第7节 对数函数
基础练
1.(2025·甘肃白银模拟)已知函数f(x)=log2(2-x)的值域是(0,+∞),则f(x)的定义域为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(1,2) D.(-∞,0)
2.在同一平面直角坐标系中,函数y=,y=loga(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
3.(2025·山东聊城模拟)设a=log49,b=log25,c=,则a,b,c的大小关系为( )
A.b>a>c B.b>c>a
C.a>b>c D.c>b>a
4.已知函数f(x)=loga(6-ax)(a>0,且a≠1)在(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3] B.(1,3)
C.(0,1) D.(1,+∞)
5.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A.0
C.06.(多选题)若b>c>1,0A.balogca
C.cbaclogba
7.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间上的最大值是2,则a=
.
8.若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是 .
9.已知函数f(x)=1+log3x,x∈[1,9] ,则函数y=[f(x)] 2+f(x2)的值域为 .
10.已知函数f(x)满足f(x)=log2(x2-ax+b).
(1)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞),求a,b的值;
(2)若b=2,且函数f(x)在[-1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
强化练
11.(2025·江西南昌模拟)若()a=log2a,()b=b2,=2-c,则正数a,b,c的大小关系是( )
A.cC.a12.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )
A.f(x)在(0,2)上单调递增
B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
13.如图,对数函数f(x)=logax(a>1)图象上的一点A与x轴上的点B(1,0),C构成以BC为斜边的等腰直角三角形,若△ABC右侧的相似三角形△CDE的顶点E也在函数f(x)的图象上,顶点C,D在x轴上,且两三角形的相似比的值为2,则该对数函数的解析式为 .
14.已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1).
15.已知函数f(x)=log4·lo.
(1)解关于x的不等式f(x)>3;
(2)若存在x∈[2,4],使得不等式f(2x)-a·log2x+1≥0成立,求实数a的取值范围.第7节 对数函数
基础练
1.(2025·甘肃白银模拟)已知函数f(x)=log2(2-x)的值域是(0,+∞),则f(x)的定义域为( )
A.(-∞,1) B.(-∞,2)
C.(1,2) D.(-∞,0)
【答案】 A
【解析】 因为f(x)的值域是(0,+∞),所以2-x>1,解得x<1.故选A.
2.在同一平面直角坐标系中,函数y=,y=loga(x+)(a>0,且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
【答案】 D
【解析】 当a>1时,函数y=ax的图象过定点(0,1),在R上单调递增,于是函数y=的图象过定点(0,1),在R上单调递减,函数y=loga(x+)的图象过定点(,0),在(-,+∞)上单调递增.显然A,B,C,D四个选项都不符合.
当0因此,选项D中的两个图象符合.故选D.
3.(2025·山东聊城模拟)设a=log49,b=log25,c=,则a,b,c的大小关系为( )
A.b>a>c B.b>c>a
C.a>b>c D.c>b>a
【答案】 A
【解析】 因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,故b=log25>log23=log49=a>log22=1,
又c====<1,所以b>a>1>c.故选A.
4.已知函数f(x)=loga(6-ax)(a>0,且a≠1)在(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3] B.(1,3)
C.(0,1) D.(1,+∞)
【答案】 A
【解析】 令t(x)=6-ax,因为a>0,所以t(x)=6-ax为减函数.又由函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上单调递减,
可得函数t(x)=6-ax>0在(0,2)上恒成立,且 a>1,故有解得15.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A.0C.0【答案】 A
【解析】 由题图易得a>1,所以0取特殊点x=0 -16.(多选题)若b>c>1,0A.balogca
C.cbaclogba
【答案】 BC
【解析】 因为0c>1,所以ba>ca,故A错误;
因为0c>1,所以logab>,所以0>logba>logca,故B正确;
因为0c>1,所以ba-1由选项B的分析可知,0>logba>logca,
所以0<-logba<-logca,因为b>c>1,所以 c(-logba)7.(2025·陕西西安模拟)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)在区间上的最大值是2,则a=
.
【答案】 或4
【解析】 当0故f(x)max=f()=loga=2,即a2=,解得a=;
当a>1时,函数f(x)=logax在区间上单调递增,
故f(x)max=f(16)=loga16=2,即a2=16,解得a=4.
综上,a的值为或4.
8.若函数y=f(x)与y=5x互为反函数,则y=f(x2-2x)的单调递减区间是 .
【答案】 (-∞,0)
【解析】 因为y=f(x)与y=5x互为反函数,所以 f(x)=log5x,则f(x2-2x)=log5(x2-2x).设 μ=x2-2x,则f(μ)=log5μ,由x2-2x>0,解得 x<0或x>2,因为f(μ)=log5μ在其定义域上单调递增,又μ=
x2-2x在(-∞,0)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以y=f(x2-2x)的单调递减区间是(-∞,0).
