第1节 随机抽样、统计图表
基础练
1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( )
A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些
B.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些
D.与第几次抽样无关,每次都是等可能抽取,但各次抽取的可能性不一定
【答案】 B
【解析】 在简单随机抽样中,某个个体被抽到的可能性与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等.故选B.
2.反映电信诈骗问题题材电影的上映引起了大众的热议,各个社区也加大了反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人,其中老年人200人,中年人200人,青少年80人,若按年龄进行分层随机抽样,共抽取36人作为代表宣传反诈知识,则中年人比青少年多( )
A.6人 B.9人 C.12人 D.18人
【答案】 B
【解析】 设中年人抽取x人,青少年抽取y人,由分层随机抽样可知=,=,
解得x=15,y=6,故中年人比青少年多9人.故选B.
3.(2025·湖南郴州模拟)已知总体划分为3层,按比例用分层随机抽样法抽样,各层的样本量及样本平均数如表所示:
分层 样本量 样本平均数
第一层 10 55
第二层 30 75
第三层 10 90
估计总体平均数为( )
A.73 B.74 C.76 D.80
【答案】 B
【解析】 依题意,估计总体平均数为=74.故选B.
4.为了解某小区户主对楼层的满意程度,用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查,已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图(1)和图(2)所示,则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为( )
A.240,32 B.320,32
C.240,80 D.320,80
【答案】 B
【解析】 由题图(1)可知,该小区共有户主400+250+150=800(人),
则样本容量为800×40%=320.
低层户主共有400人,满意率为20%,
故抽取的低层户主中满意的人数为400×40%×20%=32.故选B.
5.(2025·辽宁葫芦岛模拟)某地为了了解学生的睡眠时间,根据初中和高中学生的人数按比例采用分层随机抽样的方法,抽取了40名初中生和20名高中生,调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8 h,方差为2,高中生每天的平均睡眠时间为7 h,方差为1.根据调查数据,估计该地区中学生每天睡眠时间的总体方差约为( )
A.1.3 B.1.5 C.1.7 D.1.9
【答案】 D
【解析】 该地区中学生每天睡眠时间的平均数为×8+×7=(h),
该地区中学生每天睡眠时间的方差为×[2+(8-)2]+×[1+(7-)2]=≈1.9.故选D.
6.(多选题)(2025·广东梅州模拟)某单位有职工450人,其中男职工150人,现为了解职工健康情况,该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本,得出体重情况:男职工的平均体重为63 kg,女职工的平均体重为54 kg.则下列说法正确的是( )
A.抽查的样本中女职工人数为60
B.该单位男职工的体重普遍比女职工重
C.估计该单位职工平均体重为58.5
D.男、女职工被抽中的可能性均为
【答案】 ABD
【解析】 A选项,抽查的样本中女职工人数为90×=60,A选项正确;
B选项,男职工的平均体重为63 kg,女职工的平均体重为54 kg,所以该单位男职工的体重普遍比女职工重,B选项正确;
C选项,估计该单位职工平均体重为×63+×54=57,C选项错误;
D选项,男、女职工被抽中的可能性均为=,D选项正确.故选ABD.
7.利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 .
【答案】
【解析】 由题意知=,得n=28,所以整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为=.
8.(2025·河北邯郸模拟)在样本频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积之和的,且样本容量为140,则中间一组的频数为
.
【答案】 40
【解析】 设中间一个小长方形的面积为x,则其他8个小长方形的面积之和为x,
根据频率分布直方图各小长方形的面积之和为1,得x+x=1,则x=,
即中间一组的频率为,所以中间一组的频数为140×=40.
9.(2025·河南商丘模拟)某学校高一、高二、高三共有学生1 900名,为了了解同学们关于学校管理的意见,计划采用分层随机抽样的方法,从这1 900名学生中抽取一个样本容量为38的样本,若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列,则此学校高一年级的学生人数为 .
【答案】 900
【解析】 因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列,
所以设从高二年级抽取的学生人数为x人,则从高一、高三年级抽取的人数分别为x,x.
由题意可得x+x+x=38,所以x=12,所以x=18.
设该校高一年级的学生人数为N,根据=,求得N=900.
10.(2025·安徽巢湖模拟)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后
得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图回答下列
问题:
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度是多少
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数是多少
【解】 (1)设[25,30)年龄组对应小矩形的高度为h,则5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,
解得h=0.04.
(2)志愿者年龄在[25,35)内的频率为5×(0.04+0.07)=0.55,故志愿者年龄在[25,35)内的人数约为0.55×800=440.
