第6节 指数函数
基础练
1.已知指数函数f(x)=(2a2-5a+3)ax在(0,+∞)上单调递增,则实数a的值为( )
A. B.1 C. D.2
【答案】 D
【解析】 由题意得2a2-5a+3=1,所以2a2-5a+2=0,所以a=2或a=.当a=2时,f(x)=2x在(0,+∞)上单调递增,符合题意;当a=时,f(x)=()x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意.所以a=2.故
选D.
2.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=( )
A.- B.-
C.- D.-或-
【答案】 B
【解析】 当a>1时,f(x)在[-1,0]上单调递增,有f(-1)=+b=-1,f(0)=1+b=0,无解;当0
3.(2025·江苏常州模拟)函数f(x)=·2x图象的大致形状是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】 由函数f(x)=·2x=可得函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时函数值大于1;在(-∞,0)上单调递减,此时函数值大于-1且小于0,结合所给的选项,只有B选项满足条件.故选B.
4.(2025·广西柳州模拟)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)恒过定点M(m,n),则函数 g(x)=
mx-n 的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 B
【解析】 由已知条件得当x=2时,f(2)=2,则函数f(x)恒过点(2,2),即m=2,n=2,此时g(x)=2x-2,由于g(x)的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,且过点(0,-1),由此可知g(x)的图象不经过第二象限.故选B.
5.(多选题)若当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围可以是( )
A.(1,) B.(0,)
C.(,1) D.(0,1)∪(1,)
【答案】 AC
【解析】 若a>1,则函数y=ax在[-2,2]上单调递增,欲使ax<2,则a2<2,即1(,1)∪(1,).故选AC.
6.(2025·重庆涪陵模拟)已知a=(,b=(,c=2a+b-1,则( )
A.c>b>a B.a>b>c
C.c>a>b D.b>a>c
【答案】 C
【解析】 a6=()3=,b6=()4=,因为0<<<1,故a6>b6,又a>0,b>0,所以a>b,故0因为a+b-1>2b-1=2×(-1=-1>0,所以c=2a+b-1>20=1,所以c>a>b.故选C.
7.(2025·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=,则f(x)的最大值是 .
【答案】 16
【解析】 f(x)=,设t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,因为y=2t在其定义域上是增函数,所以y=2t≤24=16,则f(x)的最大值是16.
8.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为8,最小值为m.若函数g(x)=
(3-10m)是增函数,则a= .
【答案】
【解析】 根据题意,得3-10m>0,解得m<.
当a>1时,函数f(x)=ax在区间[-1,2]上单调递增,最大值为a2=8,解得a=2,最小值为m=
a-1==>,不符合题意;
当0a2=<,满足题意.综上,a=.
9.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是 .
【答案】 (0,)
【解析】 函数y=|ax-1|的图象是由y=ax的图象先向下平移1个单位长度,再将x轴下方的图象翻折到x轴上方,并保持x轴上的及其上方的图象不变得到的.当a>1时,如图(1),两图象只有一个交点,不符合题意;当010.(1)解关于x的不等式>a2x+2(其中a>0,且a≠1);
(2)求函数y=()2x-8·()x+17的单调区间.
【解】 (1)当a>1时,函数y=ax在R上单调递增,所以x2+3x>2x+2,即x2+x-2>0,解得x>1或 x<-2;
当0综上,当a>1时,原不等式的解集为(-∞,-2)∪(1,+∞);当0(2)设t=()x>0,又y=t2-8t+17=(t-4)2+1在t∈(0,4)上单调递减,在t∈(4,+∞)上单调递增.
令()x<4,得x>-2,令()x>4,得x<-2.而函数t=()x在R上单调递减,
所以函数y=()2x-8·()x+17的单调递增区间为(-2,+∞),单调递减区间为(-∞,-2).
强化练
11.(多选题)已知函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.ab>1 B.a+b>1
C.ba>1 D.2b-a<1
【答案】 ABD
【解析】 由题图可得a>1,01,a+b>1,012.若函数f(x)=t·4x+(2t-1)·2x有最小值,则t的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
【答案】 A
【解析】 设m=2x,则m>0,即函数g(m)=t·m2+(2t-1)·m(m>0)有最小值.
