浙江省绍兴市嵊州市爱德初级中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题：(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·嵊州开学考）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
2．（2025九上·嵊州开学考） 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2025九上·嵊州开学考）抛物线与x轴的一个交点是（-1，0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（0，0) B．（3，0) C．（-3，0) D．（0，-3）
4．（2025九上·嵊州开学考）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·嵊州开学考）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A．10% B．20% C．22% D．44%
6．（2025九上·嵊州开学考）将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+1)2-13 B．y=（x-5)2-5
C．y=（x-5)2-13 D．y=（x+1)2-5
7．（2025九上·嵊州开学考）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足，点A，C，E，G均在双曲线的一支上.若点A的坐标为，则第三级阶梯的高EF的值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
8．（2025九上·嵊州开学考）在如图所示的平行四边形ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是（ ）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
9．（2025九上·嵊州开学考）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，，反比例函数的图像过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
10．（2025九上·嵊州开学考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连结DE，将沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得，延长DF交AB于点G.和的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分。）
11．（2025九上·嵊州开学考）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（2025九上·嵊州开学考）已知方程3x2+kx-2=0的一个根为x=2，则另一个根为 .
13．（2025九上·嵊州开学考）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，10，8，x，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是 .
14．（2025九上·嵊州开学考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，现有以下结论：①abc>0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c<3b：a+b>m（am+b）（m≠1).其中正确的结论是 （填序号）
15．（2025九上·嵊州开学考）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 .
16．（2025九上·嵊州开学考）不论m取何值，二次函数y=mx2+（2m-1)x-3m+2的图象都不经过直线y=2x+1上的点P，则点P的坐标是 .
三、解答题：（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025九上·嵊州开学考）
（1）计算：.
（2）解方程：.
18．（2025九上·嵊州开学考）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：
A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动。
（1）小明在这4种体育活动中随机选择，求选中“乒乓球”的概率。
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率，
19．（2025九上·嵊州开学考）已知关于x的一元二次方程×2-2（k-1)x+k2+3=0.
（1）若该方程有一个根是-2，求k的值。
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1-1)（x2-1)=14，求k的值.
20．（2025九上·嵊州开学考）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面OM为2米时，水面宽AB是4米，如图2，建立以抛物线的顶点为原点的平面直角坐标系.
（1）求该抛物线的函数表达式.
（2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
21．（2025九上·嵊州开学考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且BE=DF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形.
（2）连结EF，若BC=12，BE=5，求EF的长.
22．（2025九上·嵊州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在边BC上，且EC=2BE.
（1）求线段AE的长.
（2）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN=75，求线段MN的长.
23．（2025九上·嵊州开学考）在平面直角坐标系中，设函数（m是实数)，，已知函数与的图像都经过点和点B.
（1）求函数，的表达式及点B的坐标.
（2）当时，请直接写出自变量x的取值范围.
（3）已知点C（a，b）和点D（c，d）在函数的图象上，且，设当时，求P的取值范围.
24．（2025九上·嵊州开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）点P为抛物线对称轴上一点，连结BP，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标.
（3）在线段OC上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将点（-1，0)代入得a+2a+c=0，即有c=-3a，故抛物线解析式为，令y=0，得，解得x1=-1，x2=3.
故答案为：B.
【分析】先将点代入抛物线解析式得c=-3a，令y=0，得关于x的方程，求解方程可得抛物线与x轴的另一个交点坐标.
4．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：
红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，黄）
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为，
故答案为：C.
【分析】先根据题意列出表格，再分别根据表格求出等可能结果的总数与符合条件的数量，然后利用概率公式求解.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年接待游客的年平均增长率为x，由题意得
25(1+x)2=36，解得x1=0.2，x2=-2.2(舍去).故年平均增长率为20%.
故答案为：B.
【分析】设增长率为x，由题意列出关于x的一元二次方程25(1+x)2=36，求解一元二次方程即可.
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： y=x2-4x-4=，向左平移3个单位再向上平移3个单位得 y=即 y=（x+1)2-5 .
故答案为：D.
【分析】先再抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减”“上加下减”的平移规则，即可得平移后的抛物线的解析式.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点代入得k=6，双曲线的解析式为，
由题意知点E的横坐标为2，代入双曲线解析式得y=3，即E(2，3)，
点G的横坐标为1，代入双曲线解析式得y=6，即F(1，6)，
故EF=6-3=3.
故答案为：B.
