第1节 导数的概念及其意义、导数的运算
基础练
1.(2025·福建厦门模拟)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.=( )
A.72 B.12 C.8 D.4
3.(2025·河北邯郸模拟)设函数f(x)=x+的图象与x轴相交于点P,则该曲线在点P处的切线方程为( )
A.y=-x B.y=-x-1
C.y=0 D.y=x-1
4.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)设f(x)=sin x,f1(x)=f′(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),则fi()等于( )
A.0 B. C. D.
5.(2025·福建泉州模拟)如图是函数f(x)的部分图象,记f(x)的导数为f′(x),则下列选项中值最大的是( )
A.f(3) B.3f′(3)
C.f(-14) D.f′(8)
6.(2025·江西吉安模拟)函数f(x)=2+ln x与函数g(x)=ex公切线的斜率为( )
A.1 B.±e
C.1或e D.1或e2
7.(2025·河南新乡模拟)函数f(x)=ln x-x2与直线x+y=0相切于点A,则点A的横坐标为 .
8.(2025·陕西安康模拟)已知函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,若h(x)=
,则h′(1)的值为 .
9.(2025·湖北武汉模拟)已知曲线f(x)=ln x+在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则a的值为 .
10.已知函数f(x)=x3-3x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求曲线y=f(x)过点(2,-6)的切线方程.
强化练
11.(2025·河北邢台模拟)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下面等式可能成立的是( )
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=2 D.x1x2=
12.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( )
A.20天 B.30天 C.45天 D.60天
13.已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f′(2)= .
14.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
15.(2025·山东泰安模拟)已知函数f(x)=,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象相切于点P,求直线l的斜率k的取值范围.第1节 导数的概念及其意义、导数的运算
基础练
1.(2025·福建厦门模拟)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切,则l的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 由y′=3x2-1,则y′|x=0=-1,即直线l的斜率为-1,所以l的倾斜角为.故选C.
2.=( )
A.72 B.12 C.8 D.4
【答案】 B
【解析】 令f(x)=x3,则f′(x)=3x2,==f′(2)=12.故选B.
3.(2025·河北邯郸模拟)设函数f(x)=x+的图象与x轴相交于点P,则该曲线在点P处的切线方程为( )
A.y=-x B.y=-x-1
C.y=0 D.y=x-1
【答案】 C
【解析】 令f(x)=x+=0,解得x=-1,故P(-1,0),又f′(x)=1-,则f′(-1)=0,故所求切线方程为y=0.故选C.
4.(2025·黑龙江哈尔滨模拟)设f(x)=sin x,f1(x)=f′(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),则fi()等于( )
A.0 B. C. D.
【答案】 A
【解析】 由f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,可知fn+4(x)=fn(x),且f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,因为2 024=506×4,所以fi()=0.故选A.
5.(2025·福建泉州模拟)如图是函数f(x)的部分图象,记f(x)的导数为f′(x),则下列选项中值最大的是( )
A.f(3) B.3f′(3)
C.f(-14) D.f′(8)
【答案】 A
【解析】 由图可知,f(3),3f′(3)为正数,f(-14),f′(8)为负数,故排除C,D,
设f(x)在x=3处的点为A,显然直线OA的斜率kOA大于曲线y=f(x)在点A处的切线的斜率,即>f′(3),所以f(3)>3f′(3),所以f(3)的值最大.故选A.
6.(2025·江西吉安模拟)函数f(x)=2+ln x与函数g(x)=ex公切线的斜率为( )
A.1 B.±e
C.1或e D.1或e2
【答案】 C
【解析】 设切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),x1>0,x2>0,
且导数为f′(x)=,g′(x)=ex,所以切线方程既为y-(2+ln x1)=(x-x1),
也为y-=(x-x2),
所以
因为= ln=ln -ln x1=x2,
所以1+ln x1=(1+ln x1)· (1+ln x1)(x1-1)=0,
所以x1=1或x1=,所以公切线的斜率为k==1或e.故选C.
