第8节 利用空间向量求空间角
基础练
1.已知点O(0,0,0),A(1,0,1),B(-1,1,2),C(-1,0,-1),则异面直线OC与AB所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2.设a=(1,1,0),b=(t,0,1)分别为两平面的法向量,若两平面所成的角为60°,则t等于( )
A.1 B.-1
C.-1或1 D.2
3.(2025·河南洛阳模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为DB,A1C1的中点,则直线MA1与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.在空间中,“经过点P(x0,y0,z0),法向量为e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x,y,z)满足的关系式)为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0”.用此方法求得平面α和平面β的方程,化简后的结果分别为x-y-z=1和x-2y+z=6,则这两平面所成角的余弦值为( )
A.- B. C.- D.
5.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,则直线PB与平面PCD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.2
6.(多选题)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则下列说法正确的是( )
A.直线BC1与CA1所成的角为60°
B.点B与平面ACB1的距离为
C.平面ACD1与平面ABCD所成的角为45°
D.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°
7.如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是线段C1D1上的动点,若直线B1P与BD1所成角的余弦值为,则D1P= .
8.已知向量m=(1,2,-1),n=(t,1,-t),且m⊥平面α,n⊥平面β,若平面α与平面β的夹角的余弦值为,则实数t的值为 .
9.已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值为,则AA1= .
10.(2025·甘肃白银模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=2,∠ABC=,AC=AA1.
(1)求证:AC⊥FG;
(2)求异面直线FG与BD所成角的余弦值.
强化练
11.如图所示,在空间直角坐标系Axyz中,P(x,y,z)是正三棱柱ABCA1B1C1的底面A1B1C1内一动点,A1A=AB=2,直线PA和底面ABC所成的角为,则P点的坐标满足( )
A.x2+y2= B.x2+y2=2
C.x2+y2=3 D.x2+y2=4
12.(多选题)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=,AB=2AD=2PD,
PD⊥底面ABCD,则( )
A.PA⊥BD
B.PB与平面ABCD所成的角为
C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D.平面PAB与平面ABCD所成的二面角为第8节 利用空间向量求空间角
基础练
1.已知点O(0,0,0),A(1,0,1),B(-1,1,2),C(-1,0,-1),则异面直线OC与AB所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 设两条异面直线所成的角为θ,且这两条异面直线的方向向量分别是=
(-1,0,-1),=(-2,1,1),则cos θ===,且0<θ≤,
所以sin θ==,即异面直线OC与AB所成角的正弦值为.故选D.
2.设a=(1,1,0),b=(t,0,1)分别为两平面的法向量,若两平面所成的角为60°,则t等于( )
A.1 B.-1
C.-1或1 D.2
【答案】 C
【解析】 因为法向量a,b所成的角与两平面所成的角相等或互补,所以=±,得 t=±1.故选C.
3.(2025·河南洛阳模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为DB,A1C1的中点,则直线MA1与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,
设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则 A1(2,0,2),M(1,1,0),B(2,2,0),N(1,1,2),
所以=(1,-1,2),=(-1,-1,2),
设直线MA1与BN的夹角为θ,
则cos θ=|cos<,>|====,
所以直线MA1与BN所成角的余弦值为.故选C.
4.在空间中,“经过点P(x0,y0,z0),法向量为e=(A,B,C)的平面的方程(即平面上任意一点的坐标(x,y,z)满足的关系式)为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0”.用此方法求得平面α和平面β的方程,化简后的结果分别为x-y-z=1和x-2y+z=6,则这两平面所成角的余弦值为( )
A.- B. C.- D.
【答案】 B
【解析】 由题意知平面α的一个法向量为m=(1,-1,-1),平面β的一个法向量为n=(1,-2,1),则|cos|===,则两平面所成角的余弦值为.故选B.
5.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,则直线PB与平面PCD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.2
【答案】 C
【解析】 如图,取AD的中点为N,连接PN,因为 PA=PD,所以PN⊥AD,又侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,PN 平面PAD,所以PN⊥底面ABCD.因为AB⊥AD,BC∥AD,AD=2AB=2BC=2,连接CN,则CN⊥AD.以N为坐标原点,NC,ND,NP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
=(1,-1,-1),=(1,0,-1),=(0,1,-1),设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),
则可取平面PCD的一个法向量为m=(1,1,1),设直线PB与平面PCD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,m>|===,则cos θ===,
tan θ==×=,所以直线PB与平面PCD所成角的正切值为.故选C.