【分析】将点A代入双曲线解析式求出k的值，再分别将点E、G的横坐标代入解析式求出对应的纵坐标，即可得EF的值.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C，AD=BC
∵E 、G分别为AD、BC的中点
∴AE=CG
又∵AF=CH
∴△AEF≌△CGH(SAS)
∴EF=GH
同理知△DEH≌△BGF(SAS)
∴EH=FG
EFGH为平行四边形
EFGH周长=2(EH+GH)，当点H运动时，EH、GH都在变化，不为定值，同理∠EFG也在变化，FH在变化，故A、B、D不符合题意；
连接EG，，故四边形EFGH的面积为定值.
故答案为：C.
【分析】由题意知△AEF≌△CGH(SAS)和△DEH≌△BGF(SAS)得EFGH为平行四边形，点H、F为动点，在运动过程中，EFGH的周长、∠EFG的大小，FH的长都在变化，而面积为ABCD面积的一半.
9．【答案】D
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点C(a，b)，M为AC的中点，则M，将点C、M代入反比例函数解析式得
，得a=1，故C(1，b)，
而OC=OA=3，于是，解得b=2或-2(舍去)
故k=2.
故答案为：D.
【分析】设点C(a，b)可得点M的坐标，将点C、M坐标代入反比例函数解析式得a=1，再由OC=3可得b的值，即可得k的值.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接GE
∵△CDE翻折得到△DFE
∴DF=DC=2，EF=EC
∵E为BC的中点
∴BE=EC
∴BE=EF
又∵EG=EG
∴△EGB≌△EGF
∴GB=GF
设BG=x，则GF=x，AG=2-x，DG=2+x，由勾股定理得，
解得x=，于是AG=，DG=，
∵H为△ADG和△DAG角平分线的交点
∴H到ADG三边的距离相等
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接GE，由折叠的性质知EF=EC=BE可证△EGB≌△EGF，于是BG=FG，设BG=x得AG和DG的表达式，利用勾股定理得x的值，利用内心的性质知△ADH、△AGH、△DGH的面积之比，即可得△DGH的面积.
11．【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将x=2代入方程得12+2k-2=0，解得k=-5，
代入方程，即(3x+1)(x-2)=0，故x1=，x2=2
故答案为：.
【分析】将x=2代入方程可得k的值，得到方程，用因式分解法即可求解方程.
13．【答案】12或8
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：①当x≥10时，则这组数据的中位数为10，由题意可得，解得x=12符合题意；
②当8≤x<10时，则这组数据的中位数为，则题意可得，解得x=8，符合题意；
③当x<8时，则这组数据的中位数为，则题意可得，解得x=8，不符合题意
综上所述，x的值为12或8.
故答案为：12或8.
【分析】分别讨论当x≥10时、8≤x<10时、x<8时的中位数，列出关于x的方程，即可得x的值.
14．【答案】③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察二次函数图象知开口向下，故a<0，对称轴在右侧，于是ab<0，即有b>0；与y轴的交点在正半轴，故c>0，于是abc<0，故①错误；
当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，a+c
当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，故③正确；
对称轴为直线x=1，即有得b=-2a和
当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，将代入得，即，得3b>2c，故④正确.
当x=1时，函数有最大值，a+b+c，当m≠1时，am2+bm+cm（am+b)，故⑤正确；
故答案为：③④⑤.
【分析】直接观察函数图象知a、b、c的符号，即可判断①；当x=-1时，y<0即得a-b+c<0，即a+c0，即4a+2b+c>0，即可判断③；由对称轴为x=1得，代入a-b+c<0，即得3b>2c，知④正确；当x=1时与当x=m的函数值，比较大小即可判断⑤.
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设BD与AC交点为点O，
∵菱形ABCD，
∴DO=OB=1，OA=OC=2，AC⊥BD，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴EF=AD，DF=AE，
∴EF是定线段，
∵点E是线段AC上的动点，
∴菱形ABCD在AC的水平线上移动，
∴点B的运动轨迹是线段MN，MN∥AC；
作点E关于MN的对称点E'，连接BE'
∴BE=BE'，EH=HE'
∴BE+BF=BE'+BF=E'F，
∴当点F、B、E'在同一直线上时，BE+BF的最小值就是E'F的长；
延长E'E交FD的延长线于点G，交MN于点H，
∴EC⊥DF，
易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，
∴BD=GH=2，GD=OE=BH，EH=BO=HE'=1，
∴GE'=2+1=3，GF=DF+DG=AE+OE=AO=2
∴，
∴BE+BF的最小值为
故答案为：.
