第4节 随机事件、频率与概率
基础练
1.下列事件中不可能事件和必然事件的总个数是( )
①明年8月18日,A市不下雨;
②在标准大气压下,水在4 ℃时结冰;
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;
④x∈R,则|x|的值不小于0.
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 ①为随机事件,②为不可能事件,③为随机事件,④为必然事件.故选B.
2.从1,2,3,4中任取2个数,设事件A=“2个数都为偶数”,B=“2个数都为奇数”,C=“至少1个数为奇数”,D=“至少1个数为偶数”,则下列结论正确的是( )
A.A与B是互斥事件
B.A与C是互斥但不对立事件
C.C与D是互斥事件
D.A与D是对立事件
【答案】 A
【解析】 根据题意样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},A={(2,4)},B={(1,3)},C=
{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(3,4)},D={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},则A∩B=,所以A与B是互斥事件,A正确;A∩C=,A∪C=Ω,所以A与C是互斥且对立事件,B错误;C∩D={(1,2),(1,4),
(2,3),(3,4)},所以C与D不是互斥事件,C错误;A∩D={(2,4)},所以A与D不是对立事件,D错误.故选A.
3.(2025·广东佛山模拟)向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件A表示两次点数之和小于8,事件B表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除,则事件A∩B用样本点表示为( )
A.{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
B.{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)}
C.{(1,5),(2,4),(3,3)}
D.{(1,5),(2,4)}
【答案】 A
【解析】 依题意,事件A∩B表示两次点数之和为6,
因此事件A∩B用样本点表示为{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.故选A.
4.(2025·江苏无锡模拟)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图(1)所示,则符合这一结果的试验是( )
A.抛一枚硬币,正面朝上的概率
B.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率
C.转动如图(2)所示的转盘,转到数字为奇数的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率
【答案】 D
【解析】 根据统计图可知,实验结果在0.33附近波动,即其概率P=,选项A,掷一枚硬币,出现正面朝上的概率为,故此选项不符合题意;选项B,掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率为,故此选项不符合题意;选项C,转动如题图(2)所示的转盘,转到数字为奇数的概率为,故此选项不符合题意;选项D,从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率为,故此选项符合题意.故选D.
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.小胡同学在罚球线投篮8次,命中6次,则小胡同学每次投篮命中的概率一定为
B.频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性的大小
C.某类种子发芽的概率为0.85,若我们抽取2 000 粒种子试种,一定会有1 700粒种子发芽
D.随着试验次数足够多,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值
【答案】 BD
【解析】 对于A,小胡同学在罚球线投篮8次,命中6次,则小胡同学每次投篮命中的频率为,不是概率,故A错误;对于B,D,运用频率的定义,概率与频率的关系可判断都正确,故B,D正确;对于C, 某类种子发芽的概率为0.85,若我们抽取2 000粒种子试种,不一定会有1 700粒种子发芽,故C错误.故选BD.
6.(多选题)口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状大小完全相同的小球,从中任取2球,事件A=“取出的两球同色”,B=“取出的2 球中至少有一个黄球”,C=“取出的2球中至少有一个白球”,D=“取出两个球不同色”,E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是( )
A.事件A与D为对立事件
B.事件B与C是互斥事件
C.事件C与E为对立事件
D.P(C∪E)=1
【答案】 AD
【解析】 设Ω是样本空间,
A选项,由于A∪D=Ω,A∩D=,所以A与D是对立事件,A选项正确;
B选项,由于B∩C=“取出的2球中,一个黄球一个白球”,所以B与C不是互斥事件,B选项错误;
C选项,由于C∩E=“取出的2球中,恰好有1个白球”,所以C与E不是对立事件,C选项
错误;
D选项,由于C∪E=Ω,所以P(C∪E)=1,D选项正确.故选AD.
7.某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下:
命中环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 4 5 6 9 10 18 26 12 8
如果这名运动员只射击一次,估计射击成绩是6环的概率为 ,不少于9环的概率为 .
