第4节 空间直线、平面的垂直
基础练
1.若直线l⊥平面α,则下列说法正确的是( )
A.l仅垂直平面α内的一条直线
B.l仅垂直平面α内与l相交的直线
C.l仅垂直平面α内的两条直线
D.l与平面α内的任意一条直线都垂直
2.(2025·湖北随州模拟)已知直线l,平面α,β,若l⊥α,则“l∥β”是“α⊥β”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
4.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为线段AC和线段A1B的中点,则直线MN与平面A1B1BA所成的角为( )
A.60° B.45° C.30° D.75°
5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
B.若α⊥β,m α,则m⊥β
C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n
D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α
6.(多选题)(2025·湖南娄底模拟)如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,下列结论正确的是( )
A.PB⊥BC
B.PD⊥CD
C.PD⊥BD
D.PA⊥BD
7.(2024·全国甲卷改编)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β;②若m⊥n,则n⊥α,n⊥β;③若n∥α,且n∥β,则m∥n;④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n.
其中所有真命题的序号是 .
8.(2025·广东江门模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,M为棱AC的中点,AB=BC,AC=2,
AA1=.若存在点N∈BB1,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C,则 = .
9.如图所示,在正四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,AB=2,OP=,则侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小为 .
10.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,M是DD1的中点.
(1)求证:BD1∥平面AMC;
(2)证明:AC⊥BD1;
(3)求点D到平面AMC的距离.
强化练
11.如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,则下列结论不成立的是( )
A.PE⊥AC
B.PE⊥BC
C.平面PBE⊥平面ABCD
D.平面PBE⊥平面PAD
12.(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )
A B
C D
13.如图,P为圆锥顶点,O为底面中心,点A,B,C均在底面圆周上,且△ABC为等边三角形.
(1)求证:BC⊥平面POA;
(2)若圆锥底面圆的半径为2,高为2,求点A到平面PBC的距离.
拓展练
14.(2025·安徽蚌埠模拟)如图所示,圆台的上、下底面半径分别为4 cm和 6 cm,AA1,BB1为圆台的两条母线,截面ABB1A1与下底面所成角的大小为60°,且☉O1的的弧长为 cm,则三棱台ABOA1B1O1的体积为( )
A. cm3 B.10 cm3
C.19 cm3 D.20 cm3
【答案】 C
【解析】 如图,分别取A1B1,AB的中点E,F,连接O1E,OF,EF,
则O1E⊥A1B1,OF⊥AB,且O1E∥OF,又O1O⊥平面ABO,AB 平面ABO,所以O1O⊥AB,
因为OF∩O1O=O,OF,O1O 平面FEO1O,
所以AB⊥平面FEO1O,
又EF 平面FEO1O,所以EF⊥AB,
所以截面ABB1A1与下底面所成的角为∠EFO=60°,
过点E作EH⊥FO于点H,则EH∥O1O,且EH=O1O,
又☉O1的 的弧长为 cm,弧所在圆的半径为4,
所以∠A1O1B1==,则∠O1A1B1=,所以EO1=4sin=2,
同理可得OF=3,所以FH=3-2=1,
又∠EFO=60°,所以O1O=EH=FHtan 60°=,
又△A1O1B1的面积为×4×4×=4,
同理可得△AOB的面积为×6×6×=9,
所以三棱台ABOA1B1O1的体积为×(4+9+)×=19(cm3).故选C.
15.(2024·新课标Ⅰ卷)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角ACPD的正弦值为,求AD.
(1)【证明】 因为PA⊥平面ABCD,
而AD 平面 ABCD,所以PA⊥AD,
又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA 平面PAB,所以AD⊥平面PAB,
而AB 平面PAB,所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB,根据平面知识可知AD∥BC,
又AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC.
(2)【解】 如图所示,过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接DF,
因为PA⊥平面ABCD,PA 平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABCD,而平面PAC∩平面ABCD=AC,
所以DE⊥平面PAC,所以DE⊥PC,
又EF⊥CP,且DE∩EF=E,DE,EF 平面DEF,所以CP⊥平面DEF,
根据二面角的定义可知,∠DFE即为二面角ACPD的平面角,
即sin∠DFE=,即tan∠DFE=.
