2025-2026学年青岛版八年级数学上册 1.3几何证明举例 达标训练（含答案）

1.3几何证明举例
基础对点练习
知识点一　全等三角形的判定
1．如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，且都与点O不重合，连接ED，EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是(　　)
A．OD＝OE　　 　　 B．OE＝OF
C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
知识点二　全等三角形的性质与判定的综合
2．图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC．若∠C＝50°，求∠D的大小．
图1
图2
知识点三　等腰三角形的性质和判定
3．如图，AB＝AF，BC＝FE，∠B＝∠F，点D是CE的中点．求证：AD⊥CE.
知识点四　等边三角形的性质和判定
4．(2024·烟台检测)如图，点D是等边三角形ABC外部的一点，且AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E.
(1)求证：BD垂直平分线段AC；
(2)若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
知识点五　线段垂直平分线的性质与判定
5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°.求证：BE＝AC．
知识点六　角平分线的性质与判定
6．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.
(1)OD与OE相等吗？请说明理由．
(2)若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．
知识点七　直角三角形全等的判定
7．(2024·青岛检测)如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是(　　)
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠C
C．AE＝BF D．AB＝DC
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是边AC上一点，点E在边BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
能力提升练习
9．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(　　)
A．a＋c B．b＋c
C．a－b＋c D．a＋b－c
10．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝35°，则∠A＋∠C的度数为____．
11．(2023·东营期中)如图，△ABC是等边三角形．
(1)如图1，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形；
(2)如图2，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，求证：BD＝CE.
12．如图1，△ABC为等边三角形，D为BC的中点，连接AD，AE平分∠DAC，交BC于点E，点F在△ABC外，连接 FE，BF，AF，满足BF∥AC，∠AFB＝∠AEC．
(1)求∠FAE的度数．
(2)如图2，G是AC上一点，连接EG，GF，GF与AE交于点K.若AK＝EK，求证：CG＝2CE.
13．在课堂上，老师布置了一道思考题：
如图1，点M，N分别在等边三角形ABC的边BC，CA上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.
(1)求证：∠BQM＝60°.
(2)如图2，若将图1中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，且BM＝CN，连接BN，AM，MA的延长线交BN于点Q，则(1)中的结论∠BQM＝60°是否仍然成立？请说明理由．
图1
图2
【创新运用】
14．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC, AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E.
(1)求证：BD＝DE＋CE.
(2)当直线AE绕点A旋转到图2位置时(BD＜CE)，其余条件不变，BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．
(3)当直线AE绕点A旋转到图3位置时(BD＞CE)，其余条件不变，BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明．
(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的数量关系．
图1
图2
图3
1.3几何证明举例
基础对点练习
知识点一　全等三角形的判定
1．如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，且都与点O不重合，连接ED，EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是(　D　)
A．OD＝OE　　 　　 B．OE＝OF
C．∠ODE＝∠OED D．∠ODE＝∠OFE
知识点二　全等三角形的性质与判定的综合
2．图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC．若∠C＝50°，求∠D的大小．
图1
图2
解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD，即∠BAC＝∠EAD．
在△BAC和△EAD中，
　
∴△BAC≌△EAD(SAS)．
∴∠D＝∠C＝50°.
知识点三　等腰三角形的性质和判定
3．如图，AB＝AF，BC＝FE，∠B＝∠F，点D是CE的中点．求证：AD⊥CE.
证明：连接AC，AE，图略．
在△ABC和△AFE中，
∴△ABC≌△AFE(SAS)．
∴AC＝AE.
又∵CD＝DE，∴AD⊥CE.
知识点四　等边三角形的性质和判定
4．(2024·烟台检测)如图，点D是等边三角形ABC外部的一点，且AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E.
(1)求证：BD垂直平分线段AC；
(2)若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC．
又∵AD＝CD，
∴BD垂直平分线段AC．
(2)解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.
∵BD垂直平分线段AC，
∴∠CBD＝30°.
∵DE∥AB，
∴∠FEC＝∠ABC＝60°.
∴△CEF是等边三角形．
∴CE＝CF＝4.
∴BE＝BC－CE＝6.
∵∠BDE＝∠FEC－∠CBD＝30°＝∠CBD，
∴DE＝BE＝6.
知识点五　线段垂直平分线的性质与判定
5．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°.求证：BE＝AC．
证明：连接AE，图略．
∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°，
∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠ACB＝180°－24°－66°＝90°.
∴AD⊥EC．
∵点D为CE的中点，
∴DE＝DC．
∴AD是线段CE的垂直平分线．
∴AE＝AC．
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE.
∴BE＝AC．
知识点六　角平分线的性质与判定
6．如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为点D，E，F.
(1)OD与OE相等吗？请说明理由．
(2)若△ABC的周长是30，且OF＝3，求△ABC的面积．
解：(1)OD＝OE.理由如下：
∵O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OD＝OF，OF＝OE.
∴OD＝OE.
