第5节 空间向量及空间位置关系
基础练
1.已知在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,=,N为BC的中点,则= ( )
A.a-b+c B.-a+b+c
C.a+b-c D.a+b-c
2.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,1,x),若a与b垂直,则=( )
A.2 B.5
C.2 D.
3.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,下列条件中能确定M,A,B,C四点共面的是( )
A.=++
B.=3--
C.=++
D.=3-2-
4.已知向量a=(2,4,-4),b=(1,2,2),则向量a在向量b上的投影向量为( )
A.(,,-) B.(,,)
C.(,,-) D.(,,)
5.在四面体OABC中,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,若=++,则使点G与点M,N共线的x的值为( )
A.1 B.2 C. D.
6.(多选题)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列说法正确的是( )
A.=-a-b+c
B.<,>=
C.=a+b+c
D.·=1
7.已知向量a=(1,2,-3),b=(-2,λ,6),若a与b共线,则λ= .
8.(2025·江苏淮安模拟)已知向量a=(1,0,1),b=(1,1,2),则向量a与b的夹角为 .
9.已知正四面体PABC的棱长为1,空间中一点M满足=x+y+z,其中x,y,z∈R,且x+y+z=1,则的最小值为 .
10.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB∥CD,AB⊥AD,AA1=AB=2AD=2CD=4,E,F,G分别为棱DD1,A1D1,BB1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求·的值;
(2)证明:C,E,F,G四点共面.
强化练
11.已知空间向量a=(2,-1,1),b=(m,3,-3),若a与b的夹角是钝角,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-6)∪(-6,3)
B.(-∞,3)
C.(3,6)∪(6,+∞)
D.(3,+∞)
12.(多选题)下列关于空间向量的命题中,正确的有( )
A.将空间所有的单位向量平移到一个起点,则它们的终点构成一个球面
B.若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则有a∥c
C.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D.若{,,}为空间的一个基底,且=++,则A,B,C,D四点共面
13.已知A(1,-2,1),向量a=(-3,4,12),且满足=2a.
(1)求点B的坐标;
(2)若点M在直线OA(O为坐标原点)上运动,当·取最小值时,求点M的坐标.
拓展练
14.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中“堑堵”是指底面为直角三角形的直三棱柱.如图,在“堑堵”ABCA1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若=x+y+z,则x+y+z= .
15.在空间中,两两垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“空间斜60°坐标系”.类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:i,j,k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量,若向量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量n的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z].
(1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标.
(2)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,以{,,}为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若=,求向量的斜60°坐标;
②若=[2,t,0],且⊥,求.第5节 空间向量及空间位置关系
基础练
1.已知在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,=,N为BC的中点,则= ( )
A.a-b+c B.-a+b+c
C.a+b-c D.a+b-c
【答案】 B
【解析】 在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,
且点M在OA上,=,N为BC的中点,
如图,连接ON,可得=-=(+)-=-a+b+c.故选B.
2.已知向量a=(-2,1,3),b=(-1,1,x),若a与b垂直,则=( )
A.2 B.5
C.2 D.
【答案】 D
【解析】 由于a与b垂直,所以a·b=2+1+3x=0,解得x=-1,所以a+2b=(-4,3,1),
故==.故选D.
3.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,下列条件中能确定M,A,B,C四点共面的是( )
A.=++
B.=3--
C.=++
D.=3-2-
【答案】 D
【解析】 由空间向量基本定理可知,若M,A,B,C四点共面,则需满足存在实数x,y,z使得=x+y+z,且x+y+z=1,显然A,C不成立;对于B,由=3--可得=3--(-)=3-,不符合题意,即B错误;对于D,由=3-2-可得=3-2-(-)=3--,满足3+(-1)+(-1)=1,符合题意,即D正确.故选D.
4.已知向量a=(2,4,-4),b=(1,2,2),则向量a在向量b上的投影向量为( )
A.(,,-) B.(,,)
C.(,,-) D.(,,)
【答案】 D
【解析】 由投影向量公式得向量a在向量b上的投影向量为·=·b=×(1,2,2)=(,,).故选D.
5.在四面体OABC中,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,若=++,则使点G与点M,N共线的x的值为( )
A.1 B.2 C. D.
【答案】 A
【解析】 由题意得,=(+),=.若点G与点M,N共线,则存在实数λ,使得=λ+(1-λ)=(+)+.又=++,所以解得故选A.
6.(多选题)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列说法正确的是( )
A.=-a-b+c
B.<,>=
C.=a+b+c
D.·=1
【答案】 AD
【解析】 由题意可知,a·b=a·c=b·c=1×1×cos=,对于A,=+=+=
-(+)=-a-b+c,故A正确;对于B,因为=++=a+b+c,所以·=
(-a-b+c)·(a+b+c)=-a2-a·b-a·c-b·a-b2-b·c+c·a+c·b+c2=0,所以<,>=,故B错误;对于C,=++=-++=-a+b+c,故C错误;对于D,·=b·(-a+b+c)=
-a·b+b2+b·c=1,故D正确.故选AD.
