3.2函数的基本性质3.2.1函数的单调性第一课时同步练习（含解析）

3.2函数的基本性质
3.2.1单调性与最大（小）值
第1课时 函数的单调性
基础巩固
题型一：单调性定义
1．对于定义在上的函数，考查以下陈述句：
：是上的严格增函数；
：任意， ，且当时，都有；
：当时，都有 ；
关于以上陈述句，下列判断正确的是（ ）
A．、都是的充分条件 B．、中仅是 的充分条件
C．、中仅是 的充分条件 D．、都不是的充分条件
2．若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数；
B．若定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数；
C．若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数；
D．若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数.
题型二：函数单调区间何单调性
4．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．，
7．已知是定义在上的增函数，则下列结论中错误的有
A．是增函数 B．是减函数
C．是减函数 D．是增函数
8．函数的单调递增区间是 ．
9．已知函数，且，.
(1)求a和b的值；
(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.
题型三：函数单调性的应用
10．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．函数为定义在上的减函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知定义在的函数满足：
①对，，；
②当时，；
③．
回答下列问题：
(1)求，的值，并求的值；
(2)（i）判断并证明的单调性；
（ii）若，求实数m的取值范围．
试卷第4页，共4页
试卷第3页，共4页
《3.2.1函数的单调性第一课时》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
答案 B D BC D D A ABD C C B
题号 13 14 15
答案 C A B
1．B
【解析】对于，首先利用赋值法求出函数为奇函数，再利用函数的单调性定义即可判断；对于，由增函数的定义中自变量具有任意性，从而可判断.
【详解】对于，令，则，解得，
令，，则，
所以，所以函数为奇函数，
设，则，
因为，所以，
所以，
所以函数是上的增函数，
故是的充分条件.
对于，当时存在情况，不符合严格单调性的定义，
故不是的充分条件.
故选：B
2．D
【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误．
3．BC
【分析】对ABC按函数单调性的定义进行验证，对于选项D，举反例进行否定即可.
【详解】A：若函数在R上为增函数,则对于任意的且,则定成立,若成立,不具有一般性，比如不一定成立,所以函数在R上不一定是增函数,A错误；
B：函数在R上为减函数,则对于任意的且,则定成立,所以, 一定成立,所以,若,函数是R上不是减函数,故B正确;
C：若定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则满足对于任意的且,则定成立,所以, 则函数在R上是增函数；符合增函数的定义.故C正确；
D：设函数是定义在R上的函数,且在区间上是增函数，在区间上也是增函数，而-1<1但,不符合增函数的定义,所以,函数f(x)在R上不是增函数.故D错误.
故选：BC
4．D
【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解.
【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是，
又由图知，而，所以A不正确，
故选：D.
5．D
【分析】对四个选项逐一分析函数的单调性，由此得出正确选项.
【详解】对于A选项，函数在上递减.对于B选项，函数在和上递减.对于C选项，函数在上递减，在上递增.对于D选项，函数在上递减，在上递增，故也在上递增，符合题意.故选D.
【点睛】本小题主要考查基本初等函数的单调性，属于基础题.
6．A
【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断.
【详解】函数，
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为；
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
7．ABD
【分析】构造具体函数，判断出错误结论，利用复合函数单调性同增异减证明正确结论.
【详解】设，在上递增.
对于A选项，在递减，故A选项结论错误.
对于B选项，在和上递减，但不能说是减函数，故B选项结论错误.
对于C选项，是减函数.下证明一般性：由于是定义在上的增函数，根据复合函数单调性同增异减可知是上的减函数.故C选项结论正确.
对于D选项，在递减，故D选项结论错误.
故选ABD.
【点睛】本小题主要考查复合函数单调性，属于基础题.
8．和
【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间.
【详解】作出的图象如下图所示，
由图象可知，的单调递增区间是和，
故答案为：和.
9．(1)
(2)在上的单调递减，证明见解析
【分析】（1）由，代入直接可求；
（2）根据函数单调性的定义证明单调性.
【详解】（1）因为，
所以，解得.
（2）由（1）知：，在上的单调递减，
证明如下：
在上任取，且，
，
∵，
∴，，，
∴，
∴，在上的单调递减.
10．C
【分析】分，，研究函数的符号及性质，利用排除法可得结果.
【详解】当时，函数；
当时，函数，
将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数的图象，
排除AB；
当时，函数，
则函数在单调递增，排除D.
故选：C．
11．C
【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D.
【详解】是定义在上的减函数，，
与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误；
，时，；时，，故的关系不确定，故B错误；
，，，故C正确．
，时，；时，，故关系不确定，D错误，
故选：C．
12．B
【分析】先由二次函数的性质得到，再利用分离常数法与反比例函数的单调性得到在上恒成立，进而得到，从而得解.
【详解】因为的对称轴为，开口向下，且在上为减函数，
所以，
因为，且在上为减函数，
所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，
综上，.
故选：B.
13．C
【分析】根据的单调性，以及定义域，结合一元二次不等式的求解，直接计算即可.
【详解】对，且定义域为，由复合函数单调性可知其在定义域单调递增，
故，等价于，
由，即，，解得；
由，即，解得；
故实数的取值范围为.
故选：C.
14．A
【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，解得，即，
所以实数的取值范围为.
故选：A
15．B
【分析】令，且，则，利用函数单调性的定义推导出函数在上单调递减，计算得出，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】因为函数的定义域为，
对、，满足，
又当时，，
令，且，则，
则，
所以，所以在上单调递减，
因为，所以，，
则不等式可化为，
所以，，解得．
因此，不等式的解集为.
故选：B.
16．(1)，，11
(2)（i）减函数，证明见解析；（ii）
【分析】（1）利用赋值法可得，结合题意即可求解.
（2）（i）利用单调性的定义证明即可；（ii）由题意得，可得，利用函数的单调性解不等式即可
【详解】（1）令，得，
令得，则，
所以，
由得到，
所以.
（2）任取，且，
则，
因为当时，，
所以，即，
所以是上的减函数；
（ii）由，且，得，
故，
故，则．
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