第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
基础练
1.(2025·湖北武汉模拟)下列说法正确的是( )
A.空间中两直线的位置关系有三种:平行、垂直和异面
B.若空间中两直线没有公共点,则这两直线异面
C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则这两直线可能相交,也可能
异面
【答案】 D
【解析】 对于A,空间中两直线的位置关系有三种:平行、相交和异面,故A错误;对于B,若空间中两直线没有公共点,则这两直线异面或平行,故B错误;对于C,和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线,故C错误;对于D,如图,在长方体ABCDA′B′C′D′中,当A′B所在直线为a,BC′所在直线为b时,a与b相交,当A′B所在直线为a,B′C所在直线为b时,a与b异面,故若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则这两直线可能相交,也可能异面,故D正确.故选D.
2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是( )
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,M,C,O四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
【答案】 D
【解析】 因为M∈A1C,A1C 平面A1ACC1,所以M∈平面A1ACC1,又因为M∈平面AB1D1,所以M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上,即A,M,O三点共线,故A正确;所以A,M,O,A1四点共面且A,M,C,O四点共面,故B,C正确;因为平面BB1D1D∩平面AB1D1=B1D1,所以M在平面BB1D1D外,即B,B1,O,M四点不共面,故D错误.故选D.
3.(2025·重庆南岸模拟)在棱长为1的正四面体ABCD中,直线AD与BC是( )
A.平行直线 B.相交直线
C.异面直线 D.无法判断位置关系
【答案】 C
【解析】 作出正四面体ABCD,如图,
因为BC 平面BCD,D∈平面BCD,D BC,A 平面BCD,
所以直线AD与BC是异面直线.故选C.
4.在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是弧BC的中点,F是AB的中点,则( )
A.AE=CF,AC与EF是共面直线
B.AE≠CF,AC与EF是共面直线
C.AE=CF,AC与EF是异面直线
D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
【答案】 D
【解析】 如图,连接BE,由已知得,AE===,CF==
=,所以AE≠CF,连接OF,在△ABC中,O是BC的中点,F是AB的中点,所以OF∥AC,所以AC与OF是共面直线,若AC与EF是共面直线,则O,F,A,C,E在同一平面内,显然矛盾,故AC与EF是异面直线.故选D.
5.(多选题)下列是关于互不相同的直线m,n,l和平面α,β的四个命题,其中错误的命题是( )
A.m α,l∩α=A,点A m,则l与m是异面直线
B.m α,n β,则m与n是异面直线
C.α∩β=l,m α,n β,且m∩n=P,则P∈l
D.m α,n β,则“m与n相交”与“α与β相交”等价
【答案】 BD
【解析】 选项A,若m α,l∩α=A,A m,则l与m为异面直线,故A正确;选项B,若m α,n β,则m与n为异面直线或共面,故B错误;选项C,若 α∩β=l,m α,n β,m∩n=P,则P∈l,故C正确;选项D,若m α,n β,当m与n相交时,α与β相交,当α与β相交时,m与n为异面直线或共面,故D错误.故选BD.
6.如图,在三棱锥PABC中,异面直线AC与PB所成的角为60°,E,F分别为棱PA,BC的中点,若AC=2,PB=4,则EF=( )
A.
B.2
C.
D.2或
【答案】 C
【解析】 如图,设G是AB的中点,连接FG,EG,由于E,F分别为棱PA,BC的中点,所以FG∥AC,FG=AC=1,EG∥PB,EG=PB=2,所以∠EGF是异面直线AC与PB所成的角或其补角,当∠EGF=60°时,在△EFG中,由余弦定理得EF==.
当∠EGF=120°时,在△EFG中,由余弦定理得EF==.
所以EF为或.故选C.
7.对于空间中的点、直线、平面,有以下四个命题,其中是真命题的为 .(填序号)
(1)三点确定一个平面;
(2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
(3)若a,b是异面直线,则一定存在平面α过a且与b平行;
(4)若三条直线两两相交,则这三条直线共面.
【答案】 (3)
【解析】 对于(1),不共线的三点确定一个平面,故(1)错误;
对于(2),由正方体模型可知垂直于同一条直线的两条直线可能互相平行,可能相交,可能异面,故(2)错误;
对于(3),若a,b是异面直线,在直线a上任选一点P,如图,过点P作直线c∥b,则可知a∩c=P,所以过a与c有唯一平面α,且b α,所以b∥α,所以a,b是异面直线时,一定存在平面α过a且与b平行,故(3)正确;
对于(4),由正方体同一顶点处的三条直线可知,若三条直线两两相交,则这三条直线共面错误,故(4)错误.
8.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有 对.
【答案】 3
【解析】 还原的正方体如图所示,是异面直线的共三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
9.(2025·河南鹤壁模拟)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=4,AB=2,则直线A1B与直线B1C所成角的正切值为 .
