第6节 利用空间向量证明平行和垂直
基础练
1.已知一直线经过点A(2,3,2),B(-1,0,-1),下列向量中是该直线的方向向量的为( )
A.a=(-1,1,1) B.a=(1,-1,1)
C.a=(1,1,-1) D.a=(1,1,1)
2.已知A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),若平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则n=( )
A.(-,,1) B.(,-,1)
C.(,,1) D.(,,1)
3.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.(1,-1,1) B.(1,3,)
C.(1,-3,) D.(1,3,-)
4.已知平面α外的直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面α的一个法向量为n=(6,1,-3),则( )
A.l与α斜交 B.l⊥α
C.l∥α D.以上说法都不正确
5.(2025·江苏南通模拟)已知平面α经过点A(0,1,2),且一个法向量为(-2,1,-1),P(x,y,z)是平面α内任意一点,则( )
A.x+y-z=0 B.x+y-z=-1
C.2x-y+z=0 D.2x-y+z=1
6.(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是( )
A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(4,6,2),b=(2,3,1),则l1∥l2
B.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β
C.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),平面α的一个法向量为u=(6,4,-1),则l⊥α
D.直线l的方向向量为a=(0,3,0),平面α的一个法向量为u=(0,-5,0),则l∥α
7.已知n1=(1,x,2),n2=(-1,2,3)分别是平面α,β的一个法向量,若α⊥β,则x= .
8.如图,AP⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,= .
9.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=4,=λ,D为BC的中点.当AD∥平面BC1E时,λ= .
10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱AB,BC,CD的中点.
(1)证明:EC1∥平面A1AG;
(2)证明:A1F⊥EC1.
强化练
11.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,1),B(-1,2,-1),则( )
A.直线AB∥坐标平面Oxy
B.直线AB⊥坐标平面Oxy
C.直线AB∥坐标平面Oxz
D.直线AB⊥坐标平面Oxz
12.(多选题)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,AD,A1B1的中点,则下列结论中正确的是( )
A.CF∥平面AED1
B.CF⊥DG
C.DG⊥平面AED1
D.CF∥DG
13.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为棱CC1上的一个动点,给出下列三个结论:
①A1B1⊥BE;②存在点E,使得AC∥平面BD1E;③存在点E,使得B1D⊥平面BD1E.其中所有正确结论的序号为 .
14.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,M是AB的中点,N是B1C1的中点,P是BC1与B1C的交点.在线段A1N上找一点Q,使得PQ∥平面A1CM.
15.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点.
(1)在B1B上是否存在一点P,使D1P⊥平面B1AE
(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N,使D1N⊥平面B1AE 第6节 利用空间向量证明平行和垂直
基础练
1.已知一直线经过点A(2,3,2),B(-1,0,-1),下列向量中是该直线的方向向量的为( )
A.a=(-1,1,1) B.a=(1,-1,1)
C.a=(1,1,-1) D.a=(1,1,1)
【答案】 D
【解析】 由题意得直线的方向向量与=(-3,-3,-3)共线,而(1,1,1)=-(-3,-3,-3),所以a=(1,1,1)是该直线的方向向量.故选D.
2.已知A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),若平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则n=( )
A.(-,,1) B.(,-,1)
C.(,,1) D.(,,1)
【答案】 C
【解析】 由A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1)得=(-1,-1,1),=(2,-1,0),因为平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),所以即解得所以n=(,,1).故选C.
3.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.(1,-1,1) B.(1,3,)
C.(1,-3,) D.(1,3,-)
【答案】 B
【解析】 由题意可得符合条件的点P应满足·n=0,且A(2,-1,2),对于A,
由=(2,-1,2)-(1,-1,1)=(1,0,1),则·n=5≠0,所以A不符合题意;对于B,
由=(2,-1,2)-(1,3,)=(1,-4,),则·n=0,所以B符合题意;对于C,由=(1,2,),则·n=6≠0,
所以C不符合题意;对于D,由=(1,-4,),则·n=6≠0,所以D不符合题意.故选B.
