第2节 排列与组合
基础练
1.(2025·福建漳州模拟)+=( )
A.65 B.160
C.165 D.210
【答案】 C
【解析】 +=+=6×5×4+=165.故选C.
2.(2025·河南驻马店模拟)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有( )
A.18种 B.12种
C.9种 D.6种
【答案】 B
【解析】 由于1号盒子不能放1号和2号球,则1号盒子有3号球、4号球共2种方法,则剩下3个盒子各放一个球有种方法,一共有2×=12(种)方法.故选B.
3.有男、女教师各1名,男、女学生各2名,从中选派3人参加一项活动,要求其中至少有
1名女性,并且至少有1名教师,则不同的选派方案有( )
A.10种 B.12种
C.15种 D.20种
【答案】 C
【解析】 从6人中任选3人,有=20(种)选法,
其中,若全选男性或全选学生,有+=1+4=5(种)选法,
所以符合题意的选法共20-5=15(种).故选C.
4.(2025·宁夏石嘴山模拟)将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位,每人只去一个岗位,每个岗位都要有人去,则不同的分配方案种数为( )
A.72 B.36
C.12 D.144
【答案】 B
【解析】 依题意,必有一个工作岗位有2人,
则先把4人分为三组,其中一组有2人,另外两组各1人,有=6(种)分法,
再将这3组分配到三个不同的工作岗位,有=6(种)分法,
故共有6×6=36(种)分配方案.故选B.
5.(多选题)若m,n为正整数且 n>m>1,则( )
A.=
B.=
C.m=(n-1)
D.+m=
【答案】 AD
【解析】 对于A,由组合数性质可知=,故A正确;
对于B,=,故B错误;
对于C,m=m==n,(n-1)·=(n-1)·,左右两边不相等,故C错误;
对于D,+m=+m=(n-m+1)+m=(n+1)·==
,故D正确.故选AD.
6.(多选题)某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会,现有10名学生,其中
5名男生,5名女生,若从中选取4名学生参加研讨会,则( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
【答案】 AD
【解析】 选取的4名学生都是女生的不同选法共有=5(种),故A正确;
恰有2名女生的不同选法共有=100(种),故B错误;
至少有1名女生的不同选法共有-=205(种),故C错误;
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有++=155(种),故D正确.故选AD.
7.甲、乙、丙三家公司承包6项工程,甲承包3项,乙承包2项,丙承包1项,不同的承包方案共有 种.
【答案】 60
【解析】 由题意,不同的承包方案分2步完成,先让甲承包3项,有=20(种),再让乙承包
2项,有=3(种),剩下的1项丙承包,根据分步乘法计数原理可得不同的承包方案有20×3=60(种).
8.(2025·山东青岛模拟)五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序,从宫音开始到羽音,依次为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音阶排成一列,形成一个音序,且要求宫、羽两音阶不相邻,可排成不同的音序的种数为 .
【答案】 72
【解析】 先排其他三个,然后在空挡中插入宫、羽两音阶,方法种数为=72.
9.春耕期间,某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕,要求每人只去一个村庄,且这三个村庄都有人去,甲和乙不去同一个村庄,甲和丙去同一个村庄,则不同的分配方法共有 种.(用数字作答)
【答案】 30
【解析】 分两类考查:第一类,甲、丙两人去同一个村庄,共有种分配方法;
第二类,甲、丙和除乙以外的某一人去同一村庄,共有种分配方法.
故共有+=30(种)分配方法.
10.某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程,甲、乙、丙三名同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习,已知三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.
(1)三人共有多少种不同的课程选择种数
(2)若至少有两名同学选择《数学建模》,则三人共有多少种不同的选课种数
【解】 (1)因为每名同学都有四种不同的选择,所以选课种数为43=64.
(2)恰有两名同学选择《数学建模》,另一名同学在其他三门选一门,故选课种数为·=9,
三名同学都选择《数学建模》的选课种数为1,
所以若至少有两名同学选择《数学建模》,则三人共有10种不同的选课种数.
强化练
11.在一次民俗文化表演中,某部门安排了《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《祁阳小调》《道州调子戏》《女书表演》六个节目,其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻,则不同的安排种数为( )
A.480 B.240
C.384 D.1 440
【答案】 A
【解析】 第一步,将《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《女书表演》四个节目排列,有=24(种)排法;第二步,将《祁阳小调》《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端,有=20(种)插法,
所以共有24×20=480(种)不同的安排方法.故选A.
12.(2025·河南商丘模拟)已知x,y,z∈{-2,-1,0,1,2},且x2+y2+z2=5,则在空间直角坐标系 Oxyz 中,(x,y,z)对应的点的个数为( )
A.48 B.24
C.12 D.6
【答案】 B
【解析】 已知x,y,z∈{-2,-1,0,1,2},且x2+y2+z2=5,
则x,y,z在-2或2里取一个值,-1或1里取一个值,0必取值,
故符合的(x,y,z)对应的点的个数为=2×2×6=24.故选B.
13.每年的6月5日是世界环境日,某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动,学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区做宣传,其中这12名志愿者有2名教师、
4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.
(1)若选调的志愿者中恰有1名教师,且不含高三学生,则不同的选调方法有多少种
(2)若选调的志愿者中必有教师,则不同的选调方法有多少种
(3)若选调的志愿者必含教师和各年级学生,且高一与高二学生选调人数相等,则不同的选调方法有多少种
【解】 (1)选调的志愿者中恰有1名教师,先选1名教师,再从高一高二选5人,共有=2×56=112(种)选调方法.