【分析】设BD与AC交点为点O，利用菱形的性质可证得DO=OB=1，OA=OC=2，AC⊥BD；利用平行四边形的性质可知EF=AD，DF=AE，可得到EF的长是定值，利用已知点E是线段AC上的动点，菱形ABCD在AC的水平线上移动，同时可得到点B的运动轨迹是线段MN，MN∥AC；作点E关于MN的对称点E'，连接BE'，利用轴对称的应用-最短距离问题可证得BE+BF的最小值就是E'F的长；延长E'E交FD的延长线于点G，交MN于点H，易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，利用矩形的性质可求出GH，HE'，歌FEN，GF的长，然后利用勾股定理求出E'F的长即可.
16．【答案】(1，3)和(-3，-5)
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： y=mx2+（2m-1)x-3m+2 =
令，则x1=1，x2=-3，此时y1=1，y2=5，
即无论m为何值，二次函数都经过点(1，1)和(-3，5)
而对于直线y=2x+1，当x=时，y=3； 当x=-3时，y=-5，即直线过点(1，3)和(-3，-5)
故点P的坐标为(1，3)和(-3，-5)
故答案为：(1，3)和(-3，-5).
【分析】对二次函数分离系数m，可得，令可得x的值，即知二次函数过定点(1，1)和(-3，5)，而对于直线y=2x+1过点(1，3)和(-3，-5)，即为点P的坐标.
17．【答案】（1）解：原式=3-2-2+2-
=0
（2）解：
x-2=
x1=2-，x2=2+
【知识点】配方法解一元二次方程；实数的绝对值；无理数的混合运算
【解析】【分析】(1)先去括号和绝对值，再合并同类二次根式即可得结果；
(2)两边同时加4配方，再两边同时开方即可得方程的两根.
18．【答案】（1）解：小明随机选择有4种情况，故选中“乒乓球”的概率P=；
（2）解：如下图，列出树状图知，小明与小聪选择体育课的情况有16种，选择同一种体育活动的情况有4种，故小明和小聪选择同一种体育活动的概率P=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)由小明随机选择的情况有4种，可直接到概率；
(2)列出树状图知小明和小聪选择体育活动的情况有16，而选到同一种体育活动的情况有4种，相比即得到小明和小聪选同种体育活动的概率.
19．【答案】（1）解：将x=-2代入方程得，解得k=-1或-3；
当k=-1时，方程可化为，方程有两个相等的实数根，符合题意；
当k=-3时，方程可化为，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
综上所述，k=-1或-3；
（2）解：由韦达定理得，
即，得
故k=-2或4
当k=-2时，方程可化为，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
当k=4时，方程可化为，方程无实数根，不符合题意；
综上所述，k=-2.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)将x=-2代入方程可得k的值-1和3，代入原方程，验证方程是否有实数根，即可得k的值；
(2)由韦达定理得，，再整体代入 (x1-1)（x2-1)=14 可得k的值为-2和4，分别代入原方程验证方程是否有实数根，排除k=4的情形即可得k的值.
20．【答案】（1）解：由题意知点B(2，-2)，抛物线的顶点坐标为(0，0)，设抛物线的解析式为y=
将(2，-2)代入得，故a=
故抛物线的解析式为y=
（2）解：令y=-3得，解得x=，此时水面宽度为2
比原来增加2-4米
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)由题意知B的坐标(2，-2)，设y=，再代入可得a的值，即可知抛物线的解析式；
(2)令y=-3可得x的值，即知水面宽度，从而知水面增加的宽度.
21．【答案】（1）证明：∵ABCD是正方形
∴AB=CD，AB||CD
∵BE=DF
∴AB-BE=CD-DF
∴AE=CF
∴AECF为平行四边形
（2）解：过点E作EH⊥CD，
∵HC⊥BC，EB⊥BC
∴BCHE为矩形
∴CH=BE=5
∵DF=BE=5
∴CF=CD-DF=12-5=7
∴FH=CF-CH=7-5=2
在Rt△EFH中，由勾股定理得EF=
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】(1)由正方形的性质知AB||CD且AB=CD，由等式的性质得AE||CF且AE=CF，可证AECF为平行四边形；
(2)作EHCD于点H，知BCHE为矩形，得CH=5，同时由DF=5得CF=5，FH=2，再由勾股定理得EF的长.