【答案】
【解析】 由题表得,如果这名运动员只射击一次,估计射击成绩是6环的概率为=,不少于9环的概率为=.
8.打靶3次,设事件Ai=“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示的事件为 .
【答案】 至少击中1发
【解析】 A=A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,
则可能击中1发、2发或3发,即至少击中1发.
9.某中学举办电脑知识竞赛,满分为100分,80分以上为优秀(含80分),现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),第三组[70,80),第四组[80,90),第五组[90,100],其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小组的频数是40,则参赛的人数为 ,成绩优秀的概率是 .
【答案】 100 0.15
【解析】 因为第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,所以第二小组的频率为1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4,因为第二小组的频数是40,所以参赛的人数为=100,因为80分以上的频率为0.10+0.05=0.15,所以成绩优秀的经验概率是0.15.
10.(2025·湖北荆州模拟)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险 次数 0 1 2 3 4 ≥5
人数 60 50 30 30 20 10
(1)记事件A为“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)求续保人本年度平均保费的估计值.
【解】 (1)事件A的人数为60+50=110,由于该险种有200名续保人,所以P(A)的估计值为=.
(2)续保人本年度的平均保费估计值为
=×(0.85a×60+a×50+1.25a×30+1.5a×30+1.75a×20+2a×10)=1.192 5a.
强化练
11.(2025·广东汕头模拟)如果事件A,B是互斥事件,记它们的对立事件分别为,,那么( )
A.与一定互斥
B.与一定不互斥
C.∪是必然事件
D.A∪B是必然事件
【答案】 C
【解析】 对于A,举反例,在掷骰子的实验中,A={1},B={2},而={2,3,4,5,6},={1,3,4,5,6},由∩={3,4,5,6},故A错误;
对于B,举反例,在掷骰子的实验中,A=“点数为奇数”,B=“点数为偶数”,而=“点数为偶数”,=“点数为奇数”,由∩=,故B错误;
对于C,A,B互斥即A∩B为不可能事件,则为必然事件,即∪为必然事件,故C正确;
对于D,举反例,在掷骰子的实验中,A={1},B={2},由A∪B={1,2},故D错误.故选C.
12.(多选题)某超市随机选取1 000名顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理得到如下所示的统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
根据表中数据,下列结论正确的是( )
A.顾客购买乙商品的概率最大
B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C.顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D.估计顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由于购买甲商品的顾客有685名,购买乙商品的顾客有515名,故A错误;对于B,从统计表可以看出,在这1 000名顾客中,有200名顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2,故B正确;对于C,从统计表可以看出,在这1 000名顾客中,有100名顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200名顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多同时购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3,故C正确;对于D,从统计表可以看出,在这1 000名顾客中,有183名顾客仅购买1种商品,所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2,故D正确.故选BCD.
13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.
现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是 ,他属于不超过2个小组的概率是 .
【答案】
【解析】 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为P==.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”.
故他属于不超过2个小组的概率是P=1-=.
14.在试验E“连续抛掷一枚骰子两次,观察每次掷出的点数”中,事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”,事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B;
(2)试判断事件A与B,A与C,B与C是否为互斥事件;
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
【解】 由题意可知试验E的样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),
(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.
(1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),即A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}.
因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有(1,5),(2,4),
(3,3),(4,2),(5,1),即B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
所以A∩B={(1,5)},A∪B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,
所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}.
因为A∩B={(1,5)}≠,A∩C={(1,4)}≠,B∩C=,所以事件A与B,事件A与C不是互斥事件,事件B与C是互斥事件.
(3)因为事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,
所以A1={(1,1)},A2={(1,2)},A3={(1,3)},A4={(1,4)},A5={(1,5)},A6={(1,6)},
所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
15.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:mm)有关数据统计如下:当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,
160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表:近20年六月份降雨量频率分布表.
降雨量/ mm 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
【解】 (1)在所给数据中,降雨量为110 mm的有3个,为160 mm的有7个,为200 mm的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量/ mm 70 110 140 160 200 220
频率
(2)依题意,得Y=+425,所以当Y<490时,X<130;当Y>530时,X>210.
