第7节 利用空间向量求空间距离
基础练
1.已知A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,2,0),则原点O到平面ABC的距离是( )
A. B.2 C.2 D.
【答案】 A
【解析】 由已知可得=(-1,2,2),=(-2,0,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则 取y=1,则x=0,z=-1,故平面ABC的一个法向量为n=(0,1,-1),
而=(2,2,0),所以原点O到平面ABC的距离d===.故选A.
2.已知在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则直线BD到平面EFD1B1的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(1,1,0),E(,1,0),F(0,,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),
所以 =(,0,0),=(-1,-1,0),=(-,0,-1),
设平面EFD1B1的法向量为n=(x,y,z),则令z=1,则x=-2,y=2,故平面EFD1B1的一个法向量为n=(-2,2,1),
因为BD∥B1D1,BD 平面EFD1B1,B1D1 平面EFD1B1,
所以BD∥平面EFD1B1,所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离,
所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d===.故选D.
3.(2025·广东江门模拟)在三棱锥ABCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上更靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则点O到直线EF的距离为( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 以A为坐标原点,AB,AC,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(6,0,0),C(0,6,0),D(0,0,6),E(3,0,0),F(0,0,4),得O(2,2,2),=(-3,0,4),
取a==(-1,2,2),u==(-3,0,4)=(-,0,),则a2=9,a·u=,
所以点O到直线EF的距离为=.故选C.
4.(2025·浙江温州模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDEFGH中,点P在正方体的内部且满足=++,则点P到平面ADGF的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1),=(1,0,1),所以=(,,),
设平面ADGF的法向量n=(x,y,z),
所以即令x=1,得y=0,z=-1,即平面ADGF的一个法向量为n=(1,0,-1),
故点P到平面ADGF的距离d===.故选A.
5.(多选题)已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为3,E,F分别为线段DD′和BB′中点,则( )
A.点A′到直线BE的距离为3
B.直线AE到直线FC′的距离为3
C.点B到平面AB′E的距离为
D.直线FC′到平面AB′E的距离为1
【答案】 AD
【解析】 根据正方体建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,3,0),D(0,3,0),A′(0,0,3),B′(3,0,3),C′(3,3,3),D′(0,3,3),故E(0,3,),F(3,0,).
对于A,=(-3,0,3),=(-3,3,),
故点A′到直线BE的距离为==3,故A正确;
对于B,=(0,3,),=(0,3,),=(3,0,),故=,故AE∥FC′,
故直线AE到直线FC′的距离为==,故B错误;
对于C,=(3,0,3),=(0,3,),设平面AB′E的法向量为n=(x,y,z),所以
则
取z=2,则y=-1,x=-2,故 n=(-2,-1,2)为平面AB′E的一个法向量,
而=(3,-3,-),故点B到平面AB′E的距离为==2,故C错误;
对于D,由B选项的分析可得AE∥FC′,而AE 平面AB′E,FC′ 平面AB′E,
故FC′∥平面AB′E,直线FC′到平面AB′E的距离即为点F到平面AB′E的距离,
且该距离为==1,故D正确.
故选AD.
6.已知在三棱柱ABCA1B1C1中,=(0,2,-3),=(2,0,),=(-2,0,),则该三棱柱的体积为( )
A.2 B.3 C.4 D.4
【答案】 D
【解析】 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,则y=3,x=-,则n=(-,3,2)是平面ABC的一个法向量,
点A1到平面ABC的距离d===,
点C到直线AB的距离h===,且||=,所以△ABC的面积S=××=4,则该三棱柱的体积V=4×=4.故选D.
7.(2025·江西新余模拟)已知点A(-1,-1,-1),直线l过原点且平行于a=(0,1,2),则点A到直线l的距离为 .
【答案】
【解析】 由题意取点P(0,1,2),则 =(1,2,3),所以点A到直线l的距离为
d=
=
==.
8.已知几何体ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,则平面AB1D1与平面C1BD的距离为 .