22．【答案】（1）解：∵BC=3，EC=2BE
∴BE=BC=1
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=
（2）解：作点M作MHNF于点H，如图
∵F为CD的中点
∴CF=CD=1
∴CF=BE
∵在△ABE和△ECF中，
∴△ABE和△ECF(SAS)
∴∠BAE=∠CEF，AE=EF
∵∠BAE+∠AEB=90°
∴∠CEF+∠AEB=90°
∴∠AEF=90°
∴AFE=45°
在△ADF中，由勾股定理得AF=
∵M为AF的中点，∴MF=AF=
在△MNF中，∠MNF=180°-∠NMF-∠MFH=180°-75°-45°=60°
在△MHF中，sin∠MFH=sin45°=，即，得MH=
在△MNH中，sin∠MNF=sin60°=，即，得MN=
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由EC=2BE得BE的长度，再由勾股定理得AE的长；
(2)由AB=EC，BE=CF可得△ABE和△ECF(SAS)，得∠AEF=90°，∠AFE=45，由三角形内角和知∠MNF=60°，作MH⊥EF，根据特殊角的三角函数值，求出MH的长，再求出MN的长即可.
23．【答案】（1）解：(1)将点A(1，7-m)代入函数 得7-m=-1+m，解得m=4，故；
点A(1，3)，代入得k=3，故；
联立得
解得x1=1，x2=3，
对一次函数y=-x+4，令x=3，y=1
故点B(3，1)
（2）解：(2)如下图，观察图像知x<0时，直线在反比例函数图象的上方，此时 ；
在点A、B之间，即1综上所述，x<0和1（3）解：(3)将x=a和x=c代入反比例函数得b=，d=，故C(a，)，D(c，)
又a+c=4，得c=4-a
1，
P是关于a的一次函数，且P随a的增大而增大，
故【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)将点A代入一次函数表达式可得m的值，即可得点A坐标，代入反比例解析式可得反比例函数解析式，联立一次函数与反比例函数，可得点B的坐标；
(2)直接根据函数图象，判断直线在上方时的x的取值范围；
(3)将x=a、c代入反比例函数得b=，d=，于是，由124．【答案】（1）解：(1)抛物线的对称轴为直线x=-3，故得b=6，得
抛物线与x交于点(-1，0)，代入得1-6+c=0，得c=5，
故抛物线的解析式为
（2）解：(2)令y=0，则，解得x1=-1，x2=-5，故点B(-5，0)
如图，作PF||x轴，DF||y轴，
由∠EPF=90°，∠BPD=90°得∠BPE=∠DPF，
又PB=PD，∠PEB=∠PFD得△PBE≌△PDF(AAS)
故PF=PE，DF=BE
设点P(-3，m)，BE=2，PF=m，故点D(-3+m，m-2)，
代入抛物线解析式得
解得m1=-1，m2=2
故P1(-3，-1)，P2(-3，2)
（3）解：(3)过点C作直线CG，使OG=OC，作QH⊥CG于点G，
∵OC=OG，∠COG=90°
∴∠CQO=∠QCH=45°
∴QG=CQ
=
当点A、Q、H共线时，取最小值，
此时，
OG=OC=5，OA=1，故AG=6，
AH=AG=3，故
此时OQ=OA=1，故Q(0，1)
【知识点】二次函数-动态几何问题；线段最值问题；胡不归模型；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)由对称轴可知b的值，将(-1，0)代入解析式可得c的值，即得抛物线的解析式；
(2)作PF||x轴，DF||y轴，由∠BPE=∠DPF，PB=PD，∠PEB=∠PFD得△PBE≌△PDF(AAS)，设P(-3，m)，BE=2，PF=m，故点D(-3+m，m-2)，代入抛物线解析式得，求解方程即可得点P的坐标；
(3)C作直线CG，使OG=OC，作QH⊥CG于点G，易知QG=CQ于是=，当点A、Q、H共线时取最小值，求出此最的AG、OQ的长，即得最值和点Q的坐标.
1 / 1浙江省绍兴市嵊州市爱德初级中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试卷
一、选择题：(本题共10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·嵊州开学考）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：C
【分析】估算的范围，结合不等式的性质即可求出答案.
2．（2025九上·嵊州开学考） 若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根 ，
∴
∴
∴a的值可以是0
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程x2+2x+a＝0有两个不相等的实数根得到，计算即可判断.