【答案】
【解析】 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,连接BC1交B1C于O点,显然O是BC1的中点,取A1C1的中点F,连接OF,B1F,则OF∥A1B,∠B1OF是A1B与B1C所成的角或其补角,在△OB1F中,B1F=,OB1=B1C=×=,OF=A1B=×=,
cos∠B1OF==,
tan∠B1OF==,
所以直线A1B与直线B1C所成角的正切值为.
10.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,C1C,A1A的中点.
(1)证明:M,N,A1,B四点共面;
(2)求异面直线PD1与MN所成角的余弦值.
(1)【证明】 如图(1),连接MN,A1B,D1C.由已知可得,A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,则A1BD1C.又M,N分别是C1D1,C1C的中点,所以MND1C,所以MNA1B.所以M,N,A1,B四点共面.
(2)【解】 如图(2),连接DP,PD1,CP.因为MN∥D1C,所以∠PD1C即为异面直线PD1与MN所成的角或其补角.
因为CD⊥平面ADD1A1,DP 平面ADD1A1,所以CD⊥DP.因为P是AA1的中点,所以PA=A1P=1.又A1D1⊥A1A,所以PD1==.同理DP=.在Rt△PDC中,PC==3.又D1C==2,在△PCD1中,有PC=3,D1C=2,PD1=,由余弦定理可得,
cos∠PD1C===.所以异面直线PD1与MN所成角的余弦值为.
强化练
11.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点,则下列说法错误的是( )
A.E,F,G,H四点共面
B.EF∥GH
C.EG,FH,AA1三线共点
D.∠EGB1=∠FHC1
【答案】 D
【解析】 如图,连接EF,GH,因为GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1,因为 B1EC1F,所以四边形B1EFC1是平行四边形,所以EF∥B1C1,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面,故A,B正确;延长EG,FH相交于点P,因为P∈EG,EG 平面ABB1A1,所以 P∈平面ABB1A1,因为P∈FH,FH 平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以 P∈AA1,所以EG,FH,AA1三线共点,故C正确;因为 EB1=FC1,当GB1≠HC1时,tan∠EGB1≠
tan∠FHC1,又0<∠EGB1<,0<∠FHC1<,则∠EGB1≠∠FHC1,故D错误.故选D.
12.(多选题)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=4,M,N分别为棱C1D1,B1C1的中点,则下列说法正确的是( )
A.直线DM与直线BN是异面直线
B.直线DM,直线BN,直线CC1相交于一点
C.直线DM与直线BB1所成的角为60°
D.直线DM与直线AB所成的角的正切值为2
【答案】 BD
【解析】 如图,对于A,连接BD,B1D1,MN,因为M,N分别为C1D1,B1C1的中点,可得 MN∥B1D1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,可得BD∥B1D1,所以MN∥BD,所以直线DM与直线BN在同一个平面内,所以A错误;对于B,因为M,N分别为C1D1,B1C1的中点,所以MN∥B1D1,且MN=B1D1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,可得BDB1D1,所以MNBD,即四边形BDMN为梯形,假设直线DM与直线BN相交于一点P,因为DM 平面CDD1C1,且P∈DM,所以P∈平面CDD1C1,又因为BN 平面BCC1B1,且P∈BN,所以P∈平面BCC1B1,因为平面CDD1C1∩平面BCC1B1=CC1,所以P∈CC1,所以直线DM,直线BN,直线CC1相交于一点,所以B正确;
对于C,在正方体ABCDA1B1C1D1中,可得BB1∥DD1,所以异面直线DM与BB1所成的角即为直线DM与直线DD1所成的角,即为∠MDD1,在Rt△MDD1中,可得tan∠MDD1==,所以C错误;
对于D,在正方体ABCDA1B1C1D1中,可得AB∥C1D1,所以异面直线DM与AB所成的角即为直线DM与直线C1D1所成的角,即∠DMD1,在Rt△MDD1 中,可得tan∠DMD1==2,所以D正确.故选BD.
13.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
【证明】 (1)如图,连接EF,CD1,A1B.
因为E,F分别是AB,AA1的中点,
所以EF∥A1B.
又因为A1B∥CD1,
所以EF∥CD1,
所以E,C,D1,F四点共面.
(2)因为EF∥CD1,EF所以CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈直线CE,CE 平面ABCD,
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
所以P∈直线DA,所以CE,D1F,DA三线共点.
拓展练
14.(2025·江苏常州模拟)如图,在半径为8的半圆形纸片中,O为圆心,AB为直径,C是弧AB的中点,D是弧AC的中点,将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后,异面直线OA与CD所成角的余弦值是 .
