21.2.2
公式法
导学探究
一、阅读教材P9-10,回答下列问题:
1、回顾:
(1)配方:
(2)用配方法解一元二次方程的步骤有哪些c
2、对于字母系数的一元二次方程,二次项系数为______,一次项系数为______,将其转化为(x
+
m)2
=n
形式是___________.
3、用配方法解一元二次方程ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0),配方后,得到。
(1)
会小于0吗?4a2呢?
(2)要使方程有实数根,b2-4ac需要满足什么条件?
4、通过以上分析,你认为一元二次方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)解的情况有几种?说说你的想法。
二、阅读教材P11-12,回答下列问题:
1、一元二次方程的求根公式是_______________,你认为一元二次方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)的根是由哪些量确定的?
2(1)使用求根公式前,要先将方程整理为一元二次方程的__________形式,利用_______判断方程根的情况。
(2)运用求根公式求一元二次方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)的根的前提条件是______________.
3、由求根公式可知,一元二次方程的根不可能多于_____个。
4、若请你给运用求根公式求一元二次方程根的方法取个名字,你认为取什么名字比较合适
归纳梳理
1、式子________叫做一元二次方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)根据的判别式,通常用希腊字母____表示,即可________.
2、(1)当△>
0时,方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)有______根;
(2)当△=
0时,方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)有______根;
(3)当______时,方程ax2+bx+c
=
0(a≠0)没有实数根.
3、对于一元二次方程
ax2+bx+c
=
0(a≠0),如果b2
-4ac
≥0,那么方程的两个根为________________,
这个公式叫做一元二次方程的_________,我们可以由一元二次方程的系数a,b
,c
的值,直接求得方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做______________.
4、公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程化为__________________形式,并写出a,b
,c
的值;
(2)
求出_________的值;
(3)若________________,将a,b
,c
的值代入求根公式;
(4)写出方程的根
典例探究
1.根据根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】(2015 重庆)已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
两个根都是自然数
D.无实数根
总结:
求根的判别式时,应该先将方程化为一般形式,正确找出a,b,c的值.
根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.
练1.(2015 铜仁市)已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法不正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
练2.(2015 泰州)已知:关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
2.根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围
【例2】(2015 温州)若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是( )
A.﹣1
B.1
C.﹣4
D.4
总结:已知方程根的情况求字母的值或取值范围时:
先计算根的判别式;
再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解;
若二次项系数出现了字母,应注意“二次项系数不为0”.
练3.(2015 凉山州)关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≤3
B.m<3
C.m<3且m≠2
D.m≤3且m≠2
3.用公式法解一元二次方程
【例3】用公式法解下列方程:
(1)x2+2x﹣2=0;
(2)y2﹣3y+1=0;
(3)x2+3=2x.
总结:
公式法的实质是配方法,只不过省去了配方的过程,而直接利用了配方的结论;
运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提:
(1)先将一元二次方程化为一般形式,即确定a,b,c的值;
(2)必须保证b2-4ac≥0.
练4.(2014 锦江区模拟)解方程:x(x﹣2)=3x+1.
练5.当x是何值时,3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等?
夯实基础
一、选择题
1.(2015 云南)下列一元二次方程中,没有实数根的是( )
A.4x2﹣5x+2=0
B.x2﹣6x+9=0
C.5x2﹣4x﹣1=0
D.3x2﹣4x+1=0
2.(2015 贵港)若关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为( )
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
3.(2015 烟台)等腰直角三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为( )
A.9
B.10
C.9或10
D.8或10
4.(2015 株洲)有两个一元二次方程M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a c≠0,a≠c.下列四个结论中,错误的是( )
A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
5.(2013 日照)已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1,则下面对x1的估计正确的是( )
A.﹣2<x1<﹣1
B.﹣3<x1<﹣2
C.2<x1<3
D.﹣1<x1<0
二、填空题
6.(2011秋 册亨县校级月考)用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= ,x1= ,x2= .
三、解答题
7.(2014秋 通山县期中)用公式法解方程:2x2﹣4x=5.
8.(2014秋 金溪县校级月考)解方程:2x2﹣2x﹣5=0.
9.(2013春 石景山区期末)用公式法解方程:x(x)=4.
10.(2015 梅州)已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
11.(2015 咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
12.(2015 昆山市一模)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1﹣x2|=2,求m的值.
13.(2015 南充一模)已知关于x的一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)
(1)小明考查后说,它总有两个不相等的实数根.
(2)小华补充说,其中一个根与k无关.
请你说说其中的道理.
典例探究答案:
【例1】(2015 重庆)已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.两个根都是自然数
D.无实数根
分析:判断方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
解答:解:∵a=2,b=﹣5,c=3,
∴△=b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×2×3=1>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
点评:此题主要考查了一元二次方程根的判别式,要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0 方程有两个不相等的实数根;(2)△=0 方程有两个相等的实数根;(3)△<0 方程没有实数根.