因为AD⊥DC,设AD=x(0则CD=,
由等面积法可得,DE=,
又CE==,
由PA=AC,PA⊥AC得△PAC是等腰直角三角形,
△EFC与△PAC相似,也为等腰直角三角形,所以EF=,
故tan∠DFE==,解得x=(负值舍去),即AD=.第4节 空间直线、平面的垂直
基础练
1.若直线l⊥平面α,则下列说法正确的是( )
A.l仅垂直平面α内的一条直线
B.l仅垂直平面α内与l相交的直线
C.l仅垂直平面α内的两条直线
D.l与平面α内的任意一条直线都垂直
【答案】 D
【解析】 因为直线l⊥平面α,则l与平面α内的任意一条直线都垂直,所以A,B,C错误,D正确.故选D.
2.(2025·湖北随州模拟)已知直线l,平面α,β,若l⊥α,则“l∥β”是“α⊥β”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 因为l⊥α,若l∥β,由面面垂直的判定定理可知α⊥β,即充分性成立;
若α⊥β,则l∥β或l β,即必要性不成立.
综上所述,“l∥β”是“α⊥β”的充分不必要条件.故选C.
3.如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
【答案】 C
【解析】 因为AB⊥平面BCD,且AB 平面ABC,AB 平面ABD,
所以平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,
因为AB⊥平面BCD,CD 平面BCD,
所以AB⊥CD,
又因为BC⊥CD,AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,所以CD⊥平面ABC,
因为CD 平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD. 故选C.
4.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为线段AC和线段A1B的中点,则直线MN与平面A1B1BA所成的角为( )
A.60° B.45° C.30° D.75°
【答案】 B
【解析】 如图,取AB的中点O,连接OM,ON,因为M是AC的中点,所以OM∥BC,
又因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,BC⊥平面A1B1BA,所以OM⊥平面A1B1BA,
即ON是MN在平面A1B1BA上的射影,所以∠MNO即为直线MN与平面A1B1BA所成的角,
因为N是A1B的中点,所以ON=AA1=BC=OM,易得∠MNO=45°,
即直线MN与平面A1B1BA所成的角为45°.故选B.
5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
B.若α⊥β,m α,则m⊥β
C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n
D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α
【答案】 C
【解析】 对于A,如图所示,设平面α为平面ABCD,平面β为平面BCC1B1,m为B1C1,则α⊥β,m∥α,而m β,故A错误;对于B,如图所示,设平面α为平面ABCD,平面β为平面BCC1B1,m为AD,则α⊥β,m α,而m∥β,故B错误;对于C,过m作平面γ与平面α交于直线b(图略),m∥α,则m∥b,n⊥α,可得n⊥b,则m⊥n,故C正确;对于D,如图所示,设平面α为平面ABCD,A1B1为m,B1C1为n,则m⊥n,m∥α,而n∥α,故D错误.故选C.
6.(多选题)(2025·湖南娄底模拟)如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,下列结论正确的是( )
A.PB⊥BC
B.PD⊥CD
C.PD⊥BD
D.PA⊥BD
【答案】 ABD
【解析】 因为PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,
PA,AB 平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又PB 平面PAB,所以BC⊥PB,故A正确;因为PA⊥CD,CD⊥AD,AD∩PA=A,AD,PA 平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又PD 平面PAD,
所以PD⊥CD,故B正确;因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD,故D正确;因为BD⊥AO,BD⊥PA,AO,PA 平面PAO,AO∩PA=A,所以BD⊥平面PAO,因为PO 平面PAO,所以BD⊥PO,所以△PDB为等腰三角形,且PD=PB,所以BD与PD不垂直,故C不正确.
故选ABD.
7.(2024·全国甲卷改编)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β;②若m⊥n,则n⊥α,n⊥β;③若n∥α,且n∥β,则m∥n;④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n.
其中所有真命题的序号是 .
