第5节 指数与对数
基础练
1.当a>0时,等于( )
A.x B.x
C.-x D.-x
【答案】 C
【解析】 由成立可知-ax3≥0,结合a>0得x3≤0,即x≤0,
因此==·=·|x|=-x.故选C.
2.下列等式正确的是( )
A.(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2=1
B.log35·log32·log59=3
C.lo2+eln 2+=π
D.+·=1
【答案】 A
【解析】 (lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2=(1-lg 2)2+2lg 2-(lg 2)2=1,所以A正确;
log35·log32·log59=··≠3,所以B错误;
lo2+eln 2+=log78+2+5-π≠π,所以C错误;
+·=+0.5×0.4-1=+×≠1,所以D错误.故选A.
3.若lg 2=a,lg 3=b,则log524等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 因为lg 2=a,lg 3=b,所以log524===.故选C.
4.已知函数f(x)=aln ,其中a,b均为正数.若f(8b)-f(3b)=2,则=( )
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 f(8b)-f(3b)=aln 9-aln 4=2,故a==,故===.故选C.
5.若x+x-1=3,则=( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 将x+x-1=3两边平方,得x2+x-2+2=9,即x2+x-2=7,
所以===.故选A.
6.如图,有容积相等的桶A和桶B,开始时桶A中有a L水,桶B中无水.现把桶A中的水注入桶B中,t min后,桶A中的水剩余y1=amt(L),其中m为常数且m>0.假设5 min后,桶A和桶B中的水相等,要使桶A中的水只有 L,必须再经过( )
A.12 min B.15 min
C.20 min D.25 min
【答案】 B
【解析】 由题意,桶B中水的体积y2=a-amt,因为当t=5时,y1=y2,所以am5=a-am5,得m5=.
设再经过t1 min后桶A中的水只有L,则 a=,所以=()4=m20,所以t1=15,即再经过15 min,桶A中的水只有 L.故选B.
7.若a>1,则alg(lg a)-(lg a)lg a的值是( )
A.0 B.正数
C.负数 D.以上皆有可能
【答案】 A
【解析】 令b=lg a,则a=10b,由a>1得b>0,所以alg (lg a)-(lg a)lg a=-bb=-bb=0.故选A.
8.计算:= .
【答案】 1
【解析】 原式=
===1.
9.已知10m=3,10n=4,则= .
【答案】
【解析】 ===.
10.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a= .
【答案】 e
【解析】 由f(ln 2)f(ln 4)=8,
可得aln 2·aln 4=8,
即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,也即(aln 2)3=23,
因为a>0,a≠1,所以aln 2=2,
两边取对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e.
强化练
11.(2025·江苏苏州模拟)为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg 的驾驶员认定为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某人饮酒后,其血液中的酒精含量上升到了1.5 mg/mL,如果停止饮酒以后,血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少要经过几个小时才能驾驶 (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈
0.477,lg 7≈0.845)( )
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】 C
【解析】 设至少要经过n个小时才能驾驶,则由题意得1.5(1-30%)n<0.2,则0.7n<,所以n>=≈≈5.6,所以他至少要经过6个小时才能驾驶.故选C.
12.(多选题)(2025·贵州毕节模拟)已知25a=2b=100,则下列式子中正确的有( )
A.+=1 B.+=1
C.ab>8 D.a+2b>9
【答案】 BCD
【解析】 由已知可得a=log25100,b=log2100,所以+=2log10025+log1002=log1001 250≠1,故A错误;所以+=log10025+2log1002=log100100=1,故B正确;因为a>0,b>0,则+=1≥2,当且仅当 =,即a=2,b=4时,等号成立,显然等号取不到,所以ab>8,故C正确;a+2b=
(a+2b)(+)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=3时,等号成立,显然等号取不到,所以a+2b>9,故D正确.故选BCD.
13.若2x-4y=,x,y∈R,则x-y的最小值为( )
A. B. C. D.4
【答案】 C
【解析】 因为2x=4y+,所以4x-y====4y++2.因为4y>0,所以4y+≥2=2,当且仅当4y=,即y=时,等号成立,由2x=4y+,得x=,所以4x-y≥
4=,即x-y≥.所以x-y的最小值为.故选C.
14.(2025·辽宁辽阳模拟)若x2-x=1,则lo(x2-x+1)= ,log2(x3-2x2+5)= .
【答案】 -2 2
【解析】 因为x2-x=1,故lo(x2-x+1)=lo2===-2;
x3-2x2+5=x(x2-x)-x2+5=x-x2+5=-1+5=4,故log2(x3-2x2+5)=log24=2.
15.(2025·重庆丰都模拟)若正实数a,b满足(lg a)2+(lg b)2=lg 50,lg a·lg b=lg ,则
(ab)lg (ab)= .
【答案】 100
【解析】 由lg a·lg b=lg ,
可得2lg a·lg b=lg 2,①
又(lg a)2+(lg b)2=lg 50,②
所以①+②得,
(lg a)2+2lg a·lg b+(lg b)2=lg 2+lg 50=2,即(lg a+lg b)2=2.
对(ab)lg (ab)取常用对数可得,
lg (ab)lg (ab)=lg (ab)·lg (ab)=(lg a+lg b)2=2,故(ab)lg (ab)=100.第5节 指数与对数
基础练
1.当a>0时,等于( )
A.x B.x
C.-x D.-x
2.下列等式正确的是( )
A.(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2=1
B.log35·log32·log59=3
C.lo2+eln 2+=π
D.+·=1
3.若lg 2=a,lg 3=b,则log524等于( )
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)=aln ,其中a,b均为正数.若f(8b)-f(3b)=2,则=( )
A. B. C. D.
5.若x+x-1=3,则=( )
A. B. C. D.
6.如图,有容积相等的桶A和桶B,开始时桶A中有a L水,桶B中无水.现把桶A中的水注入桶B中,t min后,桶A中的水剩余y1=amt(L),其中m为常数且m>0.假设5 min后,桶A和桶B中的水相等,要使桶A中的水只有 L,必须再经过( )
A.12 min B.15 min
C.20 min D.25 min
7.若a>1,则alg(lg a)-(lg a)lg a的值是( )
A.0 B.正数
C.负数 D.以上皆有可能
8.计算:= .
9.已知10m=3,10n=4,则= .
10.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a= .
强化练
11.(2025·江苏苏州模拟)为了保障交通安全,根据国家有关规定:100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg 的驾驶员认定为酒后驾车,80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某人饮酒后,其血液中的酒精含量上升到了1.5 mg/mL,如果停止饮酒以后,血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少要经过几个小时才能驾驶 (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈
0.477,lg 7≈0.845)( )
A.8 B.7 C.6 D.5
12.(多选题)(2025·贵州毕节模拟)已知25a=2b=100,则下列式子中正确的有( )
A.+=1 B.+=1
C.ab>8 D.a+2b>9
13.若2x-4y=,x,y∈R,则x-y的最小值为( )
A. B. C. D.4
14.(2025·辽宁辽阳模拟)若x2-x=1,则lo(x2-x+1)= ,log2(x3-2x2+5)= .
15.(2025·重庆丰都模拟)若正实数a,b满足(lg a)2+(lg b)2=lg 50,lg a·lg b=lg ,则
(ab)lg (ab)= .
