第1节 函数的概念及其表示
基础练
1.已知函数f(x)与函数g(x)=是同一个函数,则函数f(x)的定义域是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,0)∪(0,1]
C.(-∞,0)∪(0,1) D.(0,1)
2.若函数f(x)满足f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,则f(x)=( )
A.3x B.3
C.27x+10 D.27x+12
3.若函数f(x)的定义域为[1,3],则函数g(x)=的定义域为( )
A.(1,2] B.(1,5]
C.[1,2] D.[1,5]
4.(2025·吉林长春模拟)已知f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2
5.(2025·广东佛山模拟)如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t),则函数y=f(t)的大致图象是( )
A B
C D
6.函数f(x)=的值域是( )
A.[0,2]∪{3} B.[0,+∞)
C.[0,3] D.[0,2]
7.(2025·四川雅安模拟)已知f:x→|x|是集合A到集合B的函数,如果集合B={0,1,2},那么集合A可能为 .(填一种满足条件的集合即可)
8.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如表:
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程g(f(x))=x的解集为 .
9.(2025·北京东城模拟)设函数f(x)=则f(f())= ,不等式f(x)10.(1)已知f(x+1)=2x2-x+3,求f(x)的解析式;
(2)已知f(f(x))=4x+9,且f(x)为一次函数,求f(x)的解析式;
(3)如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求f(x)的解析式.
强化练
11.(多选题)函数f(x)=则下列结论正确的是( )
A.任意x都有f(x)=f(-x)
B.方程f(f(x))=f(x)的解只有x=1
C.f(x)的值域是{0,1}
D.方程f(f(x))=x的解只有x=1
12.(多选题)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是( )
A.y= B.y=
C.y=1-x2 D.y=
13.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,请写出一个与函数y=x2,x∈[0,2]同族的函数: .
14.如果规定[x]表示不大于x的最大整数,试画出函数y=x-[x],x∈[-2,3)的图象.
15.已知函数f(x)=(m∈R).
(1)若f(2)=2,求实数m及f(f(5)+1);
(2)若m=10,求f(x)的定义域;
(3)若f(x)的定义域为(1,+∞),求实数m的取值范围.第1节 函数的概念及其表示
基础练
1.已知函数f(x)与函数g(x)=是同一个函数,则函数f(x)的定义域是( )
A.(-∞,1) B.(-∞,0)∪(0,1]
C.(-∞,0)∪(0,1) D.(0,1)
【答案】 B
【解析】 由题意,两个函数的定义域相同,由可得x≤1且x≠0,所以函数g(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,1],所以函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,1].故选B.
2.若函数f(x)满足f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,则f(x)=( )
A.3x B.3
C.27x+10 D.27x+12
【答案】 A
【解析】 因为f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+1,所以f(3x+1)=9x+3=3(3x+1),则f(x)=3x.故选A.
3.若函数f(x)的定义域为[1,3],则函数g(x)=的定义域为( )
A.(1,2] B.(1,5]
C.[1,2] D.[1,5]
【答案】 A
【解析】 由题意解得14.(2025·吉林长春模拟)已知f(x)=若f(a)=1,则实数a的值为( )
A.1 B.4 C.1或4 D.2
【答案】 B
【解析】 当a<1时,f(a)=2a-1=1,则a-1=0,解得a=1(舍去);当a≥1时,f(a)==1,则=2,解得a=4.故选B.
5.(2025·广东佛山模拟)如图,△OAB是边长为2的正三角形,记△OAB位于直线x=t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t),则函数y=f(t)的大致图象是( )
A B
C D
【答案】 A
【解析】 依题意,当t=0时,f(t)=0;当0从而可知选项A的图象满足题意.故选A.
6.函数f(x)=的值域是( )
A.[0,2]∪{3} B.[0,+∞)
C.[0,3] D.[0,2]
【答案】 A
【解析】 当0≤x<1时,f(x)=2x2∈[0,2);当1≤x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)=3,所以函数f(x)的值域为[0,2]∪{3}.故选A.
7.(2025·四川雅安模拟)已知f:x→|x|是集合A到集合B的函数,如果集合B={0,1,2},那么集合A可能为 .(填一种满足条件的集合即可)
【答案】 {1}(答案不唯一)
【解析】 依题意,f:x→|x|是集合A到集合B的函数,令|x|=0,得x=0,令|x|=1,得x=±1,令|x|=2,得x=±2,因此集合A是集合{0,-1,1,-2,2}的非空子集,所以集合A可能为{1}.
8.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其函数对应关系如表:
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则方程g(f(x))=x的解集为 .
【答案】 {3}
【解析】 当x=1时,f(x)=2,g(f(x))=2,不符合题意;
当x=2时,f(x)=3,g(f(x))=1,不符合题意;
当x=3时,f(x)=1,g(f(x))=3,符合题意.
