10.1 分式 专题练习 （原卷版+答案版） 2025-2026学年北京版2024八年级上册数学

10.1 分式专题练习
题型一 分式的判断
1．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）下列有理式、、、、中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）； （2）； （3）； （4）
（5）； （6）0； （7）； （8）．
题型二 分式有意义的条件
1．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）下列分式中，当时，有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南商丘·模拟预测）下列分式中，无论取什么值分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义．
题型三 分式无意义的条件
1．（20-21八年级上·北京昌平·期末）根据下列表格信息，y可能为（ ）
x … 0 1 2 …
y … 0 * * 无意义 * …
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）当时，下列分式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．（21-22八年级上·北京门头沟·期中）若分式无意义，则x的值是（　　）
A．x＝±1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
4．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ．
题型四 分式值为0的条件
1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）若分式的值为0，则的值为（　　　）
A． B．2 C． D．
2．八年级上·北京·期末）已知分式的值为 0，则 （ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
3．（22-23七年级下·北京·期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
4．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ．
5．（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ．
6．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知．
(1)当x取何值时，该分式无意义？
(2)当x取何值时，y的值是0？
(3)当x取何值时，y的值是负数？
题型五 按要求构造分式
1．（21-22八年级上·山东泰安·阶段练习）已知四张卡片上面分别写有 ，，，，从中任选两张卡片，组成一个分式为 ．（写出一个分式即可）
2．（2025九年级·北京·专题练习）请写出一个的整数值，使得分式的值为整数，那么的值可以是 （写出一个即可）．
3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是 ．（写出一个正确的答案即可）
4．（22-23七年级上·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是；
（3）当时，分式的值为．
你所写的分式为
题型一 分式的求值
1．（22-23八年级上·北京·期末）（1）已知，则 ；
（2）已知，则 ．
（3）已知，则代数式的值是 ．
2．（2025·北京顺义·二模）已知，求代数式的值．
3．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，求代数式的值．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
5．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知x、y、z满足．试求的值．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，求的值．
题型二 求分式值为正/负数时未知数的取值范围
1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）已知的值是非负数，那么x的取值范围是 ．
2．若分式的值为正数，则满足
3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为 ．
4．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时：
(1)分式的值为负数？
(2)分式的值为正数？
(3)分式的值为负数？
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：解分式不等式 ．
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ②
解①，得无解，解②，得 ．
所以原不等式的解集是 ．
请仿照上述方法解下列分式不等式：
(1)
(2)
题型三 求使分式值为整数时未知数的整数值
1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ．
2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
3．（20-21八年级上·北京西城·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(2)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ．
4．（21-22八年级上·北京房山·期中）在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
(1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
(2)若分式的值为整数，求出整数m的值；
(3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
题型四 分式的规律性问题
1．（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·广西来宾·期中）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ．
3．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
4．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，，，，，
当为大于的奇数时，；
当为大于的偶数时，；
(1)求；（用含的式子表示）
(2)_____；（用含的式子表示）
(3)计算．
5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明；
(3)运用规律计算：．
1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程．
已知，求的值．
解：由，知，
，即，
，
的值为．
【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题
已知，求的值；
【拓展延伸】已知，，，求的值．
2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，，，，这样的分式就是假分式；
再如：，，，这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；，
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是________分式（填“真”或“假”）；
(2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程）
(3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值．
3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：，，．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，则分式的值为______，分式的值为______；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，则分式的值为______．
4．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
【阅读材料】类比分数学习分式
我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效．
通过阅读上述材料，解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)假分式化为带分式的形式为______；
(3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值．
5．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）．
如：．
解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
(3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______．
