第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础练
1.每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁列车有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有( )
A.22种 B.33种
C.300种 D.3 600种
【答案】 B
【解析】 从甲地到乙地不同的方案种数为5+10+6+12=33.故选B.
2.(2025·湖南衡阳模拟)将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人,每人1张,不同的分法种数为( )
A.720 B.240
C.120 D.60
【答案】 A
【解析】 可分三步:第一步,第1张门票有10种不同的分法;第二步,第2张门票有9种不同的分法;第三步,第3张门票有8种不同的分法.由分步乘法计数原理得,共有10×9×8=720(种)不同的分法.故选A.
3.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成的不同的直线有( )
A.18条 B.20条
C.25条 D.10条
【答案】 A
【解析】 第一步取A的值,有5种取法,第二步取B的值,有4种取法,
其中当A=1,B=2时,与当 A=2,B=4时所得直线是相同的;
当A=2,B=1时,与当A=4,B=2时所得直线是相同的,
故共有5×4-2=18(条)不同的直线.故选A.
4.(2025·北京大兴模拟)中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种,其相互关系是“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”.将五种不同属性的物质任意排成一列,则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为( )
A.8 B.10
C.15 D.20
【答案】 B
【解析】 由题意知,可看作五个位置排列五个元素,
第一个位置有5种排列方法,不妨假设是金,
则第二步只能从土与水两者中选一种排放,有2种选择,不妨假设排上的是水,
第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,
故总的排列方法种数有5×2×1×1×1=10.故选B.
5.(多选题)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从M,N这两个集合中各选一个元素分别记作a,b,则下列说法正确的有( )
A.表示不同的正数的个数是6
B.表示不同的比1小的数的个数是6
C.(a,b)表示x轴上方不同的点的个数是6
D.(a,b)表示y轴右侧不同的点的个数是6
【答案】 BC
【解析】 对于选项A,若a,b均为正,共有2×2=4(个),若a,b均为负,共有1×2=2(个),但=,所以共有5个,所以选项A错误;
对于选项B,若 为正,显然均比1大,所以只需 为负即可,共有2×2+1×2=6(个),所以选项B正确;
对于选项C,要使(a,b)表示x轴上方的点,只需b为正即可,共有3×2=6(个),所以选项C正确;
对于选项D,要使(a,b)表示y轴右侧的点,只需a为正即可,共有2×4=8(个),所以选项D错误.故选BC.
6.(多选题)(2025·江西九江模拟)现有4个数学课外兴趣小组,第一、二、三、四组分别有
7人、8人、9人、10人,则下列说法正确的是( )
A.选1人为负责人的选法种数为34
B.每组选1名组长的选法种数为5 400
C.若推选2人发言,这2人需来自不同的小组,则不同的选法种数为420
D.若另有3名学生加入这4个小组,加入的小组可自由选择,且第一组必须有人选,则不同的选法有37种
【答案】 AD
【解析】 对于A,4个数学课外兴趣小组共有7+8+9+10=34(人),故选1人为负责人的选法共有34种,A正确;
对于B,分四步:第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长,所以不同的选法共有7×8×9×10=5 040(种),B错误;
对于C,分六类:从第一、二组中各选1人,有7×8种不同的选法,
从第一、三组中各选1人,有7×9种不同的选法,
从第一、四组中各选1人,有7×10种不同的选法,
从第二、三组中各选1人,有8×9种不同的选法,
从第二、四组中各选1人,有8×10种不同的选法,
从第三、四组中各选1人,有9×10种不同的选法,
所以不同的选法共有7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种),C错误;
对于D,若不考虑限制条件,每个人都有4种选法,共有43=64(种)选法,其中第一组没有人选,每个人都有3种选法,共有33=27(种)选法,所以不同的选法有64-27=37(种),D正确.故选AD.
7.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 .
【答案】 11
【解析】 完成这件事有三类方法.
第一类,有两个对应位置上的数字相同,此时有6个信息;
第二类,有一个对应位置上的数字相同,此时有4个信息;
第三类,有零个对应位置上的数字相同,此时有1个信息.
根据分类加法计数原理,至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.
8.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后的项数为 .
【答案】 60
【解析】 从第一个括号中选一个字母有3种方法,从第二个括号中选一个字母有4种方法,从第三个括号中选一个字母有5种方法,故根据分步乘法计数原理可知共有N=3×4×5=60(项).
9.(2025·福建龙岩模拟)4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中
3张卡片排放在一起,可组成 个不同的三位数.
【答案】 168
【解析】 要组成三位数,根据百位、十位、个位应分三步:
第一步,百位可放8-1=7(个)数;
第二步,十位可放6个数;
第三步,个位可放4个数.
故由分步乘法计数原理得,共可组成7×6×4=168(个)不同的三位数.
10.(2025·山东青岛模拟)甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,求不同的用车方案种数.