9.已知函数f(x)=1+log3x,x∈[1,9] ,则函数y=[f(x)] 2+f(x2)的值域为 .
【答案】 [2,7]
【解析】 由于f(x)=1+log3x,x∈[1,9] ,由y=[f(x)]2+f(x2),得解得1≤x≤3,即函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3],所以0≤log3x≤1,又y=[f(x)]2+f(x2)=(1+log3x)2+1+log3x2=
(log3x)2+4log3x+2=(2+log3x)2-2,因为0≤log3x≤1,所以2≤y≤7,故函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为[2,7] .
10.已知函数f(x)满足f(x)=log2(x2-ax+b).
(1)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞),求a,b的值;
(2)若b=2,且函数f(x)在[-1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
【解】 (1)由题知,x2-ax+b>0的解集为(-∞,1)∪(2,+∞),所以1和2是方程x2-ax+b=0的两个根,由根与系数的关系得a=1+2=3,b=1×2=2.
(2)因为y=log2x为增函数,且函数f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以函数y=x2-ax+2在[-1,+∞)上单调递增,且x2-ax+2>0在[-1,+∞)恒成立,所以解得-3强化练
11.(2025·江西南昌模拟)若()a=log2a,()b=b2,=2-c,则正数a,b,c的大小关系是( )
A.cC.a【答案】 B
【解析】 由()a=log2a,则a为函数y=()x与y=log2x图象交点的横坐标,由()b=b2,则b为函数y=()x与y=x2图象交点的横坐标,由=2-c,即=()c,则c为函数y=()x与 y=图象交点的横坐标,如图,作出y=()x,y=log2x,y=x2,y=的图象,由图可知,c12.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )
A.f(x)在(0,2)上单调递增
B.f(x)在(0,2)上单调递减
C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称
D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称
【答案】 C
【解析】 由于f(x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x)=ln[-(x-1)2+1].令t=-(x-1)2+1,结合函数的定义域(0,2)可知,函数t在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,由y=ln t在区间(0,+∞)上单调递增可知,函数f(x)=ln x+ln(2-x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,因此A,B错误;
由题意知,f(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,C正确,D错误.故
选C.
13.如图,对数函数f(x)=logax(a>1)图象上的一点A与x轴上的点B(1,0),C构成以BC为斜边的等腰直角三角形,若△ABC右侧的相似三角形△CDE的顶点E也在函数f(x)的图象上,顶点C,D在x轴上,且两三角形的相似比的值为2,则该对数函数的解析式为 .
【答案】 f(x)=lox
【解析】 设A(x1,y1),E(x2,y2),y1,y2>0,则 C(2x1-1,0).因为△ABC与△CDE的相似比为2,所以=2,所以4x1-x2=3.又由题意可知y2=2y1,即logax2=2logax1=loga,所以有x2=.所以有4x1-=3,解得x1=1(舍去)或x1=3.又△ABC为等腰直角三角形,所以有y1=x1-1=2.由y1=
logax1可得,2=loga3,所以有a2=3,解得a=(负值舍去),所以f(x)=lox.
14.已知函数f(x)=log3(9x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值;
(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x-1).
【解】 (1)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即log3(9-x+1)-kx=log3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立,
所以2kx=log3(9-x+1)-log3(9x+1)=log3=log33-2x=-2x,所以k=-1.
(2)由(1)得f(x)=log3(9x+1)-x=log3(9x+1)-log33x=log3=log3(3x+3-x),
则不等式f(x)≥log3(7·3x-1)等价于3x+3-x≥7·3x-1>0,由7·3x-1>0,解得x>-log37;
由3x+3-x≥7·3x-1,得6·(3x)2-3x-1≤0,得0<3x≤,即x≤-log32,
综上,原不等式的解集为(-log37,-log32].
15.已知函数f(x)=log4·lo.
(1)解关于x的不等式f(x)>3;
(2)若存在x∈[2,4],使得不等式f(2x)-a·log2x+1≥0成立,求实数a的取值范围.
【解】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=log2·2log2=(log2x-2)(log2x-4)=-6log2x+8,设log2x=t(t∈R),则不等式f(x)>3可化为t2-6t+8>3,即t2-6t+5>0,解得t<1或t>5,即log2x<1或log2x>5,解得032.所以原不等式的解集为{x|032}.
(2)因为f(2x)-a·log2x+1≥0,所以(log2x-1)·(log2x-3)-alog2x+1≥0,设log2x=t,由x∈[2,4],得t∈[1,2],
原问题化为存在t∈[1,2],使得t2-4t+4-at≥0成立,即a≤t+-4在t∈[1,2] 上有解.
因为y=t+-4在[1,2] 上单调递减,所以(t+-4)max=1,所以a≤1.即实数a的取值范围为(-∞,1].