练1.(2015 铜仁市)已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法不正确的是( )
A.方程有两个相等的实数根
B.方程有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
分析:先求出△的值,再判断出其符号即可.
解答:解:∵△=42﹣4×3×(﹣5)=76>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选B.
点评:本题考查的是根的判别式,熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△的关系是解答此题的关键.
练2.(2015 泰州)已知:关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
分析:(1)找出方程a,b及c的值,计算出根的判别式的值,根据其值的正负即可作出判断;
(2)将x=3代入已知方程中,列出关于系数m的新方程,通过解新方程即可求得m的值.
解答:解:(1)∵a=1,b=2m,c=m2﹣1,
∵△=b2﹣4ac=(2m)2﹣4×1×(m2﹣1)=4>0,
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根;
(2)∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3,
∴32+2m×3+m2﹣1=0,
解得,m=﹣4或m=﹣2.
点评:此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0 方程有两个不相等的实数根;(2)△=0 方程有两个相等的实数根;(3)△<0 方程没有实数根.也考查了一元二次方程的解的定义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
【例2】(2015 温州)若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是( )
A.﹣1
B.1
C.﹣4
D.4
分析:根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0,然后解一次方程即可.
解答:解:∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,
∴△=42﹣4×4c=0,
∴c=1,
故选B.
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
练3.(2015 凉山州)关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≤3
B.m<3
C.m<3且m≠2
D.m≤3且m≠2
分析:根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0,即22-4×(m-2)×1≥0,然后解不等式组即可得到m的取值范围.
解答:解:∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根,
∴m-2≠0且△≥0,即22-4×(m-2)×1≥0,解得m≤3,
∴m的取值范围是
m≤3且m≠2.
故选:D.
点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.
【例3】用公式法解下列方程:
(1)x2+2x﹣2=0;
(2)y2﹣3y+1=0;
(3)x2+3=2x.
分析:(1)求出b2﹣4ac的值,代入公式x=求出即可;
(2)求出b2﹣4ac的值,代入公式y=求出即可;
(3)求出b2﹣4ac的值是负数,即可得出原方程无解.
解答:解:(1)这里a=1,b=2,c=﹣2,
∵b2﹣4ac=22﹣4×1×(﹣2)=12>0,
∴x==﹣1,
∴x1=﹣1+,x2=﹣1﹣;
(2)这里a=1,b=﹣3,c=1.
∵b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×1=5>0,
∴?y=,
∴y1=,y2=;
(3)移项,得x2﹣2x+3=0,
这里a=1,b=﹣2,c=3.?
∵b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣4<0.
∴原方程没有实数根.
点评:本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力,前提是先判断判别式的符号,再根据情况代入求根公式求解.
练4.(2014 锦江区模拟)解方程:x(x﹣2)=3x+1.
分析:整理后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.
解答:解:x(x﹣2)=3x+1,
整理得:x2﹣5x﹣1=0,
b2﹣4ac=(﹣5)2﹣4×1×(﹣1)=29,
x=,
x1=,x2=.
点评:本题考查了解一元二次方程的应用,能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键,难度适中.
练5.当x是何值时,3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等?
分析:根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等,即可列出方程,然后利用公式法即可求解.
解答:解:根据题意得:3x2+4x﹣8=2x2﹣1,
即x2+4x﹣7=0,
a=1,b=4,c=﹣7,
△=b2﹣4ac=16+28=44>0,
则x==﹣2.
点评:本题考查了公式法解一元二次方程,注意公式运用的条件:判别式△≥0.
夯实基础答案:
一、选择题
1.(2015 云南)下列一元二次方程中,没有实数根的是( )
A.4x2﹣5x+2=0
B.x2﹣6x+9=0
C.5x2﹣4x﹣1=0
D.3x2﹣4x+1=0
解:A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7<0,∴方程没有实数根,故本选项正确;
B、∵△=36﹣4×1×4=0,∴方程有两个相等的实数根,故本选项错误;
C、∵△=16﹣4×5×(﹣1)=36>0,∴方程有两个相等的实数根,故本选项错误;
D、∵△=16﹣4×1×3=4>0,∴方程有两个相等的实数根,故本选项错误;
故选A.
2.(2015 贵港)若关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为( )
A.﹣1
B.0
C.1
D.2
解:∵关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+2=0有实数根,
∴△=(﹣2)2﹣8(a﹣1)=12﹣8a≥0且a﹣1≠0,
∴a≤且a≠1,
∴整数a的最大值为0.
故选:B.