3．（2025九上·嵊州开学考）抛物线与x轴的一个交点是（-1，0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．（0，0) B．（3，0) C．（-3，0) D．（0，-3）
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：将点（-1，0)代入得a+2a+c=0，即有c=-3a，故抛物线解析式为，令y=0，得，解得x1=-1，x2=3.
故答案为：B.
【分析】先将点代入抛物线解析式得c=-3a，令y=0，得关于x的方程，求解方程可得抛物线与x轴的另一个交点坐标.
4．（2025九上·嵊州开学考）不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，列表如下：
红 黄
红 （红，红） （红，黄）
黄 （黄，红） （黄，黄）
共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种，
∴两次摸出的都是红球的概率为，
故答案为：C.
【分析】先根据题意列出表格，再分别根据表格求出等可能结果的总数与符合条件的数量，然后利用概率公式求解.
5．（2025九上·嵊州开学考）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A．10% B．20% C．22% D．44%
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年接待游客的年平均增长率为x，由题意得
25(1+x)2=36，解得x1=0.2，x2=-2.2(舍去).故年平均增长率为20%.
故答案为：B.
【分析】设增长率为x，由题意列出关于x的一元二次方程25(1+x)2=36，求解一元二次方程即可.
6．（2025九上·嵊州开学考）将抛物线y=x2-4x-4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）
A．y=（x+1)2-13 B．y=（x-5)2-5
C．y=（x-5)2-13 D．y=（x+1)2-5
【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： y=x2-4x-4=，向左平移3个单位再向上平移3个单位得 y=即 y=（x+1)2-5 .
故答案为：D.
【分析】先再抛物线配方成顶点式，再根据“左加右减”“上加下减”的平移规则，即可得平移后的抛物线的解析式.
7．（2025九上·嵊州开学考）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足，点A，C，E，G均在双曲线的一支上.若点A的坐标为，则第三级阶梯的高EF的值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解： 将点代入得k=6，双曲线的解析式为，
由题意知点E的横坐标为2，代入双曲线解析式得y=3，即E(2，3)，
点G的横坐标为1，代入双曲线解析式得y=6，即F(1，6)，
故EF=6-3=3.
故答案为：B.
【分析】将点A代入双曲线解析式求出k的值，再分别将点E、G的横坐标代入解析式求出对应的纵坐标，即可得EF的值.
8．（2025九上·嵊州开学考）在如图所示的平行四边形ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是（ ）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C，AD=BC
∵E 、G分别为AD、BC的中点
∴AE=CG
又∵AF=CH
∴△AEF≌△CGH(SAS)
∴EF=GH
同理知△DEH≌△BGF(SAS)
∴EH=FG
EFGH为平行四边形
EFGH周长=2(EH+GH)，当点H运动时，EH、GH都在变化，不为定值，同理∠EFG也在变化，FH在变化，故A、B、D不符合题意；
连接EG，，故四边形EFGH的面积为定值.
故答案为：C.
【分析】由题意知△AEF≌△CGH(SAS)和△DEH≌△BGF(SAS)得EFGH为平行四边形，点H、F为动点，在运动过程中，EFGH的周长、∠EFG的大小，FH的长都在变化，而面积为ABCD面积的一半.
9．（2025九上·嵊州开学考）如图，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，，反比例函数的图像过点C和菱形的对称中心M，则k的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点C(a，b)，M为AC的中点，则M，将点C、M代入反比例函数解析式得
，得a=1，故C(1，b)，
而OC=OA=3，于是，解得b=2或-2(舍去)
故k=2.
故答案为：D.
【分析】设点C(a，b)可得点M的坐标，将点C、M坐标代入反比例函数解析式得a=1，再由OC=3可得b的值，即可得k的值.
10．（2025九上·嵊州开学考）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连结DE，将沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得，延长DF交AB于点G.和的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接GE
∵△CDE翻折得到△DFE
∴DF=DC=2，EF=EC
∵E为BC的中点
∴BE=EC
∴BE=EF
又∵EG=EG
∴△EGB≌△EGF
∴GB=GF
设BG=x，则GF=x，AG=2-x，DG=2+x，由勾股定理得，
解得x=，于是AG=，DG=，
∵H为△ADG和△DAG角平分线的交点
∴H到ADG三边的距离相等
∴
∴
故答案为：A.