(2)连接OA，图略．
S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OD＋BC·OF＋AC·OE.
∵OE＝OD＝OF，
∴S△ABC＝(AB＋BC＋AC)·OF＝×30×3＝45.
知识点七　直角三角形全等的判定
7．(2024·青岛检测)如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加一个条件是(　D　)
A．∠A＝∠D B．∠B＝∠C
C．AE＝BF D．AB＝DC
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是边AC上一点，点E在边BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
解：猜想：BF⊥AE.证明如下：
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
在Rt△BDC和Rt△AEC中，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．
∴∠CBD＝∠CAE.
∵∠CAE＋∠E＝90°，
∴∠EBF＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
能力提升练习
9．如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(　D　)
A．a＋c B．b＋c
C．a－b＋c D．a＋b－c
10．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝35°，则∠A＋∠C的度数为__35°__．
11．(2023·东营期中)如图，△ABC是等边三角形．
(1)如图1，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形；
(2)如图2，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，求证：BD＝CE.
证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝60°.
∴△ADE是等边三角形．
(2)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE.
12．如图1，△ABC为等边三角形，D为BC的中点，连接AD，AE平分∠DAC，交BC于点E，点F在△ABC外，连接 FE，BF，AF，满足BF∥AC，∠AFB＝∠AEC．
(1)求∠FAE的度数．
(2)如图2，G是AC上一点，连接EG，GF，GF与AE交于点K.若AK＝EK，求证：CG＝2CE.
(1)解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠C＝∠BAC＝60°，AB＝AC．
∵BF∥AC，
∴∠ABF＝∠BAC＝60°.
∴∠ABF＝∠C＝60°.
在△ABF和△ACE中，
　
∴△ABF≌△ACE(AAS)．
∴∠BAF＝∠CAE，AF＝AE.
∴∠FAE＝∠BAF＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE＝∠CAB＝60°.
(2)证明：由(1)可知AF＝AE，∠FAE＝60°，
∴△AFE为等边三角形．
∴∠AFE＝60°，AF＝EF.
∵AK＝EK，
∴∠AFG＝∠EFG＝30°，FK⊥AE.
在△AFG和△EFG中，
　
∴△AFG≌△EFG(SAS)．
∴∠AGF＝∠EGF.
∵△ABC为等边三角形，D为BC的中点，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°.
∵AE平分∠DAC，
∴∠CAE＝∠DAC＝15°.
∵FK⊥AE，
∴∠AGF＝90°－∠CAE＝90°－15°＝75°.
∴∠AGF＝∠EGF＝75°.
∴∠CGE＝180°－(∠AGF＋∠EGF)＝30°.
又∵∠C＝60°，
∴∠CEG＝180°－∠C－∠CGE＝90°.
在Rt△CEG中，∠CGE＝30°，
∴CG＝2CE.
13．在课堂上，老师布置了一道思考题：
如图1，点M，N分别在等边三角形ABC的边BC，CA上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q.
(1)求证：∠BQM＝60°.
(2)如图2，若将图1中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，且BM＝CN，连接BN，AM，MA的延长线交BN于点Q，则(1)中的结论∠BQM＝60°是否仍然成立？请说明理由．
图1
图2
(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN＝60°.
∵BM＝CN，
∴△ABM≌△BCN(SAS)．
∴∠AMB＝∠BNC．
∵∠BNC＋∠CBN＝120°，
∴∠AMB＋∠CBN＝120°.
∴∠BQM＝180°－(∠AMB＋∠CBN)＝60°.
(2)解：∠BQM＝60°仍然成立．
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAN＝∠ACM＝120°.
∵BM＝CN，
∴CM＝AN.
∴△BAN≌△ACM(SAS)．
∴∠M＝∠N.
∵∠M＋∠CAM＝60°，
∠CAM＝∠QAN，
∴∠N＋∠QAN＝60°.
∴∠BQM＝∠N＋∠QAN＝60°.
【创新运用】
14．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC, AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E.
(1)求证：BD＝DE＋CE.
(2)当直线AE绕点A旋转到图2位置时(BD＜CE)，其余条件不变，BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．
(3)当直线AE绕点A旋转到图3位置时(BD＞CE)，其余条件不变，BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明．
(4)根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的数量关系．
图1
图2
图3
(1)证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°.
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC＋∠BAD＝90°.
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝CE.
∵AE＝DE＋AD，
∴BD＝DE＋CE.
(2)解：BD＝DE－CE.证明如下：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°.
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
又∵∠BAC＝90°，
∴∠EAC＋∠BAD＝90°.
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∴△ABD≌△CAE(AAS)．
∴BD＝AE，AD＝CE.
∴BD＝AE＝DE－AD＝DE－CE.
(3)解：同(2)的方法得出，BD＝DE－CE.
(4)解：由(1)(2)(3)可知：当点B，C在AE的同侧时，BD＝DE－CE；
当点B，C在AE的异侧时，BD＝DE＋CE.
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