【答案】
【解析】 如图,设圆锥的底面圆半径为r,则8π=2πr,解得r=4,因为D是弧AC的中点,△ADC为等腰直角三角形,故DC=AC=×2r=4,过点A作AM∥DC交底面圆于点M,则M为弧AC的中点,故AM=AC=×2r=4,又OA=OM=8,所以cos∠OAM==,故异面直线OA与CD所成角的余弦值为.
15.如图,已知三棱锥ABCD,△ABD为等边三角形,BD=AC,BC⊥CD.
(1)若点O为BD的中点,证明:AO⊥OC;
(2)当异面直线AB与CD所成角的余弦值为时,求的值.
(1)【证明】 设BD=AC=2a,如图(1),取BD的中点O,连接OA,OC,所以OD=a,因为△ABD为等边三角形,O为BD的中点,所以BD=AD=AC=2a,AO⊥BD,因为在△BCD中,O为BD的中点,
BC⊥CD,所以OC=BD=a.
因为在△AOD中,AD=2a,OD=a,所以AO=a,因为在△AOC中,AO2+OC2=AC2,所以AO⊥OC.
(2)【解】 如图(2),取BD的中点O,连接OA,OC,取AD,AC的中点分别为E,F,连接OF,EF,OE,设EF=x,BD=AC=2a,因为△ABD为等边三角形,则AB=BD=AD=2a,由(1)可得OF=AC=a.在△ACD,△ABD中,因为E,F,O分别为AD,AC,BD的中点,所以OE∥AB,EF∥CD,OE=AB=a,
CD=2EF=2x,可知异面直线AB与CD所成的角即为OE与EF所成的角∠OEF,异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
所以在△OEF中,cos∠OEF===,所以a=2x,又BC2+CD2=BD2,
所以BC==2x,又CD=2x,故=.第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
基础练
1.(2025·湖北武汉模拟)下列说法正确的是( )
A.空间中两直线的位置关系有三种:平行、垂直和异面
B.若空间中两直线没有公共点,则这两直线异面
C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则这两直线可能相交,也可能
异面
2.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是( )
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,M,C,O四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
3.(2025·重庆南岸模拟)在棱长为1的正四面体ABCD中,直线AD与BC是( )
A.平行直线 B.相交直线
C.异面直线 D.无法判断位置关系
4.在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是弧BC的中点,F是AB的中点,则( )
A.AE=CF,AC与EF是共面直线
B.AE≠CF,AC与EF是共面直线
C.AE=CF,AC与EF是异面直线
D.AE≠CF,AC与EF是异面直线
5.(多选题)下列是关于互不相同的直线m,n,l和平面α,β的四个命题,其中错误的命题是( )
A.m α,l∩α=A,点A m,则l与m是异面直线
B.m α,n β,则m与n是异面直线
C.α∩β=l,m α,n β,且m∩n=P,则P∈l
D.m α,n β,则“m与n相交”与“α与β相交”等价
6.如图,在三棱锥PABC中,异面直线AC与PB所成的角为60°,E,F分别为棱PA,BC的中点,若AC=2,PB=4,则EF=( )
A.
B.2
C.
D.2或
7.对于空间中的点、直线、平面,有以下四个命题,其中是真命题的为 .(填序号)
(1)三点确定一个平面;
(2)垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
(3)若a,b是异面直线,则一定存在平面α过a且与b平行;
(4)若三条直线两两相交,则这三条直线共面.
8.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB,CD,EF,GH在原正方体中互为异面直线的有 对.
9.(2025·河南鹤壁模拟)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=4,AB=2,则直线A1B与直线B1C所成角的正切值为 .
10.如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,C1C,A1A的中点.
(1)证明:M,N,A1,B四点共面;
(2)求异面直线PD1与MN所成角的余弦值.
强化练
11.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点,则下列说法错误的是( )
A.E,F,G,H四点共面
B.EF∥GH
C.EG,FH,AA1三线共点
D.∠EGB1=∠FHC1
12.(多选题)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=4,M,N分别为棱C1D1,B1C1的中点,则下列说法正确的是( )
A.直线DM与直线BN是异面直线
B.直线DM,直线BN,直线CC1相交于一点
C.直线DM与直线BB1所成的角为60°
D.直线DM与直线AB所成的角的正切值为2
13.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E,C,D1,F四点共面;
(2)CE,D1F,DA三线共点.
拓展练
14.(2025·江苏常州模拟)如图,在半径为8的半圆形纸片中,O为圆心,AB为直径,C是弧AB的中点,D是弧AC的中点,将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后,异面直线OA与CD所成角的余弦值是 .
15.如图,已知三棱锥ABCD,△ABD为等边三角形,BD=AC,BC⊥CD.
(1)若点O为BD的中点,证明:AO⊥OC;
(2)当异面直线AB与CD所成角的余弦值为时,求的值.
