第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性
基础练
1.下列函数中,值域为[0,+∞)且为偶函数的是( )
A.y=cos x B.y=|x+1|
C.y=x2 D.y=x-x3
【答案】 C
【解析】 y=cos x的值域为[-1,1],不符合题意;y=|x+1|为非奇非偶函数,不符合题意;y=x-x3为奇函数,不符合题意;y=x2≥0且为偶函数,符合题意.故选C.
2.已知函数f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数,则f(2a)的值是( )
A.0 B.0或10
C.4或68 D.68
【答案】 D
【解析】 由题设,f(x)的定义域为R,且为奇函数,则f(0)=(a-2)(a-1)=0,
所以a=2或a=1,
当a=2时,f(x)=x(x2+1),满足f(-x)=-f(x),此时f(2a)=f(4)=4×(42+1)=68;
当a=1时,f(x)=x2(x-1)不是奇函数,不符合题意.故选D.
3.(多选题)已知函数f(x)=x-,g(x)=,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是奇函数
B.f(g(x))是奇函数
C.f(x)|g(x)|是偶函数
D.|f(x)|g(x)是偶函数
【答案】 AD
【解析】 由题意,函数f(x),g(x)的定义域都是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=-x+=
-f(x),g(-x)===g(x),所以f(x)和g(x)分别是奇函数和偶函数,结合奇偶性的定义知,B,C错误,A,D正确.故选AD.
4.设f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是( )
A.{x|x>1}
B.{x|-1C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|-11}
【答案】 C
【解析】 因为当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1单调递增,又因为f(x)为偶函数,故可以作出f(x)的大致图象如图所示.
由图象可知,若f(x)>0,则x<-1或x>1.故选C.
5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-,当x∈(2,4)时,f(x)=1+log3x,则f(99)=( )
A.1 B.2 C.- D.-2
【答案】 B
【解析】 因为f(x+2)=-,所以f(x+4)=-=-=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(99)=f(3+24×4)=f(3)=1+log33=2.故选B.
6.(多选题)已知y=f(x+1)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(2-x),当x∈[-1,1)时,f(x)=2x,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)图象的对称中心为(1,0)
B.y=f(x)图象的对称轴方程为x=3
C.4是函数的周期
D.f(2 021)+f(2 022)=1
【答案】 ABD
【解析】 因为f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以y=f(x)图象的对称中心为(1,0),且f(1)=0.因为f(x+4)=f(2-x),所以y=f(x)图象的对称轴方程为x=3,故f(x)的周期T=8,f(2 021)=f(5)=
f(1)=0,f(2 022)=f(6)=f(0)=1,从而f(2 021)+f(2 022)=1.故选ABD.
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x+22-x,当x<0时,f(x)=m·2x+n·2-x,则m+n=
.
【答案】 -5
【解析】 令x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x+22+x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=
-f(x),所以f(x)=-22+x-2-x=-4×2x-2-x,所以m=-4,n=-1,所以m+n=-5.
8.设定义域为R的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-4)=0,则不等式>0的解集是 .
【答案】 (-4,0)∪(0,4)
【解析】 因为函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).
若x<0,则=>0等价于f(x)>0,因为f(-4)=0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以由f(x)>0得-4若x>0,则=>0等价于f(x)<0,由题知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以由f(x)<0得0综上,>0的解集为(-4,0)∪(0,4).
9.已知定义在R上的函数满足f(x)=则f(101)= ,
f(103)= .
【答案】 1 -1
【解析】 因为f(x)=所以当x>0时,f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=f(x+4)-
f(x+3)-f(x+4)=-f(x+3),则f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x),即函数的周期T=6,则f(101)=f(6×16+5)=
f(5)=f(-1)=log22=1,f(103)=f(6×17+1)=f(1)=f(0)-f(-1)=log21-1=-1.
10.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求a的值;
(2)已知f(2m-1)+f(m2-2)<0,求m的取值范围.
