正确;
对于B,小明获胜的概率为P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×0.6+×0.5=,故B正确;
对于C,若小明获胜,则棋手来自甲组的概率为P(A|C)===,故C正确;
对于D,若小明获胜,则棋手来自乙组的概率为P(B|C)====,故D错误.故选ABC.
13.现有两位游客慕名到某地旅游,他们分别从摩天轮、古镇、观光游船等6个景点中随机选择1个景点游玩,记事件A为“两位游客中至少有一人选择摩天轮”,事件B为“两位游客选择的景点不同”,则P(A)= ,P(B|A)= .
【答案】
【解析】 由题意,两位游客从6个景点中随机选择1个景点游玩,每人都有6种不同的选法,故共有 6×6=36(种)不同的选法.两人都不选择摩天轮的方法有5×5=25(种),
故两位游客中至少有一人选择摩天轮的方法共有36-25=11(种),
所以两位游客中至少有一人选择摩天轮的概率P(A)=.
AB表示“两位游客中至少有一人选择摩天轮,且两位游客选择的景点不同”,即一人选择摩天轮,另一人选择其他景点,共有=10(种)选法,故P(AB)==,
所以P(B|A)===.
14.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
【解】 (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄 =10×(5×0.001+15×0.002+25×0.012+
35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)=47.9.
(2)法一 由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30),[30,40),
[40,50),[50,60),[60,70)组成的,且相互独立,
所以所求的概率P=(0.012+0.017×2+0.023+0.020)×10=0.89.
法二 由于患者的年龄位于区间[20,70)是由患者的年龄位于区间[20,30),[30,40),[40,50),
[50,60),[60,70)组成的,且相互独立,
所以所求的概率P=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=0.89.
(3)设“从该地区任选一人,年龄位于区间[40,50)”为事件A,“患这种疾病”为事件B,
则P(A)=16%,
由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间[40,50)的概率为0.023×10=0.23,
结合该地区这种疾病的患病率为0.1%,可得P(AB)=0.1%×0.23=0.000 23,
所以从该地区任选一人,若年龄位于区间[40,50),
则此人患这种疾病的概率为P(B|A)==≈0.001 4.
15.(2025·山东德州模拟)甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,且每场比赛结果互不影响.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
【解】 (1)甲连胜四场只能是前四场全胜,则P1=()4=.
(2)记事件A为“甲输”,事件B为“乙输”,事件C为“丙输”,故四场后结束比赛的概率
P=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BCBC)+P(BABA)=4×()4=,
故需要进行第五场比赛的概率P2=1-=.
(3)法一 记事件M为“甲最终获胜”,记事件N为“丙最终获胜”,则甲最终获胜的情况有BCBC,ABCBC,ACBCB,BABCC,BACBC,BCACB,BCABC,BCBAC,则甲最终获胜的概率为
P(M)=()4+()5×7=;
由对称性可知乙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等,
所以丙最终获胜的概率P(N)=1-2×=.
法二 ①只打四场比赛,此时丙只需赢三场,即第
二场至第四场,其概率为()3=.
②打五场比赛,最后一场丙赢,则丙在第二、第三、第四场比赛必然输一场,因此需分情况进行讨论:
(ⅰ)若丙第二场输,则第四场和第五场丙赢,其概率为()3=;
(ⅱ)若丙第三场输,则第二场和第五场丙赢,其概率为()3=;
(ⅲ)若丙第四场输,则前三场必有一人被淘汰,其概率为2×()5=.
综上所述,丙获胜的概率P=+++=.第6节 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
基础练
1.(2025·江苏南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲、乙两人各自行动,则在这段时间内,甲、乙两人至少有一个去参观市博物馆的概率是( )
A.0.3 B.0.32
C.0.8 D.0.84
2.羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.规则为:每局两人比赛,另一人担任裁判.每局比赛结束时,负方在下一局比赛中担任裁判.如果第一局甲担任裁判,则第三局甲还担任裁判的概率为( )
A. B.
C. D.
3.某工厂生产了一批产品,检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测,现已知这5件产品中有3件合格品、2件次品,从中不放回地取出产品,每次1件,共取两次.已知第一次取得次品,则第二次取得合格品的概率是( )
A. B.
C. D.
4.(2025·河北衡水模拟)已知甲、乙、丙三人参加射击比赛,甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为,,,且每个人射击相互独立,若每人各射击一次,则在三人中恰有两人命中的前提下,甲命中的概率为( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)(2025·山东日照模拟)同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币,记“甲正面向上”为事件A,“乙正面向上”为事件B,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C,则下列说法正确的是( )
A.A与B相互独立
B.A与B互斥
C.P(B|C)=
D.P(C)=
6.(多选题)(2025·贵州遵义模拟)英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,经他研究,随机事件A,B存在如下关系:P(A|B)=.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件,甲车床加工的次品率为8%,乙车床加工的次品率为6%,丙车床加工的次品率为5%,加工出来的零件混放在一起,且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%,40%,30%,设事件A1,A2,A3分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床,事件B表示任取一个零件为次品,则下列说法正确的是( )
A.P(A2B)=0.024 B.P(B|A3)=0.015
C.P(B)=0.063 D.P(A1|B)=
7.已知P(B)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(A)= .
8.(2025·山东聊城模拟)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为 .
9.(2024·上海卷)某校举办科学竞技比赛,有A,B,C 3种题库,A题库有5 000道题,B题库有
4 000道题,C题库有3 000道题.小申已完成所有题,他A题库的正确率是0.92,B题库的正确率是0.86,C题库的正确率是0.72,现他从所有的题中随机选一题,正确率是 .
10.(2025·陕西榆林模拟)已知甲农户种植了矮丛蓝莓、高丛蓝莓、兔眼蓝莓3种蓝莓,这
3种蓝莓年产量各自达到500 kg的概率分别为,,.
(1)求这3种蓝莓年产量都达到500 kg的概率;
(2)求这3种蓝莓中至多有1种蓝莓年产量达到 500 kg 的概率.
强化练
11.一个正八面体的八个面上分别标有数字1到8,将其随机抛掷两次,记与地面接触面上的数字依次为x1,x2,事件A=“x1=3”,事件B=“x2=6”,事件C=“x1+x2=9”,则( )
A.AB=C B.A+B=C
C.A,B互斥 D.B,C相互独立
12.(多选题)(2025·广东佛山模拟)中国象棋是一种益智游戏,也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛,小明作为选手参加.除小明之外的其他选手中,甲、乙两组的人数之比为2∶1,小明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6,0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,下列说法正确的是( )
A.小明与甲组选手比赛且获胜的概率为
B.小明获胜的概率为
C.若小明获胜,则棋手来自甲组的概率为
D.若小明获胜,则棋手来自乙组的概率为
13.现有两位游客慕名到某地旅游,他们分别从摩天轮、古镇、观光游船等6个景点中随机选择1个景点游玩,记事件A为“两位游客中至少有一人选择摩天轮”,事件B为“两位游客选择的景点不同”,则P(A)= ,P(B|A)= .
14.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
15.(2025·山东德州模拟)甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为,且每场比赛结果互不影响.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