【答案】
【解析】 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),B1(1,1,1),可得 =(0,1,1),=(-1,0,1),
=(-1,0,1),=(0,1,1),因为=,=,则 ∥,∥,所以AD1∥BC1,AB1∥DC1,因为AD1,AB1 平面C1BD,BC1,DC1 平面C1BD,所以AD1∥平面C1BD,AB1∥平面C1BD,又AD1∩AB1=A,AD1,AB1 平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD,所以平面AB1D1与平面C1BD的距离等于点C1到平面AB1D1的距离d,设平面AB1D1的法向量为 n=(x,y,z),则令z=1,可得x=1,y=-1,所以n=(1,-1,1)为平面AB1D1的一个法向量,又因为 =(1,0,0),所以d==.所以平面AB1D1与平面C1BD的距离为.
9.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知AB=2AA1=4,O为棱C1D1的中点,则线段AO在平面OBC上的射影的长度为 .
【答案】 4
【解析】 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),O(0,2,2),所以 =(-4,2,2),=(-4,-2,2),=(4,0,0),
设平面OBC的法向量为m=(x,y,z),则令y=1,则x=0,z=1,故平面OBC的一个法向量为m=(0,1,1),
所以点A到平面OBC的距离为d===2,所以线段AO在平面OBC上的射影的长度为==4.
10.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,E,F分别是BC,A1C1的中点,△ABC是边长为2的等边三角形,AA1=AB.求点C到平面AEF的距离.
【解】 以E为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0,,0),E(0,0,0),C(1,0,0),F(,,2),所以=(0,,0),=(,,2),
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,则x=-4,y=0,
故 n=(-4,0,1)为平面AEF的一个法向量.
设点C到平面AEF的距离为d,=(-1,0,0),则d===.
故点C到平面AEF的距离为.
强化练
11.(2025·湖北宜昌模拟)在正三棱锥PABC中,AB=PA=,且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上,设点O到平面PAB的距离为m,到平面ABC的距离为n,则=( )
A. B. C. D.3
【答案】 B
【解析】 在正三棱锥PABC中,PA=PB=PC,又PA=1,AB=,所以PA2+PB2=AB2,所以PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PC⊥PB,即PA,PB,PC两两垂直,把该三棱锥补成一个正方体,则三棱锥的外接球就是正方体的外接球,正方体的体对角线就是外接球的直径,
易得m=,如图,以P为坐标原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),O(,,),
所以=(-1,1,0),=(-1,0,1),=(-,,),设平面ABC的法向量为s=(x,y,z),
则令x=1,则y=z=1,所以平面ABC的一个法向量为s=(1,1,1),
则点O到平面ABC的距离n==,所以=.故选B.
12.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,则异面直线AC与BC1之间的距离是( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),C1(0,1,3),
则=(-2,1,0),=(-2,0,3),设和的公垂线的方向向量n=(x,y,z),
则即令x=3,则y=6,z=2,即n=(3,6,2),在n上的投影向量的长度即为异面直线AC与BC1之间的距离,因为=(0,1,0),所以d==.故选D.
13.已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,点P是线段BD1上异于B,D1的动点,记=t(t>0).若点P到直线AD的距离为,则t的值为 .
【答案】
【解析】 在长方体ABCDA1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),D1(0,0,1),令 =λ=λ(1,2,-1)=(λ,2λ,-λ),
则有P(λ,2λ,1-λ),0<λ<1,t=,=(1-λ,-2λ,λ-1),显然 =(1,0,0),点P到直线AD的距离d=
===,整理得5λ2-2λ+=0,解得λ=,所以t==.
14.如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别为OA,BC,AD的中点.
求:(1)直线MN到平面OCD的距离;
(2)平面MNR与平面OCD的距离.
