第三章 第2节　导数与函数的单调性 专题练习（含解析）2026届高三数学一轮复习

第2节　导数与函数的单调性
基础练
1.函数f(x)=在(　　)
A.(-∞,+∞)内是增函数
B.(-1,1)内是增函数,在其余区间内是减函数
C.(-∞,+∞)内是减函数
D.(-1,1)内是减函数,在其余区间内是增函数
【答案】 B
【解析】 f(x)的定义域为R,f′(x)=,
当f′(x)>0时,解得-1当f′(x)<0时,解得x<-1或x>1,故f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),(1,+∞).故选B.
2.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
　　　
A B C D
【答案】 D
【解析】 f′(x)>0的解集对应y=f(x)的单调递增区间,f′(x)<0的解集对应y=f(x)的单调递减区间,验证只有D符合题意.故选D.
3.(2025·河北衡水模拟)函数f(x)=-x+sin x在R上是(　　)
A.偶函数、增函数 B.奇函数、减函数
C.偶函数、减函数 D.奇函数、增函数
【答案】 B
【解析】 f(x)=-x+sin x的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=-(-x)+sin(-x)=-(-x+sin x)=
-f(x),所以f(x)为奇函数,又f′(x)=-1+cos x≤0恒成立(不恒为0),所以f(x)在R上为减函数.故选B.
4.若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰有三个单调区间,则实数a的取值范围为(　　)
A.[3,+∞) B.(-∞,3)
C.(-∞,0)∪(0,3) D.(-∞,0)
【答案】 C
【解析】 由题意得函数f(x)的定义域为R,f′(x)=3ax2-6x+1,要使函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰有三个单调区间,则f′(x)=0有两个不相等的实数根,所以解得a<3且a≠0,故实数a的取值范围为(-∞,0)∪(0,3).故选C.
5.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的单调递增区间为(　　)
A.(0,4) B.(-∞,1),(,4)
C.(0,) D.(-∞,0),(1,4)
【答案】 D
【解析】 由题图知,当x<0或1f(x),即g′(x)=>0,
则函数g(x)=的单调递增区间为(-∞,0),(1,4).故选D.
6.(2025·安徽阜阳模拟)设a=0.36-ln 0.6,b=0.49-ln 0.7,c=-ln,则(　　)
A.a>c>b B.b>c>a
C.a>b>c D.c>a>b
【答案】 A
【解析】 由a=0.62-ln 0.6,b=0.72-ln 0.7,c=()2-ln,设函数f(x)=x2-ln x (x>0),
则f′(x)=2x-=,当0因为0.6<<0.7<,所以f(0.6)>f()>f(0.7),所以a>c>b.故选A.
7.已知函数f(x)=,则函数y=f(x)在x∈(m,+∞)上的单调递减区间为　　　　,单调递增区间为　　　　.
【答案】 (m,m+1)　 (m+1,+∞)
【解析】 f(x)=,f′(x)==,当x∈(m,m+1)时,f′(x)<0,
当x∈(m+1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(m,m+1)上单调递减,在(m+1,+∞)上单调递增.
8.已知函数f(x)=ln x+x2+bx的单调递减区间为(,1),则b的值为　　　　.
【答案】 -3
【解析】 由f(x)=ln x+x2+bx,所以f′(x)=+2x+b,因为f(x)的单调递减区间是(,1),
所以的解集为(,1),即2x2+bx+1<0的解集为(,1),
所以-=+1=,所以b=-3,经检验符合题意.
9.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 (1,2]
【解析】 由f(x)=x2-9ln x,则函数f(x)的定义域是(0,+∞),又函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减,由f′(x)=x-<0,得010.(2025·新疆喀什模拟)已知函数f(x)=x2ex-2x+1.
(1)求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.
【解】 (1)f′(x)=(x2+2x)ex-2,则f′(0)=-2,又f(0)=1,
所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程是y-1=-2(x-0),即2x+y-1=0.
(2)由(1)知,g(x)=(x2+2x)ex-2,定义域为R,所以g′(x)=(x2+4x+2)ex,
由g′(x)>0 x2+4x+2>0,得x<-2-或x>-2+,由g′(x)<0 x2+4x+2<0,得-2-强化练
11.(2025·山东德州模拟)已知函数f(x)是偶函数,其导函数f′(x)的图象如图所示,且f(x+2)=
f(2-x)对x∈R恒成立,则下列说法正确的是(　　)
A.f(-1)B.f()C.f(-1)D.f()【答案】 D
【解析】 因为f(-x)=f(x),所以f(-1)=f(1),又f(x+2)=f(2-x),所以f()=f().由导函数的图象得,当x∈(0,2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f()12.(多选题)(2025·湖北咸宁模拟)已知x>y>0,则下列不等式正确的有(　　)
A.ex-ey>x-y B.ln x-ln y>x-y
C.ln x≥1- D.>
【答案】 ACD
【解析】 设f(x)=ex-x(x>0),则f′(x)=ex-1>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以f(x)>f(y),即ex-x>ey-y,即ex-ey>x-y,A正确;令x=e,y=1,则ln x-ln y=1,而x-y=e-1,所以ln x-ln y0),则h′(x)=-=,当01时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,则h(x)≥h(1)=0,即ln x≥1-,C正确;设g(x)=xex(x>0),则g′(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)=xex在(0,+∞)上单调递增,所以由x>y>0得xex>yey,即>,D正确.故选ACD.
