第2节 函数的单调性与最值
基础练
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y= B.y=(x-1)2
C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)
【答案】 A
【解析】 对于A,由于函数y==1-在(0,+∞)上单调递增,故满足条件;对于B,由于函数y=(x-1)2在(0,1)上单调递减,故不满足条件;对于C,由于函数y=2-x=()x在(0,+∞)上单调递减,故不满足条件;对于D,由于函数y=log0.5(x+1)在(0,+∞)上单调递减,故不满足条件.故选A.
2.函数y=2-的值域是( )
A.[-2,2] B.[1,2]
C.[0,2] D.[-,]
【答案】 C
【解析】由0≤=≤2可知函数y=2-的值域为[0,2].故
选C.
3.若函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )
A.(1,2) B.(-1,2)
C.[1,2) D.[-1,2)
【答案】 D
【解析】 因为函数f(x)===-1在区间(-1,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以n=2.根据题意,当x∈(m,n]时,ymin=0,
所以m的取值范围是[-1,2).故选D.
4.已知函数y=f(x)为定义在R上的增函数,若t≠0,则( )
A.f(t)>f(2t) B.f(t2)>f(t)
C.f(t2+t)>f(t) D.f(t2+t)>f(t+1)
【答案】 C
【解析】 因为函数y=f(x)为定义在R上的增函数,当t>0时,t<2t,f(t)1时,t2=t,f(t2)=f(t),故B错误;当t≠0时,t2+t>t,f(t2+t)>f(t),故C正确;当0f(t+1),故D错误.故选C.
5.已知函数f(x)=-1,且f(4x-1)>f(3),则实数x的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
【答案】 D
【解析】 由题意知函数f(x)=-1在R上单调递减,由于f(4x-1)>f(3),所以4x-1<3,解得x<1.故选D.
6.(2025·江苏常州模拟)已知函数f(x)=1+,若对于任意1[f(x1)-f(x2)]<0,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]∪[0,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.[-1,0]
D.(-1,0)
【答案】 A
【解析】 由任意1故a的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).故选A.
7.函数y=的单调递减区间是 .
【答案】 (-∞,-6]
【解析】 由题意,要使函数y=有意义,需满足x2+2x-24≥0,解得x≤-6或x≥4,又t=x2+2x-24在(-∞,-6]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增,结合复合函数的单调性,可得函数y=的单调递减区间是(-∞,-6].
8.函数f(x)=的最小值是 .
【答案】 2-3
【解析】 当x≥1时,f(x)=x+-3在[1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=时取得最小值,f()=2-3;当x<1时,f(x)=x2+1在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以f(x)在x=0时取得最小值1.综上,f(x)的最小值为2-3.
9.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (-∞,1]∪[4,+∞)
【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4.
10.已知f(x)是定义在D上的函数,对任意的x∈D,存在常数M>0,使得f(x)≤M恒成立,则称f(x)是在D上的限定值为M的“受限函数”.
(1)若函数f(x)=x+5是在(-∞,5]上的限定值为M的“受限函数”,求M的取值范围;
(2)若函数g(x)=x2-4x+3是在[1,m]上的限定值为3的“受限函数”,求m的最大值.
【解】 (1)函数f(x)=x+5在(-∞,5]上单调递增,f(x)max=f(5)=10,依题意,M≥10,
所以M的取值范围是[10,+∞).
(2)由题意,显然可得m>1,g(1)=0,
由函数g(x)是在[1,m]上的限定值为3的“受限函数”,得g(m)≤3,即m2-4m≤0,
解得0≤m≤4,因此1强化练
11.(多选题)已知函数f(x)=则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)是减函数
B. a∈R,f(a2)>f(a-1)
C.若f(a-4)>f(3a),则a的取值范围是(-2,+∞)
D.f(x)在区间[1,2]上的最大值为0
【答案】 ACD
【解析】 由题意,可作f(x)的图象如图所示.
由图象知f(x)在定义域上是减函数,所以A正确;因为a2-(a-1)=a2-a+1=(a-)2+>0,所以a2>a-1,又因为函数f(x)是减函数,所以f(a2)f(3a),因为函数f(x)是减函数,所以a-4<3a,解得a>-2,所以C正确;由图象可知D正确.故选ACD.