【分析】连接GE，由折叠的性质知EF=EC=BE可证△EGB≌△EGF，于是BG=FG，设BG=x得AG和DG的表达式，利用勾股定理得x的值，利用内心的性质知△ADH、△AGH、△DGH的面积之比，即可得△DGH的面积.
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分。）
11．（2025九上·嵊州开学考）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x≥﹣2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，解得x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
12．（2025九上·嵊州开学考）已知方程3x2+kx-2=0的一个根为x=2，则另一个根为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：将x=2代入方程得12+2k-2=0，解得k=-5，
代入方程，即(3x+1)(x-2)=0，故x1=，x2=2
故答案为：.
【分析】将x=2代入方程可得k的值，得到方程，用因式分解法即可求解方程.
13．（2025九上·嵊州开学考）某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10，10，8，x，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x的值是 .
【答案】12或8
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：①当x≥10时，则这组数据的中位数为10，由题意可得，解得x=12符合题意；
②当8≤x<10时，则这组数据的中位数为，则题意可得，解得x=8，符合题意；
③当x<8时，则这组数据的中位数为，则题意可得，解得x=8，不符合题意
综上所述，x的值为12或8.
故答案为：12或8.
【分析】分别讨论当x≥10时、8≤x<10时、x<8时的中位数，列出关于x的方程，即可得x的值.
14．（2025九上·嵊州开学考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，现有以下结论：①abc>0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c<3b：a+b>m（am+b）（m≠1).其中正确的结论是 （填序号）
【答案】③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：观察二次函数图象知开口向下，故a<0，对称轴在右侧，于是ab<0，即有b>0；与y轴的交点在正半轴，故c>0，于是abc<0，故①错误；
当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，a+c当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，故③正确；
对称轴为直线x=1，即有得b=-2a和
当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，将代入得，即，得3b>2c，故④正确.
当x=1时，函数有最大值，a+b+c，当m≠1时，am2+bm+cm（am+b)，故⑤正确；
故答案为：③④⑤.
【分析】直接观察函数图象知a、b、c的符号，即可判断①；当x=-1时，y<0即得a-b+c<0，即a+c0，即4a+2b+c>0，即可判断③；由对称轴为x=1得，代入a-b+c<0，即得3b>2c，知④正确；当x=1时与当x=m的函数值，比较大小即可判断⑤.
15．（2025九上·嵊州开学考）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设BD与AC交点为点O，
∵菱形ABCD，
∴DO=OB=1，OA=OC=2，AC⊥BD，
∵四边形DAEF是平行四边形，
∴EF=AD，DF=AE，
∴EF是定线段，
∵点E是线段AC上的动点，
∴菱形ABCD在AC的水平线上移动，
∴点B的运动轨迹是线段MN，MN∥AC；
作点E关于MN的对称点E'，连接BE'
∴BE=BE'，EH=HE'
∴BE+BF=BE'+BF=E'F，
∴当点F、B、E'在同一直线上时，BE+BF的最小值就是E'F的长；
延长E'E交FD的延长线于点G，交MN于点H，
∴EC⊥DF，
易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，
∴BD=GH=2，GD=OE=BH，EH=BO=HE'=1，
∴GE'=2+1=3，GF=DF+DG=AE+OE=AO=2
∴，
∴BE+BF的最小值为
故答案为：.
【分析】设BD与AC交点为点O，利用菱形的性质可证得DO=OB=1，OA=OC=2，AC⊥BD；利用平行四边形的性质可知EF=AD，DF=AE，可得到EF的长是定值，利用已知点E是线段AC上的动点，菱形ABCD在AC的水平线上移动，同时可得到点B的运动轨迹是线段MN，MN∥AC；作点E关于MN的对称点E'，连接BE'，利用轴对称的应用-最短距离问题可证得BE+BF的最小值就是E'F的长；延长E'E交FD的延长线于点G，交MN于点H，易证四边形DGHB是矩形，四边形OEHB是矩形，利用矩形的性质可求出GH，HE'，歌FEN，GF的长，然后利用勾股定理求出E'F的长即可.
16．（2025九上·嵊州开学考）不论m取何值，二次函数y=mx2+（2m-1)x-3m+2的图象都不经过直线y=2x+1上的点P，则点P的坐标是 .
【答案】(1，3)和(-3，-5)
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： y=mx2+（2m-1)x-3m+2 =
令，则x1=1，x2=-3，此时y1=1，y2=5，
即无论m为何值，二次函数都经过点(1，1)和(-3，5)
而对于直线y=2x+1，当x=时，y=3； 当x=-3时，y=-5，即直线过点(1，3)和(-3，-5)
故点P的坐标为(1，3)和(-3，-5)
故答案为：(1，3)和(-3，-5).