强化练
11.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)某市2024年经过招商引资,经济收入较前一年增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该市的经济收入的变化情况,统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例,得到扇形图如图:
则下列结论正确的是( )
A.招商引资后,工资性收入较前一年有所增加
B.招商引资后,转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍
【答案】 AD
【解析】 设招商引资前经济收入为M,则招商引资后经济收入为2M.
对于A,招商引资前工资性收入为M×60%=0.6M,而招商引资后的工资性收入为2M×37%=0.74M,所以工资性收入增加了,故A正确;
对于B,招商引资前转移净收入为M×4%=0.04M,招商引资后转移净收入为2M×5%=0.1M,所以招商引资后,转移净收入是前一年的2.5倍,故B错误;
对于C,招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和为0.1M+0.56M=0.66M<×2M=0.8M,所以招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的,故C错误;
对于D,招商引资前经营净收入为M×30%=0.3M,招商引资后经营净收入为2M×30%=0.6M,所以招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍,故D正确.故选AD.
12.(多选题)某市自统计居民消费价格起第一年7月至第二年7月,居民消费价格保持平稳,居民消费价格涨跌幅如图所示,则下列说法一定正确的是( )
附:同比增长率=×100%,环比增长率=×100%.
A.第一年7月至第二年7月该市居民消费价格环比增长率的极差为1%
B.第一年7月至第二年7月该市居民消费价格同比增长率的中位数与众数相同
C.从同比增长率看,第二年1月与第二年2月该市居民消费价格一定相同
D.从环比增长率看,第二年6月该市居民消费价格与第二年5月该市居民消费价格相同
【答案】 ABD
【解析】 对于A,第一年7月至第二年7月该市居民消费价格环比增长率的极差为0.7%-(-0.3%)=1%,所以A正确;
对于B,易得第一年7月至第二年7月该市居民消费价格同比增长率的中位数与众数均为 1.5%,所以B正确;
对于C,从同比增长率看,第二年1月与第二年2月该市居民消费价格同比增长率均为0.9%,但第一年1月与第一年2月该市居民消费价格未知,即不一定相同,所以第二年1月与第二年2月该市居民消费价格不一定相同,所以C错误;
对于D,从环比增长率看,第二年6月该市居民消费价格增长率为0,所以第二年6月该市居民消费价格与第二年5月该市居民消费价格相同,所以D正确.故选ABD.
13.(2025·云南昆明模拟)现要调查某地区沙漠经过治理后的植物覆盖面积和某野生动物的数量,将该地区分成面积相近的150个地块,用简单随机抽样的方法抽出15个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,15),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积
(单位:hm2)和这种野生动物的数量,经统计得xi=60,yi=1 200,则该地区的植物覆盖面积和这种野生动物数量的估计值分别为 , .
【答案】 600 12 000
【解析】 该地区的植物覆盖面积的平均数估计值为=4,
所以该地区的植物覆盖面积估计值为150×4=600;
这种野生动物数量的估计值为yi×150=12 000.
14.(2025·甘肃天水模拟)如图是某市对该市从事某副业人群的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图,已知图中第一组的频数为 4 000.请根据该图提供的信息解答下列问题(图中每组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在[1 000,1 500)).
(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数;
(2)为了分析从事该副业人群的收入与年龄、职业等方面的关系,必须从样本的各组中按月收入再用分层随机抽样方法抽出100人做进一步分析,则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人
【解】 (1)因为月收入在[1 000,1 500)的频率为0.000 8×500=0.4,且有4 000人,
所以样本的容量n==10 000,
月收入在[1 500,2 000)的频率为0.000 4×500=0.2,
月收入在[2 000,2 500)的频率为0.000 3×500=0.15,
月收入在[3 500,4 000)的频率为0.000 1×500=0.05,
所以月收入在[2 500,3 500)的频率为1-(0.4+0.2+0.15+0.05)=0.2,
所以样本中月收入在[2 500,3 500)的人数为0.2×10 000=2 000.
(2)因为月收入在[1 500,2 000)的人数为0.2×10 000=2 000,
所以再从10 000人中用分层随机抽样方法抽出100人,则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽取100×=20(人).
15.(2025·江苏扬州模拟)为了对某课题进行研究,分别从A,B,C三所高校中用分层随机抽样方法抽取若干名教授组成研究小组.已知高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0(1)若从A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n的值;
(2)若从高校B中抽取的教授人数是高校A和高校C中抽取的教授总人数的,求三所高校的教授的总人数.
【解】 (1)因为05名教授,
所以从高校B中抽取2名教授,高校A中抽取1名教授,高校C中抽取3名教授,
所以==,解得m=36,n=108.