【解】 5日至9日,日期尾数分别为5,6,7,8,9,有3天是奇数日,2天是偶数日.
第一步,安排偶数日出行,每天都有2种选择,共有2×2=4(种)用车方案;
第二步,安排奇数日出行,分两类,
第一类,选1天安排甲的车,另外2天安排其他车,有3×2×2=12(种)用车方案,
第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,共有23=8(种)用车方案,
共计12+8=20(种)用车方案.
根据分步乘法计数原理可知,不同的用车方案种数为4×20=80.
强化练
11.(2025·安徽合肥模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三名同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有( )
A.90种 B.80种
C.60种 D.50种
【答案】 D
【解析】 根据题意,分2种情况讨论:
①若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种,此时有2×10=20(种)不同的选法;
②若甲选择马,此时乙的选择有3种,丙的选择有10种,此时有3×10=30(种)不同的选法;
则共有20+30=50(种)选法.故选D.
12.(2025·山东聊城模拟)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤i
A.5 B.8
C.10 D.15
【答案】 C
【解析】 满足条件1≤i(5,9,12),共5个;满足条件1≤i(4,7,11),(5,8,12),共5个.所以一共有10个.故选C.
13.有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同的选派方法有 种.(用数字作答)
【答案】 8
【解析】 要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事,可分四类:
第一类,选甲、乙、丙3人,由于丙不会操作C型电脑,分2步安排这3人操作的电脑的型号,有2×2=4(种)方法;
第二类,选甲、乙、丁3人,由于丁只会操作A型电脑,这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑,有2种方法;
第三类,选甲、丙、丁3人,这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑,只有1种方法;
第四类,选乙、丙、丁3人,同样也只有1种方法.
根据分类加法计数原理,共有4+2+1+1=8(种)选派方法.
14.(2025·陕西咸阳模拟)设a,b,c∈{1,2,3,4,5,6},若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,求这样的三角形个数.
【解】 先考虑等边的情况,a=b=c=1,2,…,6,有6个.
再考虑等腰且不等边的情况,
若a=b=1,c若a=b=2,c若a=b=3,c若a=b=4,c若a=b=5,c若a=b=6,c故一共有6+2+4+5+5+5=27(个).
即这样的三角形共有27个.
15.(2025·江苏扬州模拟)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-2,-1,0,1,2}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求满足条件的直线的条数.
【解】 设倾斜角为θ,tan θ=->0,则ab<0,不妨设a>0,则b<0,
若c=0,则a有2种取法,b有2种取法,排除1个重复(a=2,b=-2与a=1,b=-1),
这样的直线有2×2-1=3(条);
若c≠0,则a有2种取法,b有2种取法,c有2种取法,且其中任两条直线均不相同,
这样的直线有2×2×2=8(条),
故共有3+8=11(条).
从而,符合要求的直线有11条.第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础练
1.每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁列车有10趟,动车有6趟,公共汽车有12班.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有( )
A.22种 B.33种
C.300种 D.3 600种
2.(2025·湖南衡阳模拟)将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人,每人1张,不同的分法种数为( )
A.720 B.240
C.120 D.60
3.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成的不同的直线有( )
A.18条 B.20条
C.25条 D.10条
4.(2025·北京大兴模拟)中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种,其相互关系是“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”.将五种不同属性的物质任意排成一列,则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为( )
A.8 B.10
C.15 D.20
5.(多选题)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从M,N这两个集合中各选一个元素分别记作a,b,则下列说法正确的有( )
A.表示不同的正数的个数是6
B.表示不同的比1小的数的个数是6
C.(a,b)表示x轴上方不同的点的个数是6
D.(a,b)表示y轴右侧不同的点的个数是6
6.(多选题)(2025·江西九江模拟)现有4个数学课外兴趣小组,第一、二、三、四组分别有
7人、8人、9人、10人,则下列说法正确的是( )
A.选1人为负责人的选法种数为34
B.每组选1名组长的选法种数为5 400
C.若推选2人发言,这2人需来自不同的小组,则不同的选法种数为420
D.若另有3名学生加入这4个小组,加入的小组可自由选择,且第一组必须有人选,则不同的选法有37种
7.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 .
8.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后的项数为 .
9.(2025·福建龙岩模拟)4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中
3张卡片排放在一起,可组成 个不同的三位数.
10.(2025·山东青岛模拟)甲与其他四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,求不同的用车方案种数.
强化练
11.(2025·安徽合肥模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三名同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有( )
A.90种 B.80种
C.60种 D.50种
12.(2025·山东聊城模拟)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤iA.5 B.8
C.10 D.15
13.有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同的选派方法有 种.(用数字作答)
14.(2025·陕西咸阳模拟)设a,b,c∈{1,2,3,4,5,6},若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,求这样的三角形个数.
15.(2025·江苏扬州模拟)已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-2,-1,0,1,2}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求满足条件的直线的条数.