当t<0时,二次函数g(m)的图象开口向下,无最小值;当t=0时,g(m)=-m,无最小值;当t>0时,若g(m)在m∈(0,+∞)上有最小值,则对称轴方程满足->0,解得013.如图,过原点O的直线与函数y=2x的图象交于A,B两点,过B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C,若AC平行于y轴,则点A的坐标为 .
【答案】 (1,2)
【解析】 设A(n,2n),B(m,2m),则C(,2m),因为AC平行于y轴,所以n=,所以A(,2n),B(m,2m),又因为A,B,O三点共线,所以kOA=kOB,所以=,即n=m-1,又由n=,解得n=1,所以点A的坐标为(1,2).
14.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
【解】 (1)因为f(x)的图象过A(1,6),B(3,24),所以又a>0,所以
所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,()x+()x-m≥0恒成立,即m≤()x+()x在x∈(-∞,1]上恒成立.又因为y=()x与y=()x均为R上的减函数,所以y=()x+()x也是R上的减函数,所以当x=1时,y=()x+()x取得最小值,则m≤,故实数m的取值范围是(-∞,].
15.已知函数f(x)=-+4(-1≤x≤2).
(1)若λ=,求函数f(x)的值域;
(2)若方程f(x)= 0有解,求实数λ的取值范围.
【解】 (1)f(x)=-+4=()2x-2λ·()x+4(-1≤x≤2).
设t=()x,得g(t)=t2-2λt+4(≤t≤2).
当λ=时,g(t)=t2-3t+4=(t-)2+≤t≤2),所以g(t)max=g()=,g(t)min=g()=.
所以f(x)max=,f(x)min=,故若λ=,函数f(x)的值域为[,].
(2)方程f(x)=0有解等价于方程λ=2·2x+·(-1≤x≤2)有解.设φ(x)=2·2x+≤2x≤4),结合对勾函数的性质可得,
当2x=,即x=-1时,φ(x)min=2;当2x=4,即x=2时,φ(x)max=.所以函数φ(x)的值域为[2,].故实数λ的取值范围是[2,].第6节 指数函数
基础练
1.已知指数函数f(x)=(2a2-5a+3)ax在(0,+∞)上单调递增,则实数a的值为( )
A. B.1 C. D.2
2.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=( )
A.- B.-
C.- D.-或-
3.(2025·江苏常州模拟)函数f(x)=·2x图象的大致形状是( )
A B
C D
4.(2025·广西柳州模拟)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)恒过定点M(m,n),则函数 g(x)=
mx-n 的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.(多选题)若当x∈[-2,2]时,ax<2(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围可以是( )
A.(1,) B.(0,)
C.(,1) D.(0,1)∪(1,)
6.(2025·重庆涪陵模拟)已知a=(,b=(,c=2a+b-1,则( )
A.c>b>a B.a>b>c
C.c>a>b D.b>a>c
7.(2025·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=,则f(x)的最大值是 .
8.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[-1,2]上的最大值为8,最小值为m.若函数g(x)=
(3-10m)是增函数,则a= .
9.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个交点,则a的取值范围是 .
10.(1)解关于x的不等式>a2x+2(其中a>0,且a≠1);
(2)求函数y=()2x-8·()x+17的单调区间.
强化练
11.(多选题)已知函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.ab>1 B.a+b>1
C.ba>1 D.2b-a<1
12.若函数f(x)=t·4x+(2t-1)·2x有最小值,则t的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,]
C.(,+∞) D.[,+∞)
13.如图,过原点O的直线与函数y=2x的图象交于A,B两点,过B作y轴的垂线交函数y=4x的图象于点C,若AC平行于y轴,则点A的坐标为 .
14.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式()x+()x-m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.
15.已知函数f(x)=-+4(-1≤x≤2).
(1)若λ=,求函数f(x)的值域;
(2)若方程f(x)= 0有解,求实数λ的取值范围.