13.已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+ln x,a>0,试讨论函数y=f(x)的单调性.
【解】 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ax-(a+1)+==.
令f′(x)=0,得x=或x=1.
①当01,
所以x∈(0,1)或(,+∞)时,f′(x)>0,
x∈(1,)时,f′(x)<0,
所以函数f(x)在(0,1)和(,+∞)上单调递增,在(1,)上单调递减;
②当a=1时,=1,
所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当a>1时,0<<1,
所以x∈(0,)或(1,+∞)时,f′(x)>0,
x∈(,1)时,f′(x)<0,
所以函数f(x)在(0,)和(1,+∞)上单调递增,在(,1)上单调递减.
综上,当0当a=1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>1时,函数f(x)在(0,)和(1,+∞)上单调递增,在(,1)上单调递减.
拓展练
14.(多选题)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=,则(　　)
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)=
【答案】 ACD
【解析】 (sinh x)′=(ex+e-x)>0,所以双曲正弦函数是增函数,A正确;(cosh x)′=(ex-e-x),所以y=cosh x在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,B错误;tanh x==,(tanh x)′=
=>0,所以双曲正切函数是增函数,C正确;tanh(x+y)=,
=====tanh(x+y),D正确.故选ACD.
15.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)=ln x-.
(1)求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)比较ln与-的大小并说明理由.
【解】 (1)因为函数f(x)=ln x-(x>0),可得f′(x)=,则f′(1)=,且f(1)=0,
所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=(x-1),即x-2y-1=0.
(2)ln<-.理由如下:
由x>0,可得f′(x)=>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(1)=0,所以x∈(0,1)时,f(x)<0,即ln x<在x∈(0,1)上恒成立,
所以ln<=-,
即ln<-.第2节　导数与函数的单调性
基础练
1.函数f(x)=在(　　)
A.(-∞,+∞)内是增函数
B.(-1,1)内是增函数,在其余区间内是减函数
C.(-∞,+∞)内是减函数
D.(-1,1)内是减函数,在其余区间内是增函数
2.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是(　　)
　　　
A B C D
3.(2025·河北衡水模拟)函数f(x)=-x+sin x在R上是(　　)
A.偶函数、增函数 B.奇函数、减函数
C.偶函数、减函数 D.奇函数、增函数
4.若函数f(x)=ax3-3x2+x+1恰有三个单调区间,则实数a的取值范围为(　　)
A.[3,+∞) B.(-∞,3)
C.(-∞,0)∪(0,3) D.(-∞,0)
5.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示,则函数g(x)=的单调递增区间为(　　)
A.(0,4) B.(-∞,1),(,4)
C.(0,) D.(-∞,0),(1,4)
6.(2025·安徽阜阳模拟)设a=0.36-ln 0.6,b=0.49-ln 0.7,c=-ln,则(　　)
A.a>c>b B.b>c>a
C.a>b>c D.c>a>b
7.已知函数f(x)=,则函数y=f(x)在x∈(m,+∞)上的单调递减区间为　　　　,单调递增区间为　　　　.
8.已知函数f(x)=ln x+x2+bx的单调递减区间为(,1),则b的值为　　　　.
9.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
10.(2025·新疆喀什模拟)已知函数f(x)=x2ex-2x+1.
(1)求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.
强化练
11.(2025·山东德州模拟)已知函数f(x)是偶函数,其导函数f′(x)的图象如图所示,且f(x+2)=
f(2-x)对x∈R恒成立,则下列说法正确的是(　　)
A.f(-1)B.f()C.f(-1)D.f()12.(多选题)(2025·湖北咸宁模拟)已知x>y>0,则下列不等式正确的有(　　)
A.ex-ey>x-y B.ln x-ln y>x-y
C.ln x≥1- D.>
13.已知函数f(x)=ax2-(a+1)x+ln x,a>0,试讨论函数y=f(x)的单调性.
拓展练
14.(多选题)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=,则(　　)
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D.tanh(x+y)=
15.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)=ln x-.
(1)求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)比较ln与-的大小并说明理由.