第3节 导数与函数的极值、最值
基础练
1.(2025·陕西西安模拟)函数f(x)=(x2-8)·ex的极小值点为( )
A.2 B.-4e2 C.-4 D.8e-4
2.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f′(2)等于( )
A.-1 B.- C. D.1
3.已知函数f(x)=ax+ex没有极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,0] D.[0,+∞)
4.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)=2ln x+x2-3x在闭区间[t,t+2]上有极值点,则t的取值范围为( )
A.[-1,2] B.[0,1]
C.[0,2] D.[-1,1]
5.已知实数a∈(0,6),记f(x)=(x-a).若函数y=f(x)在区间[0,2]上的最小值为-2,则a的值为( )
A.1 [B] 2 C.3 D.4
6.函数f(x)=ex+|ln x+1|的最小值为( )
A.ee B.
C.+ln 2 D.ee+2
7.(2025·四川德阳模拟)函数f(x)=的极值点有 个.
8.(2025·山东聊城模拟)函数f(x)=x3+ax2-bx+a2在x=2时有极小值-4,那么b-a的值为
.
9.某列火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时电力消耗费用为40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100 km/h,要使从甲城开往乙城的总费用最少,则速度应为 km/h.
10.已知函数f(x)=aex·(x-2)(a≠0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a=-1时,求函数g(x)=f(x)+x2-2x的极值.
强化练
11.(多选题)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则( )
A.f(x)的极大值为0
B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)在定义域内单调
12.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则( )
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b,使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
13.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
拓展练
14.(2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )
A.a
b
C.aba2
15.(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.第3节 导数与函数的极值、最值
基础练
1.(2025·陕西西安模拟)函数f(x)=(x2-8)·ex的极小值点为( )
A.2 B.-4e2 C.-4 D.8e-4
【答案】 A
【解析】 因为f′(x)=(x2+2x-8)ex=(x-2)(x+4)ex,所以f(x)在(-∞,-4),(2,+∞)上单调递增,在(-4,2)上单调递减,故极小值点为2.故选A.
2.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f′(2)等于( )
A.-1 B.- C. D.1
【答案】 B
【解析】 函数f(x)的定义域为(0,+∞),依题可知,f(1)=-2,f′(1)=0,而f′(x)=-,
所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f′(x)=-+,因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,x=1时取最大值,满足题意,所以f′(2)=-1+=-.故选B.
3.已知函数f(x)=ax+ex没有极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,0] D.[0,+∞)
【答案】 D
【解析】 函数f(x)=ax+ex在R上没有极值点,即函数的导数等于0无解或有唯一解(但导数在点的两侧符号相同).函数f(x)=ax+ex的导数为 f′(x)=a+ex,所以a+ex=0无解,所以a=-ex无解,所以a≥0.故选D.
4.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)=2ln x+x2-3x在闭区间[t,t+2]上有极值点,则t的取值范围为( )
A.[-1,2] B.[0,1]
C.[0,2] D.[-1,1]
【答案】 A
【解析】 f(x)=2ln x+x2-3x的定义域为(0,+∞),f′(x)=+x-3==,
令f′(x)>0,解得x>2或0在(0,1),(2,+∞)上单调递增,所以x=1为f(x)的极大值点,x=2为f(x)的极小值点,
所以t≤1≤t+2或t≤2≤t+2,解得-1≤t≤1或0≤t≤2.所以t的取值范围为[-1,2].故选A.
5.已知实数a∈(0,6),记f(x)=(x-a).若函数y=f(x)在区间[0,2]上的最小值为-2,则a的值为( )
A.1 [B] 2 C.3 D.4
【答案】 C
【解析】 当0当a0,f(x)单调递增,故x=a时,f(x)取得最小值f()=-·=-2,解得a=3.
故选C.
6.函数f(x)=ex+|ln x+1|的最小值为( )
A.ee B.
C.+ln 2 D.ee+2
【答案】 B
【解析】 当x≥时,f(x)=ex+ln x+1,f(x)单调递增,则f(x)≥f()=+ln +1=,
当0因此f(x)>f()=-ln -1=,所以f(x)的最小值为.故选B.
7.(2025·四川德阳模拟)函数f(x)=的极值点有 个.
【答案】 1
【解析】 当x≥0时,f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,此时函数在[0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,故此时函数f(x)有一个极小值点2;
当x<0时,f(x)=-ex+1,因为f′(x)=-ex<0恒成立,故函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,结合函数在[0,2]上单调递减,可知0不是函数f(x)的极值点.
综上,函数f(x)的极值点只有1个.
8.(2025·山东聊城模拟)函数f(x)=x3+ax2-bx+a2在x=2时有极小值-4,那么b-a的值为
.
【答案】 6或30
【解析】 f′(x)=3x2+2ax-b,由题意得f′(2)=0,即12+4a-b=0,且f(2)=8+4a-2b+a2=-4,
12+4a-b=0 b=12+4a,代入8+4a-2b+a2=-4,得a2-4a-12=0,解得a=6或a=-2.
当a=6时,b=12+24=36,f′(x)=3x2+12x-36,令f′(x)>0得x>2或x<-6,
令f′(x)<0得-6当a=-2时,b=12-8=4,f′(x)=3x2-4x-4,令f′(x)>0得x>2或x<-,
令f′(x)<0得-综上,b-a的值为6或30.