12.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<2-f(x-4)的解集为 .
【答案】 (-∞,4)
【解析】 函数f(x)=x3+2x-1在(-∞,1]上单调递增,f(x)=在(1,+∞)上单调递增,又13+
2×1-1=,所以f(x)在R上单调递增.设g(x)=f(x+2)+f(x-4),可得g(x)在R上单调递增.又g(4)=f(6)+f(0)=3-1=2,所以原不等式可化为g(x)13.已知函数f(x)=x+.
(1)请用定义证明函数f(x)在(0,1)上单调递减;
(2)若任意x∈,使得x2-ax+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
(1)【证明】 任取x1,x2∈(0,1),且x1则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+(-)=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-),
因为x1,x2∈(0,1),且x1所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减.
(2)【解】 因为任意x∈,使得x2-ax+1≥0恒成立,
即任意x∈,使得a≤=x+恒成立,
由(1)知,函数f(x)=x+在x∈上单调递减,
当x=时,可得f(x)min=f()=,所以a≤,
所以实数a的取值范围为(-∞,].
拓展练
14.若函数f(x)的定义域为R,且对 x1,x2∈R,x12的解集为( )
A.(-1,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
【答案】 C
【解析】 函数f(x)的定义域为R,且对 x1,x2∈R,x1f(x2)+x2,所以h(x)=f(x)+x为增函数,又f(x)-f(2-x)+2x>2,整理得,f(x)+x>f(2-x)+2-x,所以x>2-x,解得x>1.故选C.
15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1,且当x>0时,f(x)>-1.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数;
(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.
【解】 (1)令x=y=0,得f(0)=-1.
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
所以f(x1-x2)>-1.
又f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),
所以函数f(x)在R上是增函数.
(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.
由f(x2+2x)+f(1-x)>4得f(x2+x+1)>f(3),
因为函数f(x)在R上是增函数,所以x2+x+1>3,解得x<-2或x>1,
故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.第2节 函数的单调性与最值
基础练
1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y= B.y=(x-1)2
C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)
2.函数y=2-的值域是( )
A.[-2,2] B.[1,2]
C.[0,2] D.[-,]
3.若函数y=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )
A.(1,2) B.(-1,2)
C.[1,2) D.[-1,2)
4.已知函数y=f(x)为定义在R上的增函数,若t≠0,则( )
A.f(t)>f(2t) B.f(t2)>f(t)
C.f(t2+t)>f(t) D.f(t2+t)>f(t+1)
5.已知函数f(x)=-1,且f(4x-1)>f(3),则实数x的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(1,+∞) D.(-∞,1)
6.(2025·江苏常州模拟)已知函数f(x)=1+,若对于任意1[f(x1)-f(x2)]<0,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]∪[0,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,+∞)
C.[-1,0]
D.(-1,0)
7.函数y=的单调递减区间是 .
8.函数f(x)=的最小值是 .
9.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是 .
10.已知f(x)是定义在D上的函数,对任意的x∈D,存在常数M>0,使得f(x)≤M恒成立,则称f(x)是在D上的限定值为M的“受限函数”.
(1)若函数f(x)=x+5是在(-∞,5]上的限定值为M的“受限函数”,求M的取值范围;
(2)若函数g(x)=x2-4x+3是在[1,m]上的限定值为3的“受限函数”,求m的最大值.
强化练
11.(多选题)已知函数f(x)=则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)是减函数
B. a∈R,f(a2)>f(a-1)
C.若f(a-4)>f(3a),则a的取值范围是(-2,+∞)
D.f(x)在区间[1,2]上的最大值为0
12.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=则不等式f(x+2)<2-f(x-4)的解集为 .
13.已知函数f(x)=x+.
(1)请用定义证明函数f(x)在(0,1)上单调递减;
(2)若任意x∈,使得x2-ax+1≥0恒成立,求实数a的取值范围.
拓展练
14.若函数f(x)的定义域为R,且对 x1,x2∈R,x12的解集为( )
A.(-1,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1,且当x>0时,f(x)>-1.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数;
(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.