【解】 (1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,
所以以A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),
因为M,R分别为OA,AD的中点,则MR∥OD,
因为MR 平面OCD,OD 平面OCD,所以MR∥平面OCD,
因为ADBC,R,N分别为AD,BC的中点,则CNRD,
所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD,
因为RN 平面OCD,CD 平面OCD,所以 RN∥平面OCD,
因为MR∩RN=R,MR,RN 平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD,
因为MN 平面MNR,所以MN∥平面OCD,
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),=(2,0,0),=(0,-2,2),
则取y=1,则x=0,z=1,可得n=(0,1,1)为平面OCD的一个法向量,
因为=(0,1,0),
所以直线MN到平面OCD的距离为d1===.
(2)由(1)得平面MNR∥平面OCD,则平面MNR与平面OCD的距离为d2===.
15.(2025·江苏江阴模拟)如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E在棱AA1上,且AE=1.若点P在棱D1C1上,且点P到平面B1DE的距离为,求点P到直线EB1的距离.
【解】 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接DP,PB1,
则A(4,0,0),B(4,4,0),B1(4,4,4),D1(0,0,4),E(4,0,1),设P(0,a,4),其中0≤a≤4,
则 =(4,0,1),=(4,4,4),=(0,a,4),设平面B1DE的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,则y=3,z=-4,故n=(1,3,-4)为平面B1DE的一个法向量,设点P到平面B1DE的距离为d,所以d===,由于0≤a≤4,解得a=1,故P(0,1,4),
=(0,4,3),=(4,3,0),所以点P到直线EB1的距离为==.第7节 利用空间向量求空间距离
基础练
1.已知A(2,2,0),B(1,4,2),C(0,2,0),则原点O到平面ABC的距离是( )
A. B.2 C.2 D.
2.已知在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,则直线BD到平面EFD1B1的距离为( )
A. B. C. D.
3.(2025·广东江门模拟)在三棱锥ABCD中,AB=AC=AD=6,AB,AC,AD两两垂直,E为AB的中点,F为AD上更靠近点D的三等分点,O为△BCD的重心,则点O到直线EF的距离为( )
A. B.
C. D.
4.(2025·浙江温州模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCDEFGH中,点P在正方体的内部且满足=++,则点P到平面ADGF的距离为( )
A. B. C. D.
5.(多选题)已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为3,E,F分别为线段DD′和BB′中点,则( )
A.点A′到直线BE的距离为3
B.直线AE到直线FC′的距离为3
C.点B到平面AB′E的距离为
D.直线FC′到平面AB′E的距离为1
6.已知在三棱柱ABCA1B1C1中,=(0,2,-3),=(2,0,),=(-2,0,),则该三棱柱的体积为( )
A.2 B.3 C.4 D.4
7.(2025·江西新余模拟)已知点A(-1,-1,-1),直线l过原点且平行于a=(0,1,2),则点A到直线l的距离为 .
8.已知几何体ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,则平面AB1D1与平面C1BD的距离为 .
9.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,已知AB=2AA1=4,O为棱C1D1的中点,则线段AO在平面OBC上的射影的长度为 .
10.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,E,F分别是BC,A1C1的中点,△ABC是边长为2的等边三角形,AA1=AB.求点C到平面AEF的距离.
强化练
11.(2025·湖北宜昌模拟)在正三棱锥PABC中,AB=PA=,且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上,设点O到平面PAB的距离为m,到平面ABC的距离为n,则=( )
A. B. C. D.3
12.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,则异面直线AC与BC1之间的距离是( )
A. B. C. D.
13.已知在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=AD=1,点P是线段BD1上异于B,D1的动点,记=t(t>0).若点P到直线AD的距离为,则t的值为 .
14.如图,在四棱锥OABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分别为OA,BC,AD的中点.
求:(1)直线MN到平面OCD的距离;
(2)平面MNR与平面OCD的距离.
15.(2025·江苏江阴模拟)如图,在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E在棱AA1上,且AE=1.若点P在棱D1C1上,且点P到平面B1DE的距离为,求点P到直线EB1的距离.
