2025-2026学年青岛版八年级数学上册 1.2证明 达标训练（含答案）

1.2 证明
基础对点练习
知识点一　基本事实与定理
1．下列语句中，属于基本事实的是(　　)
A．在直线AB上任取一点E
B．两点确定一条直线
C．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
D．内错角相等，两直线平行
2．下列语句中，属于定理的是(　　)
A．同位角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．∠A>∠B
D．到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
3．下面的现象中，能说明“两点之间，线段最短”这一基本事实的是(　)
A．用两颗钉子将一根木条固定在墙上
B．锯木料时先在木板上画出两个点，再用墨盒过这两个点弹出一条直线
C．测量两棵树之间的距离时，要拉直尺子
D．砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木柱，然后拉一条直的参照线
4．下列说法正确的是(　　)
A．命题一定是正确的
B．不正确的判断就不是命题
C．真命题都是基本事实
D．定理都是真命题
知识点二　证明
5．下列推理证明中，错误的是(　　)
A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF
B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ
C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c　
D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD
6．如图，用量角器度量角的度数．下列结论中正确的是(　　)
A．∠BOC＝60°
B．∠COA是∠EOD的余角
C．∠AOC＝∠BOD
D．∠AOD与∠COE互补
7．(2024·滨州检测)如图，已知∠AOB＝90°，过点O作直线CD，作OE⊥CD于点O.图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等．
8．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°，求证：AB＝BD．
9．求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．
能力提升练习
10．(2024·东营检测)如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是(　 )
　　
A　　　　　　B
　　
C　　　　　　D
11．如图，点C是射线OA上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，作CE⊥OA，垂足为点C，交OB于点E.给出下列结论：①∠1是∠DCE的余角；②∠AOB＝∠DCE；③图中互余的角共有3对；④∠ACD＝∠BEC．其中，正确的结论有(　 　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
12．(2023·河北邢台月考)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，连接EF，AC，且∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.求证：∠AEF＝∠B．①～⑤是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是(　 　)
①因为∠1＝∠2；②所以EF∥BC，所以∠AEF＝∠B；③因为∠D＋∠EFD＝180°；④所以AD∥BC；⑤所以AD∥EF.
A．①④③②⑤ B．③⑤①④②
C．③④①②⑤ D．①⑤③④②
13．求证：两条直线相交所成的相邻两个角的平分线互相垂直．
14．阅读下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，∠ADC＝∠ABC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2.
求证：∠A＝∠C．
【创新运用】
15．如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？请写出测量方法，并说明几何道理．
1.2第2课时 证明
基础对点练习
知识点一　基本事实与定理
1．下列语句中，属于基本事实的是(　B　)
A．在直线AB上任取一点E
B．两点确定一条直线
C．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
D．内错角相等，两直线平行
2．下列语句中，属于定理的是(　D　)
A．同位角相等
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．∠A>∠B
D．到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
3．下面的现象中，能说明“两点之间，线段最短”这一基本事实的是(　C　)
A．用两颗钉子将一根木条固定在墙上
B．锯木料时先在木板上画出两个点，再用墨盒过这两个点弹出一条直线
C．测量两棵树之间的距离时，要拉直尺子
D．砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木柱，然后拉一条直的参照线
4．下列说法正确的是(　D　)
A．命题一定是正确的
B．不正确的判断就不是命题
C．真命题都是基本事实
D．定理都是真命题
知识点二　证明
5．下列推理证明中，错误的是(　D　)
A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF
B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ
C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c　
D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴AB⊥CD
6．如图，用量角器度量角的度数．下列结论中正确的是(　D　)
A．∠BOC＝60°
B．∠COA是∠EOD的余角
C．∠AOC＝∠BOD
D．∠AOD与∠COE互补
7．(2024·滨州检测)如图，已知∠AOB＝90°，过点O作直线CD，作OE⊥CD于点O.图中除了直角相等外，再找出一对相等的角，并证明它们相等．
解：∠AOD＝∠BOE.证明如下：
∵OE⊥CD于点O，
∴∠DOE＝90°.