【答案】 ①③
【解析】 当n α且n β时,因为m∥n,m β,则n∥β,当 n β且n α时,因为m∥n,m α,则n∥α,当n既不在α内也不在β内时,因为m∥n,m α,m β,则n∥α且n∥β,故①正确;若m⊥n,则n与α,β不一定垂直,故②错误;如图,过直线n分别作两平面与α,β分别相交于直线s和直线t,因为n∥α,过直线n的平面与平面α的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知 n∥s,同理可得n∥t,则s∥t,因为s 平面β,t 平面β,则s∥平面β,因为s 平面α,α∩β=m,则s∥m,又因为n∥s,则m∥n,故③正确;因为α∩β=m,n与α和β所成的角相等,如果n∥α,n∥β,则m∥n,故④错误.综上只有①③正确.
8.(2025·广东江门模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,M为棱AC的中点,AB=BC,AC=2,
AA1=.若存在点N∈BB1,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C,则 = .
【答案】
【解析】 当N为BB1中点,即=时,平面AC1N⊥平面AA1C1C. 理由如下:
如图,设AC1的中点为D,连接DM,DN,BM.
因为D,M分别为AC1,AC的中点,所以DM∥CC1,且DM=CC1,
又因为N为BB1的中点,根据直三棱柱的性质得DM∥BN且DM=BN,所以四边形DMBN是平行四边形,所以BM∥DN,
又因为AB=BC,M为AC的中点,所以BM⊥AC,
又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以平面ABC⊥平面ACC1A1,
平面ABC∩平面ACC1A1=AC,BM 平面ABC,
所以BM⊥平面ACC1A1,所以DN⊥平面ACC1A1.
又因为DN 平面AC1N,所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.
9.如图所示,在正四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,AB=2,OP=,则侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小为 .
【答案】 60°
【解析】 如图,取AD的中点F,连接OF,PF,因为PABCD为正四棱锥,O为底面正方形的中心,所以OP⊥底面ABCD,因为AD,OF 平面ABCD,所以OP⊥AD,OP⊥OF,又底面ABCD为正方形,F为AD的中点,所以OF⊥AD,又OF∩OP=O,OF,OP 平面OFP,所以AD⊥平面OFP,又PF 平面OFP,所以AD⊥PF,则∠OFP为侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的平面角,又OF=AB=×2=1,OP=,所以tan∠OFP==,且∠OFP为锐角,所以∠OFP=60°,即侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为60°.
10.如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,M是DD1的中点.
(1)求证:BD1∥平面AMC;
(2)证明:AC⊥BD1;
(3)求点D到平面AMC的距离.
(1)【证明】 设AC∩BD=O,连接OM,如图.
因为在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四边形ABCD是正方形,所以O为BD中点,又M为DD1中点,所以OM∥BD1,又OM 平面AMC,BD1 平面AMC,所以BD1∥平面AMC.
(2)【证明】 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,又AC 平面ABCD,
所以DD1⊥AC,
在正方形ABCD中,BD⊥AC,又DD1∩BD=D,DD1,BD 平面BDD1,所以AC⊥平面BDD1,
又BD1 平面BDD1,所以AC⊥BD1.
(3)【解】 设点D到平面AMC的距离为h,所以=,即S△AMC·h=S△ADC·DM,
因为AB=1,AA1=2,M是DD1的中点,所以AM=MC=,AC=,即S△AMC=×()2=,所以h=×1×1×1,解得h=,即点D到平面MAC的距离为.
强化练
11.如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,则下列结论不成立的是( )
A.PE⊥AC
B.PE⊥BC
C.平面PBE⊥平面ABCD
D.平面PBE⊥平面PAD
【答案】 D
【解析】 因为PA=PD,E为AD的中点,所以 PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PE 平面PAD,所以PE⊥平面ABCD,又AC,BC 平面ABCD,所以PE⊥AC,
PE⊥BC,所以A,B成立;又PE 平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD,所以C成立;若平面PBE⊥平面PAD,且PE⊥AD,而平面 PBE∩平面PAD=PE,AD 平面PAD,所以AD⊥平面PBE,又BE 平面PBE,则AD⊥BE,但此关系不一定成立,故D错误.故选D.
12.(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是( )
A B
C D
【答案】 BD
【解析】 对于A,显然AB与BF不垂直,因为CE∥BF,所以AB与CE不垂直,则直线AB与平面CDE不垂直;
对于B,因为AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,CE,ED 平面CDE,所以AB⊥平面CDE;
对于C,连接AF(图略),显然AB与AF不垂直,因为CE∥AF,所以AB与CE不垂直,所以直线AB与平面CDE不垂直;
对于D,因为ED⊥平面ABC,AB 平面ABC,所以ED⊥AB,因为CE⊥平面ABD,AB 平面ABD,所以CE⊥AB,因为ED∩CE=E,CE,ED 平面CDE,所以AB⊥平面CDE.故选BD.