10.1 分式专题练习答案版
题型一 分式的判断
1．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可．
【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个，
故选：B．
2．（24-25八年级上·北京平谷·阶段练习）下列有理式、、、、中，是分式的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式，
、的分母中含有字母，因此是分式，共2个．
故选：B．
3．（24-25八年级上·河南郑州·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式的加减法；熟练掌握分式的运算法则，正确进行因式分解是解题的关键．
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值．
【详解】解：原式，
故选：B．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）； （2）； （3）； （4）
（5）； （6）0； （7）； （8）．
【答案】整式：．分式：
【分析】本题考查整式和分式，根据形如，且中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可．
【详解】解：由题意，整式有：；
分式有：．
题型二 分式有意义的条件
1．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键．
根据分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得
故选：C．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）下列分式中，当时，有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义，直接利用分式的有意义的条件依次分析，即可．
【详解】解：当时，，，，
选项A C D中分母都为0，故选项A C D都不符合题意；
当时，，选项B符合题意；
故选：B．
3．（2025·河南商丘·模拟预测）下列分式中，无论取什么值分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．根据分式有意义的条件逐项判断即可．
【详解】解：A、当即时，该分式无意义，故本选项不符合题意；
B、当即时，该分式无意义，故本选项不符合题意；
C、因为，所以无论m取何值，该分式都有意义，故本选项符合题意；
D、当即时，该分式无意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）当 时，分式有意义；当 时，分式无意义．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解．
【详解】解：当，即时，分式有意义；
当，即时，分式无意义；
故答案为：，．
题型三 分式无意义的条件
1．（20-21八年级上·北京昌平·期末）根据下列表格信息，y可能为（ ）
x … 0 1 2 …
y … 0 * * 无意义 * …
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式值为0的条件和分式无意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．
根据题意可得分式为0、分式无意义是条件，然后判断即可．
【详解】解：由表格信息可知：
当时，无意义，
排除B、C两个选项，
又当时，，
∴代入A、D两个选项中，只有A选项，
故选：A．
2．（24-25八年级上·北京·阶段练习）当时，下列分式没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件．
【详解】解：当时，，
∴当时，分式没有意义，
故选：B．
3．（21-22八年级上·北京门头沟·期中）若分式无意义，则x的值是（　　）
A．x＝±1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
【答案】B
【分析】根据分式无意义，分母等于零求解即可．
【详解】解：由题意得
x-1=0，
∴x=1．
故选B．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件．掌握分式无意义条件是分式的分母的值为零，解一元一次方程是解题关键．
4．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可．
【详解】∵当时，分式无意义，
∴当时，，
代入得，解得，
故答案为：．
题型四 分式值为0的条件
1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）若分式的值为0，则的值为（　　　）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选：B．
2．（21-22八年级上·北京·期末）已知分式的值为 0，则 （ ）
A．1 B． C．1 或 D．0
【答案】B
【分析】根据分式的值为0的条件及分式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．
【详解】解：∵分式的值为 0，
∴，解得．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
3．（22-23七年级下·北京·期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件，因式分解，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解．
【详解】解：分式的值为，
，
解得：，
故答案为：．
4．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键．
根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案．
【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义，
∴，
∴；
∵当时，分式的值为零，
∴，
∴，
∴．
5．（24-25八年级下·全国·课后作业）若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ；若代数式的值为0，则 ．
【答案】 2 或2/2或 2
【分析】本题考查了分式有意义的条件以及分式值为零的条件，两个整式乘积为0的条件，根据分式有意义 分母不为零；分式值为零 分子为零且分母不为零．以及两个整式乘积为0的条件一一计算即可．
【详解】解：若的值为0，即，即．
若代数式的值为0，则或，解得：或．
若代数式的值为0，则或，又使得分式有意义即，故只有当时，代数式的值为0，
故答案为：2；2或；2
6．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）已知．
(1)当x取何值时，该分式无意义？
(2)当x取何值时，y的值是0？
(3)当x取何值时，y的值是负数？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查的是分式的值，熟练掌握分式无意义的条件，分式值为零的条件，以及分式为负数的条件是解题关键．
（1）根据分式无意义的条件，分母为0求解即可；
（2）根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0求解即可；
（3）先判断分子非负，则问题转化为分母小于0求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：
∴当时，分式无意义；
（2）解：由题意得，
则，，
∴；
（3）解：由题意得，，
∵，
∴，，
解得：．
题型五 按要求构造分式
1．（21-22八年级上·山东泰安·阶段练习）已知四张卡片上面分别写有 ，，，，从中任选两张卡片，组成一个分式为 ．（写出一个分式即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据分式的定义即可求出答案，形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式．
【详解】答案不唯一，如：、、
【点睛】本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义．
2．（2025九年级·北京·专题练习）请写出一个的整数值，使得分式的值为整数，那么的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】答案不唯一，如0．
【分析】要想使得分式的值为整数，分子必须是分母的倍数，因此，m-1只能是1,2,4或-1，-2，-4，分别计算，选择一个即可．
【详解】分式的值为整数，也是整数，
∴m-1只能是1,2,4或-1，-2，-4，
的值可以是，，0，2，3，5．
故答案为：0．答案不唯一．
【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的值为整数的条件是分母是分子的约数，这是解题的关键．
3．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是 ．（写出一个正确的答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是分式的定义以及分式的值的含义，只需要构建一个分子与分母同号且分子不为0的分式即可．
【详解】解：∵一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，