【解】 (1)函数f(x)=的定义域为R,又因为f(x)是奇函数,则f(0)==0,
解得a=-1.
此时f(x)=,经检验f(-x)===-f(x),故a=-1满足题意.
(2)因为f(x)==1-,对任意x1有f(x1)-f(x2)=1--(1-)=-=<0,
所以f(x)是R上的增函数,又f(x)是奇函数,所以f(m2-2)<-f(2m-1)=f(1-2m),
所以m2-2<1-2m,即m2+2m-3<0,解得-3强化练
11.(多选题)(2025·贵州黔南模拟)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+y)-f(x-y)=
f(x+3)f(y+3),f(0)≠0.则( )
A.f(3)=1
B.函数f(x)为偶函数
C.f(0)=-2
D.f(x)的一个周期为2
【答案】 BC
【解析】 令x=y=0,则f(0)-f(0)=f2(3),所以f(3)=0,A错误;
令x=0,则f(y)-f(-y)=f(3)f(y+3)=0,即f(y)=f(-y),故f(x)是偶函数,B正确;
由B可得f(6)=f(-6),令x=y=3,则f(6)-f(0)=f2(6),令x=y=-3,则f(-6)-f(0)=f2(0),所以f2(0)=f2(6),所以[f2(0)+f(0)]2=f2(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=-2,C正确;
令y=-3,则f(x-3)-f(x+3)=f(x+3)f(0)=-2f(x+3),所以f(x-3)+f(x+3)=0,故f(x+3)+f(x+9)=0,所以f(x-3)=f(x+9),所以f(x)的一个周期为12,D错误.故选BC.
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)=,则a= ;当x∈[1,3]时,f(x)= .
【答案】 1
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,1]时,f(x)=,所以f(0)==0,所以a=1.
当x∈[1,3]时,2-x∈[-1,1],f(x)=f(2-x)==.
13.已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x+1)=.
(1)证明:2是函数f(x)的周期;
(2)当x∈[0,1)时,f(x)=x,求f(x)在x∈[-1,0)时的解析式,并写出f(x)在x∈[2k-1,2k+1)(k∈Z)时的解析式.
(1)【证明】 因为f(x+1)=,所以f(x+2)===f(x),
所以2是函数f(x)的周期.
(2)【解】 当x∈[-1,0)时,x+1∈[0,1),则f(x+1)=x+1,又f(x+1)=,即=x+1,解得f(x)=-.
所以当x∈[-1,0)时,f(x)=-.
所以f(x)=
因为f(x)的周期为2,
所以当x∈[2k-1,2k+1)(k∈Z)时,
f(x)=f(x-2k)=
(k∈Z).
拓展练
14.(2025·贵州六盘水模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)=f(1-x),f(x+4)+f(-x)=2.若f(1)=0,则f(i)= .
【答案】 2 024
【解析】 法一(几何法) 由f(x+1)=f(1-x)得f(x)的图象关于直线x=1对称;由f(x+4)+f(-x)=2,得f(x)的图象关于点(2,1)对称;再根据f(1)=0可作出f(x)的一个符合要求的函数图象(如图),从而f(i)=4×506+f(1)=2 024.
法二(代数法) 由f(x+1)=f(1-x)得f(x+2)=f(-x),结合f(x+4)+f(-x)=2得f(x+4)+f(x+2)=2,于是f(x+6)+f(x+4)=2,从而f(x+6)=f(x+2),于是f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的周期函数.
由f(x+4)+f(-x)=2,得2f(2)=2,所以f(2)=1;
由f(x+4)+f(-x)=2,得f(3)+f(1)=2,所以f(3)=2;
由f(x+1)=f(1-x),得f(2)=f(0)=1,从而f(4)=f(0)=1;
从而f(1)=f(5)=0,所以f(i)=4×506+f(1)=2 024.