【分析】对二次函数分离系数m，可得，令可得x的值，即知二次函数过定点(1，1)和(-3，5)，而对于直线y=2x+1过点(1，3)和(-3，-5)，即为点P的坐标.
三、解答题：（本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2025九上·嵊州开学考）
（1）计算：.
（2）解方程：.
【答案】（1）解：原式=3-2-2+2-
=0
（2）解：
x-2=
x1=2-，x2=2+
【知识点】配方法解一元二次方程；实数的绝对值；无理数的混合运算
【解析】【分析】(1)先去括号和绝对值，再合并同类二次根式即可得结果；
(2)两边同时加4配方，再两边同时开方即可得方程的两根.
18．（2025九上·嵊州开学考）为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：
A.羽毛球，B.乒乓球，C.花样跳绳，D.踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动。
（1）小明在这4种体育活动中随机选择，求选中“乒乓球”的概率。
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率，
【答案】（1）解：小明随机选择有4种情况，故选中“乒乓球”的概率P=；
（2）解：如下图，列出树状图知，小明与小聪选择体育课的情况有16种，选择同一种体育活动的情况有4种，故小明和小聪选择同一种体育活动的概率P=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】(1)由小明随机选择的情况有4种，可直接到概率；
(2)列出树状图知小明和小聪选择体育活动的情况有16，而选到同一种体育活动的情况有4种，相比即得到小明和小聪选同种体育活动的概率.
19．（2025九上·嵊州开学考）已知关于x的一元二次方程×2-2（k-1)x+k2+3=0.
（1）若该方程有一个根是-2，求k的值。
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足（x1-1)（x2-1)=14，求k的值.
【答案】（1）解：将x=-2代入方程得，解得k=-1或-3；
当k=-1时，方程可化为，方程有两个相等的实数根，符合题意；
当k=-3时，方程可化为，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
综上所述，k=-1或-3；
（2）解：由韦达定理得，
即，得
故k=-2或4
当k=-2时，方程可化为，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
当k=4时，方程可化为，方程无实数根，不符合题意；
综上所述，k=-2.
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)将x=-2代入方程可得k的值-1和3，代入原方程，验证方程是否有实数根，即可得k的值；
(2)由韦达定理得，，再整体代入 (x1-1)（x2-1)=14 可得k的值为-2和4，分别代入原方程验证方程是否有实数根，排除k=4的情形即可得k的值.
20．（2025九上·嵊州开学考）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高离水面OM为2米时，水面宽AB是4米，如图2，建立以抛物线的顶点为原点的平面直角坐标系.
（1）求该抛物线的函数表达式.
（2）当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
【答案】（1）解：由题意知点B(2，-2)，抛物线的顶点坐标为(0，0)，设抛物线的解析式为y=
将(2，-2)代入得，故a=
故抛物线的解析式为y=
（2）解：令y=-3得，解得x=，此时水面宽度为2
比原来增加2-4米
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)由题意知B的坐标(2，-2)，设y=，再代入可得a的值，即可知抛物线的解析式；
(2)令y=-3可得x的值，即知水面宽度，从而知水面增加的宽度.
21．（2025九上·嵊州开学考）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且BE=DF.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形.
（2）连结EF，若BC=12，BE=5，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵ABCD是正方形
∴AB=CD，AB||CD
∵BE=DF
∴AB-BE=CD-DF
∴AE=CF
∴AECF为平行四边形
（2）解：过点E作EH⊥CD，
∵HC⊥BC，EB⊥BC
∴BCHE为矩形
∴CH=BE=5
∵DF=BE=5
∴CF=CD-DF=12-5=7
∴FH=CF-CH=7-5=2
在Rt△EFH中，由勾股定理得EF=
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】(1)由正方形的性质知AB||CD且AB=CD，由等式的性质得AE||CF且AE=CF，可证AECF为平行四边形；
(2)作EHCD于点H，知BCHE为矩形，得CH=5，同时由DF=5得CF=5，FH=2，再由勾股定理得EF的长.
22．（2025九上·嵊州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E在边BC上，且EC=2BE.
（1）求线段AE的长.
（2）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN=75，求线段MN的长.