∴这个分式可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
4．（22-23七年级上·上海·期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是；
（3）当时，分式的值为．
你所写的分式为
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据所满足的条件解答即可：（1）分式的分母不为零、分子不为零；（2）分式有意义，分母不等于零；（3）将代入后，分式的分子、分母互为相反数．
【详解】解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；
根据（2）分式有意义时，a的取值范围是，可知当时，分式的分母等于零；
根据（3）当时，分式的值为，可知把代入后，分式的分子、分母互为相反数．
综上可知，满足条件的分式可以是：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值不为零的条件等，掌握分式的分母不能为0是解题的关键．
题型一 分式的求值
1．（22-23八年级上·北京·期末）（1）已知，则 ；
（2）已知，则 ．
（3）已知，则代数式的值是 ．
【答案】
【分析】（1）先推出，则；
（2）先推出，再根据进行求解即可；
（3）先求出，，再把替换成，然后去括号，合并同类项，并代值计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：；
（3）∵，
∴，，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的求值，代数式求值，正确理解题意观察出所给条件式与所求式子之间的关系是解题的关键．
2．（2025·北京顺义·二模）已知，求代数式的值．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
先对分子分母因式分解，化为最简分式，再将变形为，再整体代入求值．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
3．（24-25九年级下·北京·阶段练习）已知，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，将分式进行约分化简后，整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的求值，正确得到是解题的关键．
（1）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案；
（2）先求出，再把所求分式中的x用替换，再约分即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴，
∴
．
5．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知x、y、z满足．试求的值．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式的分子分母颠倒位置后计算是解题关键．先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】此题考查了绝对值的非负性，相反数的概念，分式求值，根据题意得到，求出，然后将原式变形为，然后化简求解即可．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
解得，
∴
．
题型二 求分式值为正/负数时未知数的取值范围
1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）已知的值是非负数，那么x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式值的正负性问题，熟练掌握分式的意义是截图的关键，注意此题中的．若的值是非负数，由，得，因而能求出的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
2．（16-17八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正数，则满足
【答案】/
【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可．
【详解】根据题意有：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（24-25八年级上·山东临沂·期末）当分式的值为正数时，写出一个满足条件的的值为 ．
【答案】2（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得，则，据此可得答案．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴，
∴，
∴满足题意的x的值可以为2，
故答案为：2（答案不唯一）．
4．（23-24八年级下·全国·假期作业）当的取值范围是多少时：
(1)分式的值为负数？
(2)分式的值为正数？
(3)分式的值为负数？
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是分式的值为正数或负数时，字母的取值范围，一元一次不等式组的应用，理解题意是关键；
（1）由分式的值为负数可得，再解不等式即可；
（2）由分式的值为正数可得或，再解不等式组即可；
（3）结合（2）的结论可得分式的值为负数时的范围．
【详解】（1）解：，，
，
，
时，分式值为负数．
（2）∵分式的值为正数，
∴或，
当时，
解得：，
当时，
不等式组无解，
综上：当时；分式的值为正数，
（3）∵由（2）得：当时；分式的值为正数，
∴分式的值为负数时，则或；
5．（23-24七年级下·全国·单元测试）阅读材料：解分式不等式 ．
解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为：① 或 ②
解①，得无解，解②，得 ．
所以原不等式的解集是 ．
请仿照上述方法解下列分式不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了解不等式组，根据分式值的情况求参数范围：
（1）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可；
（2）仿照题意得到不等式组或 ，分别解之即可．
【详解】（1）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或
解不等组①得 解不等式组②得无解．
∴原不等式的解集是
（2）解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，∴原不等式可转化为：或
解不等式组①得，解不等式组②，得．
∴原不等式的解集是或．
题型三 求使分式值为整数时未知数的整数值
1．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为整数，则的整数值为 ．
【答案】0或/或0
【分析】本题主要考查了分式的值、解一元一次方程等知识，根据题意确定的值是解题关键．根据题意，若分式的值为整数，则或或，
然后分别求解，即可确定的整数值．
【详解】解：若分式的值为整数，
则或或，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
若取整数，
则的整数值为0或．
故答案为：0或．
2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个．
【答案】4
【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴，2，3，6，，，，，
解得：，，1，，，，，，
其中x的值为整数有：，1，，共4个．
故答案为：4．
3．（20-21八年级上·北京西城·期末）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．参考上面的方法，解决下列问题：
(1)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(2)将变形为满足以上结果要求的形式： ；
(3)若为正整数，且也为正整数，则的值为 ．
【答案】(1)
(2)
(3)2或6
【分析】本题主要考查了分式的求值，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键．
（1）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可；
（2）根据材料中分式转化变形的方法进行求解即可；
（3），且为正整数，推出为整数，进而推出或，由此可得答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，且为正整数，
∴为正整数，
∴为整数，
∵也为正整数，
∴或，
∴或，
故答案为：2或6．
4．（21-22八年级上·北京房山·期中）在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如，．
(1)现有以下代数式：①，②，③，④．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
(2)若分式的值为整数，求出整数m的值；
(3)我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：；
．
请解决以下问题：若分式的值为整数，求出整数m的值．
【答案】(1)①④；②
(2)
(3)
【分析】（1）由题意①④分子的次数小于分母的次数，是真分式；②分子的次数大于分母的次数，是假分式；③不是分式；