记“六月份发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”为事件A,则P(A)=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=++=0.3.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为0.3.第4节 随机事件、频率与概率
基础练
1.下列事件中不可能事件和必然事件的总个数是( )
①明年8月18日,A市不下雨;
②在标准大气压下,水在4 ℃时结冰;
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;
④x∈R,则|x|的值不小于0.
A.1 B.2
C.3 D.4
2.从1,2,3,4中任取2个数,设事件A=“2个数都为偶数”,B=“2个数都为奇数”,C=“至少1个数为奇数”,D=“至少1个数为偶数”,则下列结论正确的是( )
A.A与B是互斥事件
B.A与C是互斥但不对立事件
C.C与D是互斥事件
D.A与D是对立事件
3.(2025·广东佛山模拟)向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件A表示两次点数之和小于8,事件B表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除,则事件A∩B用样本点表示为( )
A.{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}
B.{(1,5),(2,4),(4,2),(5,1)}
C.{(1,5),(2,4),(3,3)}
D.{(1,5),(2,4)}
4.(2025·江苏无锡模拟)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图(1)所示,则符合这一结果的试验是( )
A.抛一枚硬币,正面朝上的概率
B.掷一枚正六面体的骰子,出现1点的概率
C.转动如图(2)所示的转盘,转到数字为奇数的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球,恰好是蓝球的概率
5.(多选题)下列说法正确的是( )
A.小胡同学在罚球线投篮8次,命中6次,则小胡同学每次投篮命中的概率一定为
B.频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性的大小
C.某类种子发芽的概率为0.85,若我们抽取2 000 粒种子试种,一定会有1 700粒种子发芽
D.随着试验次数足够多,频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值
6.(多选题)口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状大小完全相同的小球,从中任取2球,事件A=“取出的两球同色”,B=“取出的2 球中至少有一个黄球”,C=“取出的2球中至少有一个白球”,D=“取出两个球不同色”,E=“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的是( )
A.事件A与D为对立事件
B.事件B与C是互斥事件
C.事件C与E为对立事件
D.P(C∪E)=1
7.某射击运动员平时100次训练成绩的统计结果如下:
命中环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 4 5 6 9 10 18 26 12 8
如果这名运动员只射击一次,估计射击成绩是6环的概率为 ,不少于9环的概率为 .
8.打靶3次,设事件Ai=“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示的事件为 .
9.某中学举办电脑知识竞赛,满分为100分,80分以上为优秀(含80分),现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),第三组[70,80),第四组[80,90),第五组[90,100],其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小组的频数是40,则参赛的人数为 ,成绩优秀的概率是 .
10.(2025·湖北荆州模拟)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险 次数 0 1 2 3 4 ≥5
人数 60 50 30 30 20 10
(1)记事件A为“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)求续保人本年度平均保费的估计值.
强化练
11.(2025·广东汕头模拟)如果事件A,B是互斥事件,记它们的对立事件分别为,,那么( )
A.与一定互斥
B.与一定不互斥
C.∪是必然事件
D.A∪B是必然事件
12.(多选题)某超市随机选取1 000名顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理得到如下所示的统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
根据表中数据,下列结论正确的是( )
A.顾客购买乙商品的概率最大
B.顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C.顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D.估计顾客仅购买1种商品的概率不大于0.2
13.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.
现随机选取一个成员,他属于至少2个小组的概率是 ,他属于不超过2个小组的概率是 .
14.在试验E“连续抛掷一枚骰子两次,观察每次掷出的点数”中,事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,事件Aj表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”,事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”.
(1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B;
(2)试判断事件A与B,A与C,B与C是否为互斥事件;
(3)试用事件Aj表示随机事件A.
15.某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:mm)有关数据统计如下:当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,
160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表:近20年六月份降雨量频率分布表.
降雨量/ mm 70 110 140 160 200 220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