【答案】（1）解：∵BC=3，EC=2BE
∴BE=BC=1
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=
（2）解：作点M作MHNF于点H，如图
∵F为CD的中点
∴CF=CD=1
∴CF=BE
∵在△ABE和△ECF中，
∴△ABE和△ECF(SAS)
∴∠BAE=∠CEF，AE=EF
∵∠BAE+∠AEB=90°
∴∠CEF+∠AEB=90°
∴∠AEF=90°
∴AFE=45°
在△ADF中，由勾股定理得AF=
∵M为AF的中点，∴MF=AF=
在△MNF中，∠MNF=180°-∠NMF-∠MFH=180°-75°-45°=60°
在△MHF中，sin∠MFH=sin45°=，即，得MH=
在△MNH中，sin∠MNF=sin60°=，即，得MN=
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由EC=2BE得BE的长度，再由勾股定理得AE的长；
(2)由AB=EC，BE=CF可得△ABE和△ECF(SAS)，得∠AEF=90°，∠AFE=45，由三角形内角和知∠MNF=60°，作MH⊥EF，根据特殊角的三角函数值，求出MH的长，再求出MN的长即可.
23．（2025九上·嵊州开学考）在平面直角坐标系中，设函数（m是实数)，，已知函数与的图像都经过点和点B.
（1）求函数，的表达式及点B的坐标.
（2）当时，请直接写出自变量x的取值范围.
（3）已知点C（a，b）和点D（c，d）在函数的图象上，且，设当时，求P的取值范围.
【答案】（1）解：(1)将点A(1，7-m)代入函数 得7-m=-1+m，解得m=4，故；
点A(1，3)，代入得k=3，故；
联立得
解得x1=1，x2=3，
对一次函数y=-x+4，令x=3，y=1
故点B(3，1)
（2）解：(2)如下图，观察图像知x<0时，直线在反比例函数图象的上方，此时 ；
在点A、B之间，即1综上所述，x<0和1（3）解：(3)将x=a和x=c代入反比例函数得b=，d=，故C(a，)，D(c，)
又a+c=4，得c=4-a
1，
P是关于a的一次函数，且P随a的增大而增大，
故【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)将点A代入一次函数表达式可得m的值，即可得点A坐标，代入反比例解析式可得反比例函数解析式，联立一次函数与反比例函数，可得点B的坐标；
(2)直接根据函数图象，判断直线在上方时的x的取值范围；
(3)将x=a、c代入反比例函数得b=，d=，于是，由124．（2025九上·嵊州开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）点P为抛物线对称轴上一点，连结BP，将线段BP绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标.
（3）在线段OC上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：(1)抛物线的对称轴为直线x=-3，故得b=6，得
抛物线与x交于点(-1，0)，代入得1-6+c=0，得c=5，
故抛物线的解析式为
（2）解：(2)令y=0，则，解得x1=-1，x2=-5，故点B(-5，0)
如图，作PF||x轴，DF||y轴，
由∠EPF=90°，∠BPD=90°得∠BPE=∠DPF，
又PB=PD，∠PEB=∠PFD得△PBE≌△PDF(AAS)
故PF=PE，DF=BE
设点P(-3，m)，BE=2，PF=m，故点D(-3+m，m-2)，
代入抛物线解析式得
解得m1=-1，m2=2
故P1(-3，-1)，P2(-3，2)
（3）解：(3)过点C作直线CG，使OG=OC，作QH⊥CG于点G，
∵OC=OG，∠COG=90°
∴∠CQO=∠QCH=45°
∴QG=CQ
=
当点A、Q、H共线时，取最小值，
此时，
OG=OC=5，OA=1，故AG=6，
AH=AG=3，故
此时OQ=OA=1，故Q(0，1)
【知识点】二次函数-动态几何问题；线段最值问题；胡不归模型；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)由对称轴可知b的值，将(-1，0)代入解析式可得c的值，即得抛物线的解析式；
(2)作PF||x轴，DF||y轴，由∠BPE=∠DPF，PB=PD，∠PEB=∠PFD得△PBE≌△PDF(AAS)，设P(-3，m)，BE=2，PF=m，故点D(-3+m，m-2)，代入抛物线解析式得，求解方程即可得点P的坐标；
(3)C作直线CG，使OG=OC，作QH⊥CG于点G，易知QG=CQ于是=，当点A、Q、H共线时取最小值，求出此最的AG、OQ的长，即得最值和点Q的坐标.
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