9.某列火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20 km/h时,每小时电力消耗费用为40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100 km/h,要使从甲城开往乙城的总费用最少,则速度应为 km/h.
【答案】 10
【解析】 设速度为x km/h,甲、乙两城距离为a km,比例系数为k,
则总费用f(x)=(kx3+200)=a(kx2+)(0所以k=,所以f(x)=a(x2+).
令f′(x)==0,解得x=10,
当00.所以当x=10时,f(x)有最小值,
所以要使总费用最少,速度应为10 km/h.
10.已知函数f(x)=aex·(x-2)(a≠0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当a=-1时,求函数g(x)=f(x)+x2-2x的极值.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为R,f′(x)=aex(x-1).
若a>0,由f′(x)<0,可得x<1;由f′(x)>0,可得x>1,
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞);
若a<0,由f′(x)<0,可得x>1;由f′(x)>0,可得x<1,
所以函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
综上所述,当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞);
当a<0时,函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
(2)当a=-1时,可得g(x)=f(x)+x2-2x=-ex(x-2)+x2-2x,
则g′(x)=-ex(x-1)+2x-2=-(x-1)(ex-2),
由g′(x)=0,即(x-1)(ex-2)=0,解得x=1或x=ln 2.
当x变化时,g′(x)与g(x)的变化情况如表:
x (-∞,ln 2) ln 2 (ln 2,1) 1 (1,+∞)
g′(x) - 0 + 0 -
g(x) 单调 递减 极小 值 单调 递增 极大 值 单调 递减
所以当x=ln 2时,函数g(x)取得极小值g(ln 2)=(ln 2)2-4ln 2+4;
当x=1时,函数g(x)取得极大值g(1)=e-1.
强化练
11.(多选题)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则( )
A.f(x)的极大值为0
B.曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线为x轴
C.f(x)的最小值为0
D.f(x)在定义域内单调
【答案】 BC
【解析】 函数f(x)=x3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),导数f′(x)=3x2-=(x3-1).
令f′(x)=(x3-1)=0,得x=1.
当x变化时,f(x),f′(x)的变化情况如表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) 单调递减 0 单调递增
所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f′(1)=0,所以y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=0,即x轴,故B正确.故选BC.
12.(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则( )
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b,使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
【答案】 AD
【解析】 由题意得,f′(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),
函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确;
当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误;三次函数不存在对称轴,C错误;
f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,
当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确.故选AD.
13.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
【解】 (1)函数f(x)=ln(2x+3)+x2的定义域为(-,+∞),又f′(x)=+2x=.
令f′(x)>0,解得x>-或-所以函数f(x)在(-,-1),(-,+∞)上单调递增;在(-1,-)上单调递减.
(2)由(1)可得,函数f(x)在区间[-,-)上单调递减,在[-,]上单调递增.
所以当x=-时,函数f(x)取得最小值f(-)=+ln 2,又f(-)=+ln ,f()=+ln ,
而f(-)-f()=+ln --ln =+ln <+ln =0,所以当x=时,
函数f(x)取得最大值f()=+ln .
即f(x)在区间[-,]上的最大值为+ln ,最小值为+ln 2.
拓展练
14.(2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则( )
A.ab
C.aba2
【答案】 D
【解析】 若a=b,则f(x)=a(x-a)3为单调函数,无极值点,不符合题意,故a≠b.
所以f(x)有a和b两个不同零点,且在x=a左右附近不变号,在x=b左右附近变号.
依题意,a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,所以在x=a左右附近f(x)的值都是小于零的.
当a<0时,由x>b时,f(x)≤0,画出f(x)的图象如图所示. 由图可知ba2.
当a>0时,由x>b时,f(x)>0,画出f(x)的图象如图所示. 由图可知b>a,a>0,故ab>a2.
综上所述,ab>a2成立.故选D.
15.(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x+-x.
(1)设a=1,b=-2,求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程;
(2)若x=1是f(x)的极小值点,求b的取值范围.
【解】 (1)当a=1,b=-2时,f(x)=ln x--x,x>0,
则f′(x)=+-1=,
令f′(x)=2,化简得3x2-x-2=0,
解得x=1(负值舍去),
此时f(1)=-3,则所求切线过点(1,-3),又切线斜率为2,
故切线方程为y+3=2(x-1),即2x-y-5=0.
(2)由题可得f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1=,
因为x=1是f(x)的极小值点,则f′(1)=-1+a-b=0,得a=b+1,
则f′(x)==-.
①若b≤0,令f′(x)>0,得x∈(0,1),令f′(x)<0,得x∈(1,+∞),
则f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
可得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
②若00,得x∈(b,1),
令f′(x)<0,得x∈(0,b)∪(1,+∞),
则f(x)在(b,1)上单调递增,在(0,b),(1,+∞)上单调递减,
可得x=1是f(x)的极大值点,不满足题意;
③若b=1,则f′(x)=-<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,无极值,不满足题意;
④若b>1,令f′(x)>0,得x∈(1,b),令f′(x)<0,得x∈(0,1)∪(b,+∞),
则f(x)在(1,b)上单调递增,在(0,1),(b,+∞)上单调递减,
可得x=1是f(x)的极小值点,满足题意.
综上,x=1是f(x)的极小值点时,b的取值范围为(1,+∞).