综上,方程g(f(x))=x的解集为{3}.
9.(2025·北京东城模拟)设函数f(x)=则f(f())= ,不等式f(x)【答案】 1 (-∞,-)∪(,+∞)
【解析】 由题意可知,f(f())=f(1)=1.
当|2x|<1,即-当即x∈(-1,-]∪[,1)时,由f(x)或x<-,所以x∈(-1,-)∪(,1);
当|x|≥1,即x≥1或x≤-1时,则|2x|>1,由f(x)综上所述,不等式f(x)10.(1)已知f(x+1)=2x2-x+3,求f(x)的解析式;
(2)已知f(f(x))=4x+9,且f(x)为一次函数,求f(x)的解析式;
(3)如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,求f(x)的解析式.
【解】 (1)令t=x+1,则x=t-1,
所以f(t)=2(t-1)2-(t-1)+3=2t2-4t+2-t+1+3=2t2-5t+6.
所以f(x)=2x2-5x+6.
(2)因为f(x)为一次函数,
所以设f(x)=kx+b(k≠0),
所以f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+9,
所以
所以或
所以f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9.
(3)当-1≤x≤0时,设函数解析式为y=kx+b,
由图象得解得
所以y=x+1;
当x>0时,设函数解析式为y=a(x-2)2-1,
因为图象过点(4,0),
所以0=a(4-2)2-1,解得a=.
综上,函数f(x)在[-1,+∞)上的解析式为
f(x)=
强化练
11.(多选题)函数f(x)=则下列结论正确的是( )
A.任意x都有f(x)=f(-x)
B.方程f(f(x))=f(x)的解只有x=1
C.f(x)的值域是{0,1}
D.方程f(f(x))=x的解只有x=1
【答案】 ACD
【解析】 当x为有理数时,-x为有理数,则f(x)=f(-x)=1,当x为无理数时,-x为无理数,则f(x)=f(-x)=0,故A正确;
当x为有理数时,方程f(f(x))=f(1)=1=f(x)成立;当x为无理数时,方程f(f(x))=f(0)=1≠f(x).所以方程f(f(x))=f(x)的解为任意有理数,故B错误;
因为f(x)的值域是{0,1},故C正确;
当x为有理数时,方程f(f(x))=f(1)=1=x,解得x=1;当x为无理数时,方程f(f(x))=f(0)=1=x,无解,故D正确.故选ACD.
12.(多选题)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是( )
A.y= B.y=
C.y=1-x2 D.y=
【答案】 BD
【解析】 由“[a,b]交汇函数”定义可知,“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集为[0,1].
y=的定义域A=[0,+∞),值域B=[0,+∞),则A∩B=[0,+∞),A选项错误;y=的定义域A=(-∞,1],值域B=[0,+∞),则A∩B=[0,1],B选项正确;y=1-x2的定义域A=R,值域B=(-∞,1],则A∩B=(-∞,1],C选项错误;y=的定义域A=[-1,1],值域B=[0,1],则A∩B=[0,1],D选项正确.故选BD.
13.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,请写出一个与函数y=x2,x∈[0,2]同族的函数: .
【答案】 y=x2,x∈[-2,1](答案不唯一,参考解析中的t,m的值)
【解析】 函数y=x2,x∈[0,2]的值域为[0,4],因此其同族函数的函数解析式可以是y=x2,x∈[-2,t](0≤t≤2),也可以是y=x2,x∈[m,2](-2≤m<0)中的任意一个.
14.如果规定[x]表示不大于x的最大整数,试画出函数y=x-[x],x∈[-2,3)的图象.
【解】 由题意知,[x]表示不大于x的最大整数,
当-2≤x<-1时,可得y=x-[x]=x+2;
当-1≤x<0时,可得y=x-[x]=x+1;
当0≤x<1时,可得y=x-[x]=x;
当1≤x<2时,可得y=x-[x]=x-1;
当2≤x<3时,可得y=x-[x]=x-2.
结合一次函数的图象与性质,可得函数y=x-[x],x∈[-2,3)的图象,如图所示.
15.已知函数f(x)=(m∈R).
(1)若f(2)=2,求实数m及f(f(5)+1);
(2)若m=10,求f(x)的定义域;
(3)若f(x)的定义域为(1,+∞),求实数m的取值范围.
【解】 (1)f(2)==2,解得m=-6,所以f(x)=,则f(5)==2,
所以f(f(5)+1)=f(3)==.
(2)当m=10时,f(x)=,要使f(x)有意义,则解得x≥5,
所以f(x)的定义域为[5,+∞).
(3)因为f(x)的定义域为(1,+∞),所以y=x2-3x-m=(x-)2--m≥0在(1,+∞)上恒成立,
所以当x=时,ymin=--m≥0,解得m≤-,所以实数m的取值范围为(-∞,-].