7.(2025·河南新乡模拟)函数f(x)=ln x-x2与直线x+y=0相切于点A,则点A的横坐标为 .
【答案】 1
【解析】 设A(x0,y0),直线x+y=0的斜率为-1,f′(x)=-2x,令f′(x0)=-2x0=-1,取正根得x0=1.
8.(2025·陕西安康模拟)已知函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,若h(x)=
,则h′(1)的值为 .
【答案】 -
【解析】 将x=1代入切线方程x-2y+1=0,得y=1,故f(1)=1,由题意可知f′(1)=,h′(x)=,所以h′(1)==-.
9.(2025·湖北武汉模拟)已知曲线f(x)=ln x+在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则a的值为 .
【答案】 +1
【解析】 f′(x)=+,由题意f′(1)=1+=tan=,所以a=+1.
10.已知函数f(x)=x3-3x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求曲线y=f(x)过点(2,-6)的切线方程.
【解】 (1)因为f(x)=x3-3x,所以f′(x)=3x2-3,f′(1)=0,所以切线斜率k=0,
又因为f(1)=13-3×1=-2,所以切点坐标为(1,-2),
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.
(2)因为f′(x)=3x2-3,设切点为(x0,-3x0),则f′(x0)=3-3,
所以切线方程为y-(-3x0)=(3-3)(x-x0),
又切线过点(2,-6),则-6-(-3x0)=(3-3)(2-x0),
即2-6=0,解得x0=0或x0=3,
所以切点为(0,0)或(3,18),切线的斜率为-3或24,所以切线方程为y=-3x或y-18=24(x-3),
即曲线y=f(x)过点(2,-6)的切线方程为3x+y=0或24x-y-54=0.
强化练
11.(2025·河北邢台模拟)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下面等式可能成立的是( )
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=2 D.x1x2=
【答案】 B
【解析】 因为f(x)=x2+2ln x,x>0,所以f′(x)=2x+,x>0.又因为f(x)在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,所以f′(x1)=f′(x2),即2x1+=2x2+,又x1≠x2,所以x1x2=1,故C,D不成立;因为x1>0,x2>0且x1≠x2,所以x1+x2>2=2,故A不成立;当x1=,x2=3时,x1+x2=.故B成立.故选B.
12.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0为t=0时该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( )
A.20天 B.30天 C.45天 D.60天
【答案】 D
【解析】 由P(t)=P0得P′(t)=-·P0··ln 2,因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,即P′(15)=-P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·.
当该放射性同位素含量为4.5贝克时,即P(t)=4.5,
所以18·=4.5,即=,所以-=-2,解得t=60.故选D.
13.已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f′(2)= .
【答案】 -12
【解析】 令g(x)=x(x-1)(x-3)(x-4)(x-5),则f(x)=(x-2)g(x),
两边分别求导得f′(x)=g(x)+(x-2)g′(x),令x=2,得f′(2)=g(2)=-12.
14.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
(1)【解】 方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,
当x=2时,y=.
又f′(x)=a+,
所以
解得
所以f(x)=x-.
(2)【证明】 设点P(x0,y0)为曲线y=f(x)上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-(x0-)=(1+)(x-x0).
令x=0得y=-,
所以切线与直线x=0的交点坐标为(0,-).
切线方程与y=x联立,得y=x=2x0,
所以切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形的面积S=|-||2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和y=x所围成的三角形的面积为定值,且此定值为6.
15.(2025·山东泰安模拟)已知函数f(x)=,且f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若P(x0,y0)为f(x)图象上的任意一点,直线l与f(x)的图象相切于点P,求直线l的斜率k的取值范围.
【解】 (1)由题意,得f′(x)===,
因为f(x)的图象在x=1处与直线y=2相切,
所以
解得
则f(x)=.
(2)由(1)可得,f′(x)=,
所以直线l的斜率k=f′(x0)==4[-],
令t=,则t∈(0,1],
所以k=4(2t2-t)=8(t-)2-,
则在t=处取到最小值-,在t=1处取到最大值4,
所以直线l的斜率k的取值范围是[-,4].