15.有同学发现:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.运用该结论解决以下问题:
(1)直接写出函数f(x)=图象的对称中心;
(2)证明:函数g(x)=x3+3x2图象的对称中心为(-1,2);
(3)若函数h(x)=x3-ax2+图象的对称中心为(1,-4),求实数a,b的值.
(1)【解】 函数f(x)=图象的对称中心为(1,1).
(2)【证明】 记G(x)=g(x-1)-2=(x-1)3+3(x-1)2-2=x3-3x,
定义域为R,即定义域关于原点对称,
又G(-x)+G(x)=(-x)3-3(-x)+x3-3x=0,所以G(x)为奇函数,
所以函数g(x)=x3+3x2图象的对称中心为(-1,2).
(3)【解】 h(x)=x3-ax2+=x3-ax2+=x3-ax2+-2,
令H(x)=h(x+1)+4=(x+1)3-a(x+1)2++2=x3+(3-a)x2+(3-2a)x+3-a+,
因为H(x)=h(x+1)+4是奇函数,
所以H(-x)+H(x)=0,
即(-x)3+(3-a)·(-x)2+(3-2a)(-x)+3-a++x3+(3-a)x2+(3-2a)x+3-a+=0,
整理得2(3-a)(1+x2)+=0,进而得
解得a=3,b=或b=1.第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性
基础练
1.下列函数中,值域为[0,+∞)且为偶函数的是( )
A.y=cos x B.y=|x+1|
C.y=x2 D.y=x-x3
2.已知函数f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为奇函数,则f(2a)的值是( )
A.0 B.0或10
C.4或68 D.68
3.(多选题)已知函数f(x)=x-,g(x)=,则下列结论正确的是( )
A.f(x)g(x)是奇函数
B.f(g(x))是奇函数
C.f(x)|g(x)|是偶函数
D.|f(x)|g(x)是偶函数
4.设f(x)为偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是( )
A.{x|x>1}
B.{x|-1C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|-11}
5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-,当x∈(2,4)时,f(x)=1+log3x,则f(99)=( )
A.1 B.2 C.- D.-2
6.(多选题)已知y=f(x+1)是定义在R上的奇函数,且f(x+4)=f(2-x),当x∈[-1,1)时,f(x)=2x,则下列说法正确的是( )
A.y=f(x)图象的对称中心为(1,0)
B.y=f(x)图象的对称轴方程为x=3
C.4是函数的周期
D.f(2 021)+f(2 022)=1
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x+22-x,当x<0时,f(x)=m·2x+n·2-x,则m+n=
.
8.设定义域为R的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(-4)=0,则不等式>0的解集是 .
9.已知定义在R上的函数满足f(x)=则f(101)= ,
f(103)= .
10.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求a的值;
(2)已知f(2m-1)+f(m2-2)<0,求m的取值范围.
强化练
11.(多选题)(2025·贵州黔南模拟)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+y)-f(x-y)=
f(x+3)f(y+3),f(0)≠0.则( )
A.f(3)=1
B.函数f(x)为偶函数
C.f(0)=-2
D.f(x)的一个周期为2
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)=,则a= ;当x∈[1,3]时,f(x)= .
13.已知f(x)是定义在R上的函数,满足f(x+1)=.
(1)证明:2是函数f(x)的周期;
(2)当x∈[0,1)时,f(x)=x,求f(x)在x∈[-1,0)时的解析式,并写出f(x)在x∈[2k-1,2k+1)(k∈Z)时的解析式.
拓展练
14.(2025·贵州六盘水模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)=f(1-x),f(x+4)+f(-x)=2.若f(1)=0,则f(i)= .
15.有同学发现:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.运用该结论解决以下问题:
(1)直接写出函数f(x)=图象的对称中心;
(2)证明:函数g(x)=x3+3x2图象的对称中心为(-1,2);
(3)若函数h(x)=x3-ax2+图象的对称中心为(1,-4),求实数a,b的值.