∴∠DOB＋∠BOE＝90°.
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD＋∠DOB＝90°.
∴∠AOD＝∠BOE.
8．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C＝45°，求证：AB＝BD．
证明：∵在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝75°.
∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°.
∴∠ADB＝∠DBC＋∠C＝30°＋45°＝75°.
∴∠BAC＝∠ADB．
∴AB＝BD．
9．求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．
解：已知：如图，AB∥CD，直线IF分别交AB，CD于点E，F，EH，FG分别平分∠BEI，∠DFE.
求证：EH∥FG.
证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠BEI＝∠DFE(两直线平行，同位角相等)．
∵EH，FG分别平分∠BEI，∠DFE(已知)，
∴∠1＝∠BEI，∠2＝∠DFE(角平分线的定义)．
∴∠1＝∠2(等量代换)．
∴EH∥FG(同位角相等，两直线平行)．
能力提升练习
10．(2024·东营检测)如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是(　A　)
　　
A　　　　　　B
　　
C　　　　　　D
11．如图，点C是射线OA上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，作CE⊥OA，垂足为点C，交OB于点E.给出下列结论：①∠1是∠DCE的余角；②∠AOB＝∠DCE；③图中互余的角共有3对；④∠ACD＝∠BEC．其中，正确的结论有(　B　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
12．(2023·河北邢台月考)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，连接EF，AC，且∠D＝110°，∠EFD＝70°，∠1＝∠2.求证：∠AEF＝∠B．①～⑤是排乱的部分证明步骤，证明步骤正确的顺序是(　B　)
①因为∠1＝∠2；②所以EF∥BC，所以∠AEF＝∠B；③因为∠D＋∠EFD＝180°；④所以AD∥BC；⑤所以AD∥EF.
A．①④③②⑤ B．③⑤①④②
C．③④①②⑤ D．①⑤③④②
解析：③因为∠D＋∠EFD＝180°，
⑤所以AD∥EF.
①因为∠1＝∠2，
④所以AD∥BC，
②所以EF∥BC，所以∠AEF＝∠B．
故选B．
13．求证：两条直线相交所成的相邻两个角的平分线互相垂直．
解：已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF平分∠AOD．
求证：OE⊥OF.
证明：∵直线AB，CD相交于点O(已知)，
∴∠AOC＋∠AOD＝180°(平角的定义)．
∵OE平分∠AOC，OF平分∠AOD(已知)，
∴∠AOE＝∠AOC，∠AOF＝∠AOD(角的平分线的定义)．
∴∠AOE＋∠AOF＝∠AOC＋∠AOD
＝(∠AOC＋∠AOD)＝×180°＝90°(等式的基本性质)，即∠EOF＝90°.
∴OE⊥OF(垂直的定义)．
14．阅读下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，∠ADC＝∠ABC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2.
求证：∠A＝∠C．
证明：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC(已知)，
∴∠1＝∠ABC，∠3＝∠ADC(　角的平分线的定义　).
∵∠ABC＝∠ADC(已知)，
∴∠ABC＝∠ADC(　等式的基本性质　)．
∴∠1＝∠3(　等量代换　)．
又∵∠1＝∠2(　已知　)，
∴∠2＝∠3(　等量代换　)．
∴AB∥CD(　内错角相等，两直线平行　)．
∴∠A＋∠ADC＝180°，∠C＋∠ABC＝180°(　两直线平行，同旁内角互补　)．
∴∠A＝∠C(　等角的补角相等　)．
【创新运用】
15．如图，要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？请写出测量方法，并说明几何道理．
解：方法一：如图1，延长AO到点C，测量∠BOC，利用邻补角的数量关系求∠AOB．
∠AOB＝180°－∠BOC．
方法二：如图2，延长AO到点C，延长BO到点D，测量∠DOC，利用对顶角相等求∠AOB．
∠AOB＝∠DOC．
(方法不唯一)
图1
　
图2
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