(2)选调的志愿者中必有教师,有两种情况,选1名教师、5名学生和2名教师、4名学生,共有+=2×252+210=714(种)选调方法.
(3)选调的志愿者必含教师和各年级学生,且高一与高二学生选调人数相等,有两种情况,教师和高三学生各选1名,高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名,高一高二各选1名学生,共有+=2×2×6×6+1×1×4×4=160(种)选调方法.
拓展练
14.(2025·江西宜春模拟)甲、乙、丙、丁四所大学均有开设数学拔尖学生培养基地,已知某班级有A,B,C,D,E共5名同学,从中任选一所学校作为奋斗目标,每所学校至少有一名同学选择,则A同学选择甲校的不同选法共有( )
A.24种 B.60种
C.96种 D.240种
【答案】 B
【解析】 5名同学选择4所学校,每所学校至少有一名同学选择,则有两名同学选择了同一所学校,已知A同学选择甲校,
当有两名同学选择了甲校时,则B,C,D,E这4名同学在4所大学中分别选了一所,共=
24(种)选法;
当只有A同学选择了甲校时,则B,C,D,E这4名同学在其余3所大学中选择,每所学校至少有一名同学选择,则有两名同学选择了同一所学校,共=36(种)选法;
所以A同学选择甲校的不同选法共有24+36=60(种).故选B.
15.将2个男生和4个女生排成一排,试列式并用数字作答下列问题.
(1)男生不相邻的排法有多少种
(2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种
(3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种
(4)4个女生顺序一定的排法有多少种
【解】 (1)先对女生排列有种方法,再用插空法排列有种方法,则总计有·=
24×20=480(种)方法.
(2)先对女生排列有种方法,男生不相邻且也不排到两头,可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有·=24×6=144(种)方法.
(3)6个人全排列有种方法,一个男生和甲相邻有·种方法,
另外一个男生和甲相邻有·种方法,两个男生都和甲相邻有·种方法,
所以两个男生都不和甲相邻的排法有-·-·+·=720-240-240+48=
288(种).
(4)先确定4个女生顺序,则有5个空,根据插空法第一个男生有种方法,
然后根据插空法排另外一个男生有种方法,则总计有·=30(种)方法.第2节 排列与组合
基础练
1.(2025·福建漳州模拟)+=( )
A.65 B.160
C.165 D.210
2.(2025·河南驻马店模拟)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有( )
A.18种 B.12种
C.9种 D.6种
3.有男、女教师各1名,男、女学生各2名,从中选派3人参加一项活动,要求其中至少有
1名女性,并且至少有1名教师,则不同的选派方案有( )
A.10种 B.12种
C.15种 D.20种
4.(2025·宁夏石嘴山模拟)将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位,每人只去一个岗位,每个岗位都要有人去,则不同的分配方案种数为( )
A.72 B.36
C.12 D.144
5.(多选题)若m,n为正整数且 n>m>1,则( )
A.=
B.=
C.m=(n-1)
D.+m=
6.(多选题)某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会,现有10名学生,其中
5名男生,5名女生,若从中选取4名学生参加研讨会,则( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
7.甲、乙、丙三家公司承包6项工程,甲承包3项,乙承包2项,丙承包1项,不同的承包方案共有 种.
8.(2025·山东青岛模拟)五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序,从宫音开始到羽音,依次为宫、商、角、徵、羽.若将这五个音阶排成一列,形成一个音序,且要求宫、羽两音阶不相邻,可排成不同的音序的种数为 .
9.春耕期间,某农业局将甲、乙、丙等5位农业干部分配到3个村庄去指导农民春耕,要求每人只去一个村庄,且这三个村庄都有人去,甲和乙不去同一个村庄,甲和丙去同一个村庄,则不同的分配方法共有 种.(用数字作答)
10.某校高二年级开设了《数学建模》《电影赏析》《经典阅读》《英语写作》四门校本选修课程,甲、乙、丙三名同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习,已知三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.
(1)三人共有多少种不同的课程选择种数
(2)若至少有两名同学选择《数学建模》,则三人共有多少种不同的选课种数
强化练
11.在一次民俗文化表演中,某部门安排了《东安武术》《零陵渔鼓》《瑶族伞舞》《祁阳小调》《道州调子戏》《女书表演》六个节目,其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻,则不同的安排种数为( )
A.480 B.240
C.384 D.1 440
12.(2025·河南商丘模拟)已知x,y,z∈{-2,-1,0,1,2},且x2+y2+z2=5,则在空间直角坐标系 Oxyz 中,(x,y,z)对应的点的个数为( )
A.48 B.24
C.12 D.6
13.每年的6月5日是世界环境日,某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动,学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区做宣传,其中这12名志愿者有2名教师、
4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.
(1)若选调的志愿者中恰有1名教师,且不含高三学生,则不同的选调方法有多少种
(2)若选调的志愿者中必有教师,则不同的选调方法有多少种
(3)若选调的志愿者必含教师和各年级学生,且高一与高二学生选调人数相等,则不同的选调方法有多少种
拓展练
14.(2025·江西宜春模拟)甲、乙、丙、丁四所大学均有开设数学拔尖学生培养基地,已知某班级有A,B,C,D,E共5名同学,从中任选一所学校作为奋斗目标,每所学校至少有一名同学选择,则A同学选择甲校的不同选法共有( )
A.24种 B.60种
C.96种 D.240种
15.将2个男生和4个女生排成一排,试列式并用数字作答下列问题.
(1)男生不相邻的排法有多少种
(2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种
(3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种
(4)4个女生顺序一定的排法有多少种