6.(多选题)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则下列说法正确的是( )
A.直线BC1与CA1所成的角为60°
B.点B与平面ACB1的距离为
C.平面ACD1与平面ABCD所成的角为45°
D.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°
【答案】 BD
【解析】 以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,1,1),C1(0,1,0),C(0,1,1),A1(1,0,0),B1(1,1,0),A(1,0,1),
故 =(-1,0,-1),=(1,-1,-1),故cos<,>===0,故直线BC1与CA1所成的角为90°,A错误;
设平面ACB1的法向量为n=(x,y,z),则
令y=1,得x=1,z=1,故n=(1,1,1)为平面ACB1的一个法向量,故点B到平面ACB1的距离为d===,B正确;
设平面ACD1的法向量为m=(x1,y1,z1),则
令x1=1,则y1=1,z1=-1,故m=(1,1,-1)为平面ACD1的一个法向量,平面ABCD的一个法向量为u=(0,0,1),故|cos|===,故平面ACD1与平面ABCD所成的角不为45°,C错误;
因为DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以DD1⊥AC,因为四边形ABCD为正方形,所以 AC⊥BD,因为BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BB1D1D,所以AC⊥平面BB1D1D,故平面BB1D1D的一个法向量为=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0),设直线BC1与平面BB1D1D所成的角的大小为θ,
显然sin θ=|cos<,>|===,故直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30°,D正确.故选BD.
7.如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P是线段C1D1上的动点,若直线B1P与BD1所成角的余弦值为,则D1P= .
【答案】 1
【解析】 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,
则B(2,2,0),B1(2,2,2),D1(0,0,2),设P(0,m,2),0≤m≤2,则 =(-2,m-2,0),=(-2,-2,2),若直线B1P与BD1所成角的余弦值为,则 |cos <,>|===,解得m=
-2(舍去)或m=1,此时点P是C1D1中点,D1P=1.
8.已知向量m=(1,2,-1),n=(t,1,-t),且m⊥平面α,n⊥平面β,若平面α与平面β的夹角的余弦值为,则实数t的值为 .
【答案】 或1
【解析】 因为m·n=2+2t,|m|=,|n|=,所以=,解得t=或1.
9.已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值为,则AA1= .
【答案】
【解析】 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为正四棱柱,设AA1=a,
则B(1,0,0),B1(1,0,a),C(1,1,0),D(0,1,0),C1(1,1,a),=(0,1,-a),
其中平面ACC1A1的一个法向量为=(-1,1,0),
设直线B1C与平面ACC1A1所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,>|====,
得a=(负值舍去),即AA1=.
10.(2025·甘肃白银模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC=2,∠ABC=,AC=AA1.
(1)求证:AC⊥FG;
(2)求异面直线FG与BD所成角的余弦值.
(1)【证明】 因为在直三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,所以四边形A1ACC1为矩形,
又因为E,F分别为AC,A1C1的中点,所以AC⊥EF,且EF∥BB1,
因为AB=BC ,所以AC⊥BE,又因为BE∩EF=E,BE,EF 平面BEFG,
所以AC⊥平面BEFG,因为FG 平面BEFG,
所以AC⊥FG.
(2)【解】 由(1)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1,
又因为CC1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC,因为BE 平面ABC,
所以EF⊥BE,即EA,EB,EF两两垂直,因为AB=BC=2,∠ABC=,所以BE=,AA1=AC=2.
以E为坐标原点,EA,EB,EF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Exyz如图所示.
由题意得B(0,,0),D(,0,),F(0,0,2),G(0,,),
所以=(,-,),=(0,,-),
由向量夹角公式得cos<,>===-,
由于异面直线所成角的范围为(0,],
故异面直线FG与BD所成角的余弦值为.
强化练
11.如图所示,在空间直角坐标系Axyz中,P(x,y,z)是正三棱柱ABCA1B1C1的底面A1B1C1内一动点,A1A=AB=2,直线PA和底面ABC所成的角为,则P点的坐标满足( )
A.x2+y2= B.x2+y2=2
C.x2+y2=3 D.x2+y2=4
【答案】 A
【解析】 由正三棱柱ABCA1B1C1,且A1A=AB=2,根据坐标系可得A(0,0,0),A1(0,0,2),又P(x,y,z)是正三棱柱ABCA1B1C1的底面A1B1C1内一动点,则z=2,所以 =(-x,-y,-z),又AA1⊥平面ABC,所以 =(0,0,2)是平面ABC的一个法向量,因为直线PA和底面ABC所成的角为,所以|cos<,>|===,整理得z2=3x2+3y2,又z=2,所以x2+y2=.故选A.
12.(多选题)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=,AB=2AD=2PD,
PD⊥底面ABCD,则( )
A.PA⊥BD
B.PB与平面ABCD所成的角为
C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D.平面PAB与平面ABCD所成的二面角为
【答案】 AC
【解析】 设AD=a,则AB=2AD=2a.因为∠DAB=,所以由余弦定理,得BD2=AD2+AB2-2AD·
ABcos =3a2.所以BD2+AD2=AB2,所以BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,所以DA,DB,DP三条直线两两垂直,以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,a,0),P(0,0,a),所以=(a,0,-a),=(0,-a,0),
=(0,a,-a),=(-a,a,0),=(-a,a,-a).所以 ·=a×0+0×(-a)+(-a)×0=0,
所以 ⊥,即PA⊥BD,故A正确;
易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),设直线PB与平面ABCD所成的角为θ1,则
sin θ1=|cos<,m>|===,所以直线PB与平面ABCD所成的角为,故B错误;
设异面直线AB与PC所成的角为θ2,则cos θ2=|cos<,>|===,故C正确;
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则即取y=1,则x=,z=,所以n=(,1,)为平面PAB的一个法向量,所以cos==,故D错误.故选AC.
