第1节 数列的概念
基础练
1.已知数列1,,2,2,4,…,根据该数列的规律,16是该数列的( )
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
【答案】 C
【解析】 根据规律可得an=()n-1,令()n-1=16,可得n=9,故16是该数列的第9项.
故选C.
2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m,且a1=10,那么a10=( )
A.1 B.9 C.10 D.55
【答案】 C
【解析】 令m=1,则Sn+S1=Sn+1,则Sn+1-Sn=S1=a1=10,所以an+1=10,所以数列{an}是常数列,则a10=10.故选C.
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+3n,则a6=( )
A.30 B.31 C.45 D.46
【答案】 D
【解析】 由已知an+1-an=3n,得a6=(a6-a5)+(a5-a4)+…+(a2-a1)+a1=15+12+9+6+3+1=46.故选D.
4.(多选题)若数列{an}的前4项分别为2,0,2,0,则这个数列的通项公式可能是( )
A.an=1+(-1)n+1
B.an=1-cos nπ
C.an=2sin2
D.an=1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)
【答案】 ABC
【解析】 对于A,当n=1,2,3,4时,an=1+(-1)n+1分别对应的是2,0,2,0,故A正确;
对于B,当n=1,2,3,4时,an=1-cos nπ分别对应的是2,0,2,0,故B正确;
对于C,当n=1,2,3,4时,an=2sin2 分别对应的是2,0,2,0,故C正确;
对于D,a1=1+(-1)0=2,a2=1+(-1)=0,a3=1+(-1)2+2×1=4,a4=1+(-1)3+3×2=6,故D错误.故选ABC.
5.数列{an}的通项公式为an=n2+kn,则“k>-3”是“{an}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
【答案】 D
【解析】 数列{an}的通项公式为an=n2+kn,若{an}为递增数列,则an+1-an=(n+1)2+k(n+1)-
(n2+kn)=2n+1+k>0对于任意n∈N*恒成立,即k>-2n-1对于任意n∈N*恒成立,故 k>(-2n-1)max=-3,则“k>-3”是“{an}为递增数列”的充要条件.故选D.
6.(多选题)在数列{an}中,an=(n+1)()n,则数列{an}中的最大项可以是( )
A.第6项 B.第7项
C.第8项 D.第9项
【答案】 AB
【解析】 假设an最大,则有
即
所以
即6≤n≤7,
所以最大项为第6项和第7项.故选AB.
7.(2025·山东聊城模拟)若数列{an}满足对任意正整数n有ai=2n2-n成立,则在该数列中小于100的一共有 项.
【答案】 25
【解析】 设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=2n2-n,当n=1时,a1=S1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-n-2(n-1)2+n-1=4n-3,
当n=1时,上式也成立,所以an=4n-3,令an=4n-3<100,则n<,
所以在该数列中小于100的一共有25项.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1(n∈N*),则an= .
【答案】
【解析】 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,
当n=1时,a1=S1=4≠2×1+1,
因此an=
9.在数列{an}中,a1=,=,则a97= .
【答案】 3
【解析】 因为a1=,=,故有··…··=××…××,即得=,所以a97=a1=3.
10.在数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=的图象上.
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)猜想数列{an}的一个通项公式.
【解】 (1)因为点(an,an+1)在函数f(x)=的图象上,所以an+1=,
又a1=2,所以a2==,a3===,a4===.
(2)由(1)中数列{an}的前4项的规律,可归纳出数列{an}的一个通项公式为an=.
强化练
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),则S5等于( )
A.31 B.42 C.37 D.47
【答案】 D
【解析】 由题意,得Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*),所以Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*),故数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2,则S5+1=3×24,所以S5=47.故选D.
12.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1= .
【答案】
【解析】 因为an+1=,
所以an+1====
=1-=1-=1-(1-an-2)=an-2,n≥3,
所以周期T=(n+1)-(n-2)=3.
所以a8=a3×2+2=a2=2.而a2=,
所以a1=.
13.已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)判断是否为这个数列的项.如果是,为第几项;如果不是,请说明理由.
(2)判断数列{an}的增减性并证明.
【解】 (1)是这个数列的第17项.理由如下:由 an==,可得n=17,故是数列{an}的项,是第17项.
(2)数列{an}是递增数列.证明如下:由题知,an+1-an
=-=
=,
因为n∈N*,所以n+51>0,n+52>0,即an+1-an>0,所以数列{an}是递增数列.
拓展练
14.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an= .
【答案】 (n∈N*)
【解析】 因为数列{an}是首项为1的正项数列,
所以an·an+1≠0,
所以-+1=0.
令=t(t>0),则(n+1)t2+t-n=0,
分解因式,得[(n+1)t-n](t+1)=0,
所以t=或t=-1(舍去),即=.
法一(累乘法) 因为····…·=×××·…·(n≥2),所以an=(n≥2).
当n=1时,a1=1符合上式,
所以an=(n∈N*).
法二(特殊数列法) 因为=,所以=1.
所以数列{nan}是以a1为首项,1为公比的等比数列.
所以nan=1×1n-1=1.
所以an=(n∈N*).
15.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求实数λ的取值范围.
【解】 (1)因为2Sn=(n+1)an,
所以2Sn+1=(n+2)an+1,
所以2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,
即nan+1=(n+1)an,
所以=,
所以==…==1,
所以an=n(n∈N*).
(2)由(1)得,bn=3n-λn2.
bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)
=2·3n-λ(2n+1).
因为数列{bn}为递增数列,
所以2·3n-λ(2n+1)>0,
即λ<.
令cn=,
则=·=>1.
所以数列{cn}为递增数列,
所以λ即实数λ的取值范围为(-∞,2).第1节 数列的概念
基础练
1.已知数列1,,2,2,4,…,根据该数列的规律,16是该数列的( )
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m,且a1=10,那么a10=( )
A.1 B.9 C.10 D.55
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+3n,则a6=( )
A.30 B.31 C.45 D.46
4.(多选题)若数列{an}的前4项分别为2,0,2,0,则这个数列的通项公式可能是( )
A.an=1+(-1)n+1
B.an=1-cos nπ
C.an=2sin2
D.an=1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)
5.数列{an}的通项公式为an=n2+kn,则“k>-3”是“{an}为递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
6.(多选题)在数列{an}中,an=(n+1)()n,则数列{an}中的最大项可以是( )
A.第6项 B.第7项
C.第8项 D.第9项
7.(2025·山东聊城模拟)若数列{an}满足对任意正整数n有ai=2n2-n成立,则在该数列中小于100的一共有 项.
8.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1(n∈N*),则an= .
9.在数列{an}中,a1=,=,则a97= .
10.在数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=的图象上.
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)猜想数列{an}的一个通项公式.
强化练
11.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N*),则S5等于( )
A.31 B.42 C.37 D.47
12.数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1= .
13.已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)判断是否为这个数列的项.如果是,为第几项;如果不是,请说明理由.
(2)判断数列{an}的增减性并证明.
拓展练
14.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an= .
15.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求实数λ的取值范围.