（2）分式的值为整数，则的值为或，计算求解即可；
（3）先将分式化为整式与“真分式”的和，则的值为或，计算求解即可．
【详解】（1）解：由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②；
（2）解：分式的值为整数，则的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：；
（3）解：
要使的值为整数，即为整数，则是整数即可，
所以的值为或，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
整数m的值为：
【点睛】本题考查分式的计算，如何理解题意进行正确运算是解题的关键．
题型四 分式的规律性问题
1．（24-25八年级上·云南文山·期末）一组按规律排列的式子：，，，，…（，n为正整数），第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了探索规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键．根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律．
【详解】解：分子为，其指数为2，5，8，11，…其规律为，
分母为，其指数为1，2，3，4，…其规律为，
分数符号为，，，，，其规律为，
所以第个式子．
故选：C．
2．（24-25八年级上·广西来宾·期中）对于正数，规定，例如：，，则的值为 ．
【答案】19.5
【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键．由题意可得：，则可得：，然后组合式子即可求解．
【详解】解：由题意得：，
，
，，…，，
∵x为正数，
∴原式
．
故答案为：．
3．（2025·安徽合肥·二模）观察以下等式：
第1个等式：，第2个等式：，
第3个等式：，第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】对于（1），根据前四个式子的规律得出第5个等式；
对于（2），根据前5个式子的规律写出第n个式子，再证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：，
即；
故答案为：；
（2）解：第n个等式： ；
．
4．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，，，，，
当为大于的奇数时，；
当为大于的偶数时，；
(1)求；（用含的式子表示）
(2)_____；（用含的式子表示）
(3)计算．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键．
（1）根据，即可求解；
（2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解；
（3）求出，由，可得，即可求解．
【详解】（1）解：，，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
每个一循环，
，
，
故答案为：；
（3）
，
．
5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明；
(3)运用规律计算：．
【答案】(1)
(2)；证明见解析
(3)
【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键．
（1）观察题中的式子求解即可；
（2）根据题中的等式进行归纳总结即可求解；
（3）利用（2）中的规律，再裂项进行计算即可．
【详解】（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：；
（2）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
第n个等式：；
左边，
右边
，
∴左边右边；
（3）解：
．
1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考法【阅读学习】阅读下面的解题过程．
已知，求的值．
解：由，知，
，即，
，
的值为．
【类比探究】上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解题
已知，求的值；
【拓展延伸】已知，，，求的值．
【答案】类比探究：；拓展延伸：
【分析】本题考查了求分式的值，采用倒数法是解此题的关键．
类比探究：由题意可得，从而得出，即，再求出，即可得解；
拓展延伸：由题意可得，且，从而得出．再由倒数法求解即可．
【详解】解：类比探究：由，知，
，即，
，
，
．
拓展延伸：∵，，，
，且，
．
，
．
2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，，，，这样的分式就是假分式；
再如：，，，这样的分式就是真分式．
类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：；，
再如：．
解决下列问题：
(1)分式是________分式（填“真”或“假”）；
(2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程）
(3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值．
【答案】(1)真
(2)，的值为或或或
(3)最小值为
【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．
（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式；
故答案为：真；
（2）解：，
的值为整数，且为整数，
的值为或或或，
的值为或或或；
（3）解：
，
当时，这两个式子的和有最小值．最小值为，
则的最小值为．
3．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）阅读理解：
著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料1：已知，求分式的值．
解：，
，
．
解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法．
材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：．
解析：这种方法可以称为分离常数法．
根据材料，解答下面问题：
(1)已知，则分式的值为______，分式的值为______；
(2)若分式的值为整数，求整数b的值；
(3)已知，则分式的值为______．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键．
（1）仿照题意求出的结果，再利用倒数法即可得到答案；
（2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案；
（3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴
∴
，
∴；
（2）解：
，
∵分式的值为整数，
∴为整数，即为整数，
又∵
∴或，
∴或；
（3）解：∵
∴
，
∴．
4．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
【阅读材料】类比分数学习分式
我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效．
通过阅读上述材料，解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)假分式化为带分式的形式为______；
(3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值．
【答案】(1)真分式
(2)
(3)或1或
【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键．
（1）根据定义进行判断即可；
（2）将化为，然后化成带分式的形式即可；
（3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可．
【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，，
是真分式，
故答案为：真分式；
（2）解：原式，
故答案为：；
（3）解：原式，
原分式的值为正整数，且x为整数，
或2或，
或1或．
5．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）．
如：．
解决下列问题：
(1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
(3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______．
【答案】(1)真分式；
(2)，，，，，
(3)
【分析】本题考查分式的化简求值、新定义．
（1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式；
（2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数；
（3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式，
，
故答案为：真分式；；
（2）解：∵，
∴或或，
∴当或5或4或2或1或时，的值为整数；
（3）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
故答案为：．