4.已知平面α外的直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面α的一个法向量为n=(6,1,-3),则( )
A.l与α斜交 B.l⊥α
C.l∥α D.以上说法都不正确
【答案】 C
【解析】 由平面α外的直线l的方向向量为v=(1,0,2),平面α的一个法向量为n=(6,1,-3),
可得v·n=(1,0,2)·(6,1,-3)=1×6+0×1+2×(-3)=0,所以v⊥n,则l∥α. 故选C.
5.(2025·江苏南通模拟)已知平面α经过点A(0,1,2),且一个法向量为(-2,1,-1),P(x,y,z)是平面α内任意一点,则( )
A.x+y-z=0 B.x+y-z=-1
C.2x-y+z=0 D.2x-y+z=1
【答案】 D
【解析】 依题意,=(x,y-1,z-2),而平面α的一个法向量为(-2,1,-1),
因此(x,y-1,z-2)·(-2,1,-1)=-2x+y-1-(z-2)=-2x+y-z+1=0,即2x-y+z=1.故选D.
6.(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是( )
A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(4,6,2),b=(2,3,1),则l1∥l2
B.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β
C.直线l的方向向量为a=(1,-1,2),平面α的一个法向量为u=(6,4,-1),则l⊥α
D.直线l的方向向量为a=(0,3,0),平面α的一个法向量为u=(0,-5,0),则l∥α
【答案】 AB
【解析】 对于A,a=2b,故a∥b,即l1∥l2,A正确;对于B,u·v=(2,2,-1)·(-3,4,2)=-6+8-2=0,故u⊥v,即α⊥β,B正确;对于C,明显不存在实数λ,使a=λu,即a,u不共线,则l⊥α不成立,C错误;对于D, a·u=(0,3,0)·(0,-5,0)=-15≠0,即a,u不垂直,则l∥α不成立,D错误.故选AB.
7.已知n1=(1,x,2),n2=(-1,2,3)分别是平面α,β的一个法向量,若α⊥β,则x= .
【答案】 -
【解析】 因为α⊥β,所以n1⊥n2,所以n1·n2=1×(-1)+x×2+2×3=0,解得x=-.
8.如图,AP⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,= .
【答案】 1
【解析】 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,PA=a,
则B(1,0,0),E(,1,0),P(0,0,a),
设F(0,y,0),则=(-1,y,0),=(,1,-a),
因为BF⊥PE,所以·=-+y=0,则y=,
即F(0,,0)是AD的中点,故=1.
9.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=2,AA1=4,=λ,D为BC的中点.当AD∥平面BC1E时,λ= .
【答案】
【解析】 由几何体ABCA1B1C1为正三棱柱,且D为BC的中点,则以D为坐标原点,,
,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
因为AB=2,AA1=4,
所以D(0,0,0),A(0,,0),C(1,0,0),B(-1,0,0),A1(0,,4),C1(1,0,4),
则=(0,0,4),=(2,0,4),=λ=λ(0,0,4)=(0,0,4λ),所以E(0,,4λ),=(1,,4λ),
设平面BC1E的法向量为n=(x,y,z),
则取z=,则x=-2,y=2-4λ,所以平面BC1E的一个法向量为n=(-2,2-4λ,),又=(0,-,0),
所以当AD∥平面BC1E时,n·=-(2-4λ)=0,解得λ=.
10.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱AB,BC,CD的中点.
(1)证明:EC1∥平面A1AG;
(2)证明:A1F⊥EC1.
【证明】 (1)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
不妨设AB=2,则A(2,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),G(0,1,0),
可得=(-2,1,2),=(0,0,2),=(-2,1,0).
设平面A1AG的法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,则y=2,z=0,可得平面A1AG的一个法向量为n=(1,2,0),
因为n·=-2+2=0,且EC1 平面A1AG,所以EC1∥平面A1AG.
(2)由(1)可得=(-1,2,-2),=(-2,1,2),则·=2+2-4=0,所以A1F⊥EC1.