13.如图,P为圆锥顶点,O为底面中心,点A,B,C均在底面圆周上,且△ABC为等边三角形.
(1)求证:BC⊥平面POA;
(2)若圆锥底面圆的半径为2,高为2,求点A到平面PBC的距离.
(1)【证明】 如图,延长AO交BC于点M,由△ABC为等边三角形,O为圆锥底面中心,得O是△ABC的中心,则AM⊥BC,所以AO⊥BC,
而PO⊥平面ABC,BC 平面ABC,则PO⊥BC,又PO∩AO=O,PO,AO 平面POA,
所以BC⊥平面POA.
(2)【解】 如图,连接PM,作AH⊥PM于点H,由(1)知BC⊥平面POA,则BC⊥平面PAM,又AH 平面PAM,则BC⊥AH,
而BC∩PM=M,BC,PM 平面PBC,则AH⊥平面PBC,故AH即为点A到平面PBC的距离.
显然MO=AO=1,PO=2,则PM==3=AM,而∠AMH=∠PMO,
于是Rt△AMH≌Rt△PMO,因此 AH=PO=2,所以点A到平面PBC的距离为2.
拓展练
14.(2025·安徽蚌埠模拟)如图所示,圆台的上、下底面半径分别为4 cm和 6 cm,AA1,BB1为圆台的两条母线,截面ABB1A1与下底面所成角的大小为60°,且☉O1的的弧长为 cm,则三棱台ABOA1B1O1的体积为( )
A. cm3 B.10 cm3
C.19 cm3 D.20 cm3
【答案】 C
【解析】 如图,分别取A1B1,AB的中点E,F,连接O1E,OF,EF,
则O1E⊥A1B1,OF⊥AB,且O1E∥OF,又O1O⊥平面ABO,AB 平面ABO,所以O1O⊥AB,
因为OF∩O1O=O,OF,O1O 平面FEO1O,
所以AB⊥平面FEO1O,
又EF 平面FEO1O,所以EF⊥AB,
所以截面ABB1A1与下底面所成的角为∠EFO=60°,
过点E作EH⊥FO于点H,则EH∥O1O,且EH=O1O,
又☉O1的 的弧长为 cm,弧所在圆的半径为4,
所以∠A1O1B1==,则∠O1A1B1=,所以EO1=4sin=2,
同理可得OF=3,所以FH=3-2=1,
又∠EFO=60°,所以O1O=EH=FHtan 60°=,
又△A1O1B1的面积为×4×4×=4,
同理可得△AOB的面积为×6×6×=9,
所以三棱台ABOA1B1O1的体积为×(4+9+)×=19(cm3).故选C.
15.(2024·新课标Ⅰ卷)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角ACPD的正弦值为,求AD.
(1)【证明】 因为PA⊥平面ABCD,
而AD 平面 ABCD,所以PA⊥AD,
又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA 平面PAB,所以AD⊥平面PAB,
而AB 平面PAB,所以AD⊥AB.
因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥AB,根据平面知识可知AD∥BC,
又AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC.
(2)【解】 如图所示,过点D作DE⊥AC于E,再过点E作EF⊥CP于F,连接DF,
因为PA⊥平面ABCD,PA 平面PAC,
所以平面PAC⊥平面ABCD,而平面PAC∩平面ABCD=AC,
所以DE⊥平面PAC,所以DE⊥PC,
又EF⊥CP,且DE∩EF=E,DE,EF 平面DEF,所以CP⊥平面DEF,
根据二面角的定义可知,∠DFE即为二面角ACPD的平面角,
即sin∠DFE=,即tan∠DFE=.
因为AD⊥DC,设AD=x(0则CD=,
由等面积法可得,DE=,
又CE==,
由PA=AC,PA⊥AC得△PAC是等腰直角三角形,
△EFC与△PAC相似,也为等腰直角三角形,所以EF=,
故tan∠DFE==,解得x=(负值舍去),即AD=.