(2)因为从高校B中抽取的教授人数是高校A和高校C中抽取的教授总人数的,
所以(m+n)=72,解得m+n=108,
所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.第1节 随机抽样、统计图表
基础练
1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( )
A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些
B.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等
C.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些
D.与第几次抽样无关,每次都是等可能抽取,但各次抽取的可能性不一定
2.反映电信诈骗问题题材电影的上映引起了大众的热议,各个社区也加大了反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人,其中老年人200人,中年人200人,青少年80人,若按年龄进行分层随机抽样,共抽取36人作为代表宣传反诈知识,则中年人比青少年多( )
A.6人 B.9人 C.12人 D.18人
3.(2025·湖南郴州模拟)已知总体划分为3层,按比例用分层随机抽样法抽样,各层的样本量及样本平均数如表所示:
分层 样本量 样本平均数
第一层 10 55
第二层 30 75
第三层 10 90
估计总体平均数为( )
A.73 B.74 C.76 D.80
4.为了解某小区户主对楼层的满意程度,用分层随机抽样的方法抽取40%的户主进行调查,已知该居民小区户主人数和户主对楼层的满意率分别如图(1)和图(2)所示,则样本容量和抽取的低层户主中满意的人数分别为( )
A.240,32 B.320,32
C.240,80 D.320,80
5.(2025·辽宁葫芦岛模拟)某地为了了解学生的睡眠时间,根据初中和高中学生的人数按比例采用分层随机抽样的方法,抽取了40名初中生和20名高中生,调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8 h,方差为2,高中生每天的平均睡眠时间为7 h,方差为1.根据调查数据,估计该地区中学生每天睡眠时间的总体方差约为( )
A.1.3 B.1.5 C.1.7 D.1.9
6.(多选题)(2025·广东梅州模拟)某单位有职工450人,其中男职工150人,现为了解职工健康情况,该单位采取分层随机抽样的方法抽取了一个容量为90的样本,得出体重情况:男职工的平均体重为63 kg,女职工的平均体重为54 kg.则下列说法正确的是( )
A.抽查的样本中女职工人数为60
B.该单位男职工的体重普遍比女职工重
C.估计该单位职工平均体重为58.5
D.男、女职工被抽中的可能性均为
7.利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为 .
8.(2025·河北邯郸模拟)在样本频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积之和的,且样本容量为140,则中间一组的频数为
.
9.(2025·河南商丘模拟)某学校高一、高二、高三共有学生1 900名,为了了解同学们关于学校管理的意见,计划采用分层随机抽样的方法,从这1 900名学生中抽取一个样本容量为38的样本,若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列,则此学校高一年级的学生人数为 .
10.(2025·安徽巢湖模拟)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后
得到频率分布直方图(如图),但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失,则依据此图回答下列
问题:
(1)[25,30)年龄组对应小矩形的高度是多少
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数是多少
强化练
11.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)某市2024年经过招商引资,经济收入较前一年增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该市的经济收入的变化情况,统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例,得到扇形图如图:
则下列结论正确的是( )
A.招商引资后,工资性收入较前一年有所增加
B.招商引资后,转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍
12.(多选题)某市自统计居民消费价格起第一年7月至第二年7月,居民消费价格保持平稳,居民消费价格涨跌幅如图所示,则下列说法一定正确的是( )
附:同比增长率=×100%,环比增长率=×100%.
A.第一年7月至第二年7月该市居民消费价格环比增长率的极差为1%
B.第一年7月至第二年7月该市居民消费价格同比增长率的中位数与众数相同
C.从同比增长率看,第二年1月与第二年2月该市居民消费价格一定相同
D.从环比增长率看,第二年6月该市居民消费价格与第二年5月该市居民消费价格相同
13.(2025·云南昆明模拟)现要调查某地区沙漠经过治理后的植物覆盖面积和某野生动物的数量,将该地区分成面积相近的150个地块,用简单随机抽样的方法抽出15个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,15),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积
(单位:hm2)和这种野生动物的数量,经统计得xi=60,yi=1 200,则该地区的植物覆盖面积和这种野生动物数量的估计值分别为 , .
14.(2025·甘肃天水模拟)如图是某市对该市从事某副业人群的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图,已知图中第一组的频数为 4 000.请根据该图提供的信息解答下列问题(图中每组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示月收入在[1 000,1 500)).
(1)求样本中月收入在[2 500,3 500)的人数;
(2)为了分析从事该副业人群的收入与年龄、职业等方面的关系,必须从样本的各组中按月收入再用分层随机抽样方法抽出100人做进一步分析,则月收入在[1 500,2 000)的这段应抽多少人
15.(2025·江苏扬州模拟)为了对某课题进行研究,分别从A,B,C三所高校中用分层随机抽样方法抽取若干名教授组成研究小组.已知高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0(1)若从A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n的值;
(2)若从高校B中抽取的教授人数是高校A和高校C中抽取的教授总人数的,求三所高校的教授的总人数.