强化练
11.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,1),B(-1,2,-1),则( )
A.直线AB∥坐标平面Oxy
B.直线AB⊥坐标平面Oxy
C.直线AB∥坐标平面Oxz
D.直线AB⊥坐标平面Oxz
【答案】 C
【解析】 由题意可知,=(-2,0,-2),坐标平面Oxy的一个法向量为m=(0,0,1),因为≠λm
(λ∈R),且·m≠0,所以与m既不平行也不垂直,所以直线AB与坐标平面Oxy既不平行也不垂直,故A,B错误;坐标平面Oxz的一个法向量为n=(0,1,0),因为·n=0,所以⊥n,且AB 平面Oxz,所以AB∥坐标平面Oxz,故C正确,D错误.故选C.
12.(多选题)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,AD,A1B1的中点,则下列结论中正确的是( )
A.CF∥平面AED1
B.CF⊥DG
C.DG⊥平面AED1
D.CF∥DG
【答案】 ABC
【解析】 以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),C(0,1,0),F(,0,0),E(0,1,),A(1,0,0),D1(0,0,1),G(1,,1),
所以=(,-1,0),=(1,,1),=(-1,1,),=(-1,0,1),
设平面AED1的法向量为n=(x,y,z),
则令z=2,解得x=2,y=1,所以平面AED1的一个法向量为n=(2,1,2).因为·n=1-1+0=0,即⊥n,又因为CF 平面AED1,所以CF∥平面AED1,A正确;因为·=-+0=0,所以CF⊥DG,B正确,D错误;因为=n,所以∥n,所以DG⊥平面AED1,C正确.故选ABC.
13.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为棱CC1上的一个动点,给出下列三个结论:
①A1B1⊥BE;②存在点E,使得AC∥平面BD1E;③存在点E,使得B1D⊥平面BD1E.其中所有正确结论的序号为 .
【答案】 ①②
【解析】 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4),D(0,0,0),D1(0,0,4),设E(0,2,a),a∈[0,4],则=(0,2,0),=(-2,0,a),因为·=0,所以⊥,即A1B1⊥BE,所以①正确;又由=(-2,0,a),=(-2,-2,4).设平面BD1E的法向量为n=(x,y,z),则取x=a,可得y=4-a,z=2,所以平面BD1E的一个法向量为n=(a,4-a,2),因为=(-2,2,0),由·n=-2a+8-2a=0,解得a=2,所以②正确;又因为=(2,2,4),=(2,2,-4),则·=-8≠0,所以不存在点E,使得B1D⊥平面BD1E,所以③错误.故选①②.
14.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=4,M是AB的中点,N是B1C1的中点,P是BC1与B1C的交点.在线段A1N上找一点Q,使得PQ∥平面A1CM.
【解】 以A为坐标原点,AC,AB,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(0,0,4),C(2,0,0),M(0,1,0),N(1,1,4),P(1,1,2),
所以=(2,0,-4),=(0,1,-4),=(1,1,0),=(1,1,-2),
设平面A1CM的法向量为n=(x,y,z),则即
令z=1,得x=2,y=4,所以n=(2,4,1)是平面A1CM的一个法向量,
设=λ=(λ,λ,0)(0≤λ≤1),则=-=(λ,λ,0)-(1,1,-2)=(λ-1,λ-1,2),
若∥平面A1CM,则⊥n,从而·n=0,即2(λ-1)+4(λ-1)+2=0,解得λ=,
所以=,所以当Q为线段A1N上靠近N的三等分点时,PQ∥平面A1CM.
15.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点.
(1)在B1B上是否存在一点P,使D1P⊥平面B1AE
(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N,使D1N⊥平面B1AE
【解】 (1)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则点A(1,0,0),E(,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),=(0,-1,-1),=(-,0,-1),
假设存在点P(1,1,z)满足题意,于是=(1,1,z-1),
所以所以
解得z=0与z=矛盾,
故B1B上不存在点P,使D1P⊥平面B1AE.
(2)假设在平面AA1B1B上存在点N,使D1N⊥平面B1AE.设N(1,b,c),
则因为=(1,b,c-1),
所以解得故平面AA1B1B上存在点N(1,,),使D1N⊥平面B1AE.