3.(2015 烟台)等腰直角三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,则n的值为
( )
A.9
B.10
C.9或10
D.8或10
解:∵三角形是等腰直角三角形,
∴①a=2,或b=2,②a=b两种情况,
①当a=2,或b=2时,
∵a,b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根,
∴x=2,
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得,22﹣6×2+n﹣1=0,
解得:n=9,
当n=9,方程的两根是2和4,而2,4,2不能组成三角形,
故n=9不合题意,
②当a=b时,方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根,
∴△=(﹣6)2﹣4(n﹣1)=0
解得:n=10,
故选B.
4.(2015 株洲)有两个一元二次方程M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a c≠0,a≠c.下列四个结论中,错误的是( )
A.如果方程M有两个相等的实数根,那么方程N也有两个相等的实数根
B.如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同
C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1
解:A、如果方程M有两个相等的实数根,那么△=b2﹣4ac=0,所以方程N也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意;
B、如果方程M的两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同,那么△=b2﹣4ac≥0,>0,所以a与c符号相同,>0,所以方程N的两根符号也相同,结论正确,不符合题意;
C、如果5是方程M的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得c+b+a=0,所以是方程N的一个根,结论正确,不符合题意;
D、如果方程M和方程N有一个相同的根,那么ax2+bx+c=cx2+bx+a,(a﹣c)x2=a﹣c,由a≠c,得x2=1,x=±1,结论错误,符合题意;
故选D.
5.(2013 日照)已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1,则下面对x1的估计正确的是( )
A.﹣2<x1<﹣1
B.﹣3<x1<﹣2
C.2<x1<3
D.﹣1<x1<0
解:x2﹣x﹣3=0,
b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×(﹣3)=13,
x=,
方程的最小值是,
∵3<<4,
∴﹣3>﹣>﹣4,
∴﹣>﹣>﹣2,
∴﹣>﹣>﹣2,
∴﹣1>>﹣
故选:A.
二、填空题
6.(2011秋 册亨县校级月考)用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= 41 ,x1= ,x2= .
解:2x2﹣7x+1=0,
a=2,b=﹣7,c=1,
∴b2﹣4ac=(﹣7)2﹣4×2×1=41,
∴x==,
∴x1=,x2=,
故答案为:41,,.
三、解答题
7.(2014秋 通山县期中)用公式法解方程:2x2﹣4x=5.
解:原方程可化为:2x2﹣4x﹣5=0,
∵a=2,b=﹣4,c=﹣5,
∴b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×2×(﹣5)=56>0,
∴x=\frac{4±\sqrt{56}}{4}=1±.
∴x1=1+,x2=1﹣.
8.(2014秋 金溪县校级月考)解方程:2x2﹣2x﹣5=0.
解:这里a=2,b=﹣2,c=﹣5,
∵△=8+40=48,
∴x==.
9.(2013春 石景山区期末)用公式法解方程:x(x)=4.
解:整理得:x2+2x﹣4=0,
△=b2﹣4ac=(2)2﹣4×1×(﹣4)=28,
x=,
x1=﹣+,x2=﹣﹣.
10.(2015 梅州)已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
(1)若该方程有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围;
(2)当该方程的一个根为1时,求a的值及方程的另一根.
解:(1)∵b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×(a﹣2)=12﹣4a>0,
解得:a<3.
∴a的取值范围是a<3;
(2)设方程的另一根为x1,由根与系数的关系得:
,
解得:,
则a的值是﹣1,该方程的另一根为﹣3.
11.(2015 咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;
(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
解:(1)△=(m+2)2﹣8m=m2﹣4m+4=(m﹣2)2,
∵不论m为何值时,(m﹣2)2≥0,
∴△≥0,
∴方程总有实数根;
(2)解方程得,x=,
x1=,x2=1,
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1或2,m=2不合题意,
∴m=1.
12.(2015 昆山市一模)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1﹣x2|=2,求m的值.
解:(1)∵△=(m+3)2﹣4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4>0,
∴无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)∵x1、x2是原方程的两根,
∴x1+x2=﹣m﹣3,x1x2=m+1,
∵|x1﹣x2|=2,
∴(x1﹣x2)2=8,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=8,
∴(﹣m﹣3)2﹣4(m+1)=8,
∴m1=1,m2=﹣3.
13.(2015 南充一模)已知关于x的一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)
(1)小明考查后说,它总有两个不相等的实数根.
(2)小华补充说,其中一个根与k无关.
请你说说其中的道理.
解:(1)∵△=4(k﹣1)2﹣4k(k﹣2)=4>0,
∴一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)总有两个不相等的实数根;
(2)当x=1时,k﹣2(k﹣1)+k﹣2=0,
即一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)有一根为1,
x=1是一元二次方程kx2﹣2(k﹣1)x+k﹣2=0(k≠0)的根,与k无关.