7.已知向量a=(1,2,-3),b=(-2,λ,6),若a与b共线,则λ= .
【答案】 -4
【解析】 向量a=(1,2,-3),b=(-2,λ,6),若a与b共线,则有==,解得λ=-4.
8.(2025·江苏淮安模拟)已知向量a=(1,0,1),b=(1,1,2),则向量a与b的夹角为 .
【答案】
【解析】 设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=====,θ∈[0,π],故θ=.
9.已知正四面体PABC的棱长为1,空间中一点M满足=x+y+z,其中x,y,z∈R,且x+y+z=1,则的最小值为 .
【答案】
【解析】 如图,
因为=x+y+z,x+y+z=1,所以=(1-y-z)+y+z=-y-z+y+z,所以-=y(-)+z(-),所以=y+z,因为,不共线,所以,,共面,所以点M在平面ABC内,所以当PM⊥平面ABC时,最小,取BC的中点D,连接AD,则点M在AD上,且AM=AD=××1=,所以PM===,即的最小值为.
10.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB∥CD,AB⊥AD,AA1=AB=2AD=2CD=4,E,F,G分别为棱DD1,A1D1,BB1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求·的值;
(2)证明:C,E,F,G四点共面.
(1)【解】 因为AA1=AB=2AD=2CD=4,所以C(2,0,2),E(2,2,0),F(1,4,0),G(0,2,4),
所以=(-2,2,2),=(-1,2,0),所以·=-2×(-1)+2×2+0=6.
(2)【证明】 由(1)得,=(0,2,-2),令=m+n,即解得
所以=-+2.故C,E,F,G四点共面.
强化练
11.已知空间向量a=(2,-1,1),b=(m,3,-3),若a与b的夹角是钝角,则m的取值范围是( )
A.(-∞,-6)∪(-6,3)
B.(-∞,3)
C.(3,6)∪(6,+∞)
D.(3,+∞)
【答案】 A
【解析】 由题意可得a·b<0,且a,b不共线,即解得m<-6或-612.(多选题)下列关于空间向量的命题中,正确的有( )
A.将空间所有的单位向量平移到一个起点,则它们的终点构成一个球面
B.若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则有a∥c
C.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D.若{,,}为空间的一个基底,且=++,则A,B,C,D四点共面
【答案】 AC
【解析】 对于A,由单位向量的定义:模为1的向量,可得将空间所有的单位向量平移到一个起点,则它们的终点构成一个球面,故A正确;对于B,若非零向量a,b,c不共面,则取{a,c}为平面α的一个基底,b为平面α的法向量满足a⊥b,b⊥c,但a与c不平行,故B错误;对于C,由法向量的定义可知与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量,故C正确;对于D,因为1+1+1=3≠1,所以A,B,C,D四点不共面,故D错误.故选AC.
13.已知A(1,-2,1),向量a=(-3,4,12),且满足=2a.
(1)求点B的坐标;
(2)若点M在直线OA(O为坐标原点)上运动,当·取最小值时,求点M的坐标.
【解】 (1)设B(x,y,z),则=(x-1,y+2,z-1),因为=2a.
所以解得所以B(-5,6,25).
(2)因为点M在直线OA(O为坐标原点)上运动,设=λ=(λ,-2λ,λ)(λ∈R).
所以=-=(1-λ,-2+2λ,1-λ),=-=(-5-λ,6+2λ,25-λ).
所以·=(1-λ)(-5-λ)+(-2+2λ)(6+2λ)+(1-λ)(25-λ)=6λ2-14λ+8=6(λ-)2-.所以当λ=时,
·取得最小值,所以M(,-,).
拓展练
14.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中“堑堵”是指底面为直角三角形的直三棱柱.如图,在“堑堵”ABCA1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若=x+y+z,则x+y+z= .
【答案】
【解析】 连接AM,AN,如图所示,
因为G是MN的中点,M,N分别是A1C1,BB1的中点,所以=(+)=(+++
)=(+++)=(+++)=(++)=++,又因为=x+y+z,
所以x=,y=,z=,所以x+y+z=.
15.在空间中,两两垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“空间斜60°坐标系”.类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:i,j,k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量,若向量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量n的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z].
(1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标.
(2)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,以{,,}为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若=,求向量的斜60°坐标;
②若=[2,t,0],且⊥,求.
【解】 (1)由a=[1,2,3],b=[-1,1,2],知a=i+2j+3k,b=-i+j+2k,
所以a+b=(i+2j+3k)+(-i+j+2k)=3j+5k,所以a+b=[0,3,5].
(2)根据题意有i,j,k分别为与,,同方向的单位向量,则=2i,=2j,=3k.
①=-=(+)-(+)=-++=-2i+2j+k=[-2,2,].
②由题意知=++=2i+2j+3k,因为=[2,t,0],所以=2i+tj,
由⊥知·=(2i+2j+3k)·(2i+tj)=0 4i2+2tj2+(4+2t)i·j+6k·i+3tk·j=0
4+2t+(4+2t)·+3+=0 t=-2,则||=|2i-2j|====2.
